第11讲 函数与方程的综合应用（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）（含答案解析）

第11讲函数与方程的综合应用【人教A版2019】模块一模块一函数的零点与方程的解1．函数的零点(1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.(2)函数的零点与方程的解的关系函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.关系如下表所示：根零点交点方程f(x)=0的根函数y=f(x)的零点f(x)图象与x轴交点的横坐标方程f(x)=g(x)的根函数y=f(x)-g(x)的零点f(x)与g(x)图象交点的横坐标2．函数零点存在定理(1)函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.(2)函数零点存在定理的几何意义：在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点.3．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)=g(x)-h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.【题型1求函数的零点（个数）】【例1.1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f(x)=lnx，则函数y=f(f(x))的零点为（A．1 B．0 C．e D．e【解题思路】先根据函数解析式，求出y=f(f(x))的解析式，再由函数的零点定义，解对数方程即得.【解答过程】由f(x)=lnx可得由f(f(x))=0可得，lnx=1，解得x=故选：C.【例1.2】（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知函数fx=xx+3,x<0,A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】分类求出函数零点即可.【解答过程】当x<0时，由xx+3=0，得当x≥0时，由xx−3=0解得x=0或故共有3个零点.故选：C.【变式1.1】（2024·陕西西安·一模）函数f(x)=log2x−A．4 B．4或5 C．5 D．−4或5【解题思路】根据零点的定义结合对数的运算求解，注意函数的定义域.【解答过程】由题意可得：x>0x+20>0，解得x>0，故f(x)的定义域为0,+令f(x)=log2x−log4(x+20)=0，得log4又∵x>0，所以x=5．故选：C.【变式1.2】（23-24高一上·吉林·期末）函数fx=xA．l B．2 C．3 D．4【解题思路】先解出x≤0时，函数的零点；当x>0时，令gx【解答过程】当x≤0时，由x5−x3=0当x>0时，由lnx−令gx由y=lnx以及y=−1gx=ln又g1=ln根据零点存在定理可得，gx在1,根据函数的单调性可知，gx=ln所以，lnx−综上所述，fx故选：C.【题型2零点存在性定理的应用】【例2.1】（23-24高一下·湖南·期中）函数fx=xA．1,2 B．2,3 C．3,4 D．4,5【解题思路】运用零点的存在性定理判断即可.【解答过程】对于fx=x3+而f1=−47，f(2)=−38，f(3)=−15，f(4)=30，f(5)=107，由于根据零点存在性定理，知道函数fx=x故选：C.【例2.2】（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）“a≤−2”是“函数fx=ax+3在区间−1,2上存在零点”的（

）A．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据零点存在性定理，列出不等式求解a的范围，再根据充分必要条件的知识判断即可.【解答过程】因为f(x)=ax+3在区间[−1,2]上存在两个零点，所以f(−1)·f(2)≤0,解得a≥3或a≤−3因为集合{a|a<−2}是集合{a|a≤−32或所以“a≤−2”是“函数f(x)在[−1,2]上存在零点”的充分不必要条件.故选：A.【变式2.1】（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）函数fx=2A．−2,−1 B．0,1 C．−1,0 D．−1,0【解题思路】由函数解析式，明确其单调性，利用零点存在性定理求解即可.【解答过程】由函数fx=2因为f−2=1f0=1+0−2=−1<0，所以fx零点所在区间是0,1故选：B.【变式2.2】（23-24高一下·海南·阶段练习）函数fx=xA．0,1 B．1,2 C．2,3 D．3,4【解题思路】先验证函数fx的单调性，再代入f【解答过程】当x>0时，设x1则fx故fx在0,+又f2=4+4ln由零点存在定理可知，函数fx的零点所在的区间为2,3故选：C.【题型3\o"比较零点的大小关系"\t"/gzsx/zj145218/_blank"比较零点的大小关系】【例3.1】（2024·广东梅州·二模）三个函数fx=x3+x−3，gx=lnx+x−3A．a<b<c B．c<a<bC．a<c<b D．b<c<a【解题思路】先判断各函数的单调性，再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案.【解答过程】因为函数y=x3，y=ex，所以函数f(x)=x3+x−3，g因为f1所以函数fx的零点在1,2上，即a∈因为g2所以函数gx的零点在2,3上，即b∈因为ℎ0所以函数ℎx的零点在0,1上，即c∈综上，c<a<b．故选：B．【例3.2】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设x>0，函数y=x2+x−7,y=2xA．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b【解题思路】由题意a,b,c分别为函数y=−x+7与函数y=x2,y=【解答过程】分别令y=x则x2则a,b,c分别为函数y=−x+7与函数y=x分别作出函数y=x

由图可知，a<b<c.故选：A.【变式3.1】（23-24高一上·河北唐山·期末）若函数f(x)=12x−x，g(x)=log13x−x，ℎ(x)=xA．a>b>c B．c>a>b C．a>c>b D．c>b>a【解题思路】根据条件，将零点问题转化成函数图象交点，再根据图象即可求出结果.【解答过程】由f(x)=12x−x=0，得到12由ℎ(x)=x+0.1−x=0，得到在同一直角坐标系中，作出函数y1由图知，b<a<c故选：B.【变式3.2】（2024·浙江丽水·二模）已知正实数x1,x2,x3满足x12A．x3<xC．x1<x【解题思路】依题意可得x1+1x1=2x1【解答过程】因为x1，x2，x3为正实数，且满足x12则x12+1=x1所以x12+1x1=2x1−2，x令fx=x+1由对勾函数的性质可得fx=x+1x在0,1上单调递减，在满足x1+1x1=2满足x2+1x2=3满足x3+1x3=4在同一平面直角坐标系中画出y=fx、y=2x−2、由图可知x3故选：A.【题型4根据函数零点（方程根）的个数求参数范围】【例4.1】（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数fx=x−2+a,x≥2ax−2,x<2（a>0且a≠1），若存在实数A．0<a<1 B．a>1 C．12<a<1 【解题思路】先求得y=fx−a的一个零点为2，然后对a进行分类讨论，由此来求得【解答过程】y=fx当x≥2时，y=x−2单调递增，且零点为x=2当x<2时，令y=fx−a=0，得若a>1，画出y=ax−2（x∈R）与y=a则loga所以a2−2≥22这两个方程组无解，所以a>1不符合题意.若0<a<1，画出y=ax−2（x∈R

此时loga2<0<2，由图可知y=a综上所述，a的取值范围是0,1.故选：A.【例4.2】（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知fx=|log21−x|，x<1A．(1,2) B．2,C．13+12,4【解题思路】先画出函数图象，ft=0有两根t1=0和t2=2+m【解答过程】观察各选项可得m>1，作出fx

f1=m−1，f令t=fx，先解ft=0，知其有两根t则方程fx=t1=0提供2故m−1≤t2<m，即m−1≤2+故选：D.【变式4.1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)=x+2a,x<0x2−ax,x≥0，若关于x的方程【解题思路】先讨论a≤0，结合函数解析式，确定显然不满足题意；再讨论a>0，画出fx【解答过程】若a≤0，当x<0时，fx当x≥0时，由fx=x2−ax=xx−a=0所以由f[f(x)]=0可得fx=0，则x=0；即方程故不满足f[f(x)]=0有8个不同的实根；若a>0时，画出fx由f[f(x)]=0可得f1x=−2a，f又f[f(x)]=0有8个不同的实根，由图象可得，f2x=0所以f1x=−2a必有三个根，而−2a<0为使f1x=−2a有三个根，只需−2a>−a2综上，a>8，即a的取值范围是(8,+∞【变式4.2】（23-24高一上·贵州黔西·期末）已知函数f(1)若fx=1，求x的值；(2)若函数y=ff【解题思路】（1）分x≤0和x>0两种情况，结合分段函数解析式运算求解；（2）令fx=0，分x≤0和x>0两种情况，解得x的值为−12或1，由题意可得y=fx【解答过程】（1）若fx当x≤0时，可得2x+1=1，解得x=0；当x>0时，可得lnx=1，则lnx=1或lnx=−1，解得综上所述：x的值为0或e或1e（2）若fx当x≤0时，可得2x+1=0，解得x=−1当x>0时，可得lnx=0，则lnx=0综上所述：x的值为−1令y=ffx−m=0，可得即fx=m−1由题意可知：y=fx的图象与y=m−12作出y=fx由图可得：0<m−12≤1m+1>1或所以实数m的取值范围12模块模块二二分法1．二分法(1)二分法的定义：

对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点.

(3)用二分法求方程的近似解：

用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a,)包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内.(4)用二分法求函数零点的近似值的步骤

给定精确度，用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的一般步骤如下：

1.确定零点的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0.

2.求区间(a,b)的中点c.

3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：

(1)若f(c)=0(此时=c)，则c就是函数的零点；

(2)若f(a)f(c)<0(此时∈(a,c))，则令b=c；

(3)若f(c)f(b)<0(此时∈(c,b))，则令a=c.

4.判断是否达到精确度：若|a-b|<，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4.【题型5\o"用二分法求近似解的条件"\t"/gzsx/zj145219/_blank"用二分法求近似解的条件】【例5.1】（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A．fx=2x C．fx=x+1【解题思路】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解.【解答过程】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；对于A，fx=2x有唯一零点对于B，fx=x但y=x+对于C，fx=x+1对于D，fx=ln故选：B.【例5.2】（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（

）A．log2x+x=0 B．ex+x=0 C．【解题思路】转化为不能用二分法求零点的函数问题，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论.【解答过程】对于A，fx=log2x+x可以使用二分法，故A错误；对于B，fx=ex+x故B错误；对于C，x2对于D，fx=x+ln可以使用二分法，故D错误.故选：C.【变式5.1】（2024高一上·全国·专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（

）A．

B．

C．

D．

【解题思路】根据二分法求解函数零点的要求判断四个选项即可.【解答过程】由二分法的定义，可知只有当函数fx在区间a,b上的图象连续不断，且f即函数的零点是变号零点时，才能将区间a,b一分为二，逐步得到零点的近似值．对各选项分析可知，选项A，B，D都符合，而选项C不符合，因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．故选：C.【变式5.2】（23-24高一上·福建福州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（

）A．fx=3x+1 B．fx=x3【解题思路】能用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论.【解答过程】易知函数fx=x而选项A、B、D中的函数，它们在各自的零点左右两侧的函数值符号相反，可以用二分法求函数的零点；故选：C.【题型6用二分法求方程的近似解】【例6.1】（24-25高一上·全国·随堂练习）若函数fxffffff那么方程x3+xA．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875【解题思路】利用零点存在性定理找到零点所在区间，即可获得方程的近似解【解答过程】∵f(1.40625)=−0.054<0<f(1.4375)=0.162>0，∴f(1.40625)⋅f(1.4375)<0，零点在区间(1.40625,1.4375)内，即该方程的根在区间(1.40625,1.4375)内，结合各选项，方程的近似解为1.421875.故选：D.【例6.2】（24-25高一上·全国·课后作业）用二分法求方程ln2x+6+2=3x1.001.251.3751.50f(x)1.07940.1918-0.3604-0.9989则由表中的数据，可得方程ln2x+6+2=3A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875【解题思路】由图表知f1.25⋅f1.375【解答过程】因为f1.25⋅f1.375<0，故根据二分法的思想，知函数但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.3125，两个区间(1.25,1.3125)和(1.3125,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.0625<0.1，因此1.3125是一个近似解．故选：B.【变式6.1】（23-24高一上·四川成都·期中）设函数fx=xlnx+2x−6，用二分法求方程xlnx+2x−6=0在A．2.5,3 B．2.25,2.5 C．2,2.25 D．不能确定【解题思路】利用零点存在性定理及二分法的相关知识即可判断.【解答过程】显然函数fx=xln由于f(2)<0,f(2.25)>0，所以f(2)·f(2.25)<0，由零点存在性定理可得：fx=xln所以方程xlnx+2x−6=0在区间故选：C.【变式6.2】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）若函数fx=x3+x751.43751.40625f−20.625−0.984−0.2600.165−0.052A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375【解题思路】首先分析题意与表格，运用二分法求方程的近似解进行解答.【解答过程】由表格可知,方程x3+x又因为1.4375−1.40625=0.03125<0.04,故方程x3故选:D.【题型7用二分法求函数的近似值】【例7.1】（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知函数fx=x3+x−1x010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875f−11−0.3750.1719−0.1309−0.25950.01245−0.06113−0.02483若用二分法求fx零点的近似值（精确度为0.1），则对区间0,1等分的最少次数和fx零点的一个近似值分别为（A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65【解题思路】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果【解答过程】由题意可知，对区间(0,1)内，设零点为因为f0<0，f1>0，f(0.5)<0，所以又0.5+12=0.75，f(0.75)>0，x0又0.5+0.752=0.625，f(0.625)<0，x又0.625+0.752=0.6875，f(0.6875)>0，x0需要求解f(0.5),然后达到fx故选：C.【例7.2】（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数fx=ex−x−2的一个正零点的近似值（精确度为0.1)A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值C．没有达到精确度的要求，应该接着计算fD．没有达到精确度的要求，应该接着计算f【解题思路】由二分法的定义直接求解即可.【解答过程】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，1,1.5→1,1.25→故没有达到精确的要求，应该接着计算f1.125+1.25故选：C.【变式7.1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）函数fx=xA．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】取区间的中点，利用零点的存在性定理判断零点所在的区间，并比较区间的长度与精确度的大小，直到符合要求为止．【解答过程】至少需要进行3次函数值的计算，理由如下：f(−2)=−8−4+5=−7<0,f(−1)=−1−1+5=3>0，−2−(−1)=1>0.2取区间[−2,−1]的中点x1且f−所以x0−3取区间−32,−1且f−所以x0−32−−54且f−所以x0因为−11所以区间−32,−即为零点的近似值，即函数f(x)的零点x0所以至少需进行3次函数值的计算.故选：B.【变式7.2】（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知函数f(x)在(0,1)内有一个零点，且求得f(x)的部分函数值数据如下表所示：x010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875f(x)-11-0.3750.1718-0.1308-0.25950.01245-0.06113-0.02483要使f(x)零点的近似值精确到0.1，则对区间(0,1)的最少等分次数和近似解分别为（

）A．6次0.7 B．6次0.6C．5次0.7 D．5次0.6【解题思路】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果.【解答过程】由题意可知，对区间0,1内，需要求解ff0.65625的值，然后达到fx零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为共计算5次.故选：C.一、单选题1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）函数y=x2+3x+2A．1,0,2,0 B．1，2 C．−1,0,【解题思路】利用零点定义解方程可得结论.【解答过程】令y=x2+3x+2=0由零点定义可得函数y=x2+3x+2故选：D.2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（

）A．y=3x−1 B．y=x3 C．y=x【解题思路】逐一分析各个选项的函数是否有零点，零点两侧符号是否相反即可得解.【解答过程】对于A，y=3x−1为单调递增函数，有唯一零点x=1所以可用二分法求零点，故A正确；对于B，y=x3为单调递增函数，有唯一零点所以可用二分法求零点，故B正确；对于C，y=x不是单调函数，有唯一零点x=0所以不可用二分法求零点，故C错误；对于D，y=lnx为单调递增函数，有唯一零点所以可用二分法求零点，故D正确.故选：C.3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数fx在区间a,b具有单调性，且fafb<0，则方程fA．至少有一实根 B．至多有一实根C．没有实根 D．有且只有一实根【解题思路】根据零点存在性定理判断即可.【解答过程】因为f(a)f(b)<0,f(x)在区间[a,b]具有单调性，但是f(x)的连续不知道，因此根据零点存在性定理可知f(x)在区间[a,b]至多只有一实根.故选：B.4．（23-24高一上·湖南长沙·期末）设f(x)=2x+x−8，用二分法求方程2x+x−8=0A．1,2或2,3都可以 B．2,3C．1,2 D．不能确定【解题思路】借助二分法定义计算即可得.【解答过程】f(1)=2x+x−8=2+1−8=−5<0第一次取x1=1+5故第二次取x2=1+3故此时可确定近似解所在区间为2,3.故选：B.5．（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数fxx0.06250.093750.1250.156250.1875f-0.4567-0.18090.09780.37970.6647根据上述数据，可得fx=5A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.078125【解题思路】根据二分法的性质即可求解.【解答过程】已知f0.09375<0，f0.125所以零点在区间[0.09375,0.125]上，|0.125−0.09375|=0.03125<0.025×2，所以0.125+0.093752=0.109375可以作为故选：B.6．（2024·内蒙古赤峰·二模）设函数y=x2+2x−10,y=2x+2x−10,y=log2x+2x−10A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b【解题思路】分析可知y=10−2x与y=x2,y=2x,y=log【解答过程】令y=x可得x2可知y=10−2x与y=x2,y=2x,y=log在同一坐标系内作出y=10−2x，y=x2根据图象可知：y=10−2x与y=x2有2个交点，但均有所以a<b<c.故选：A.7．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数fx的定义域为R，且fx+1是奇函数，当x>1时，fx=2−x,1<x≤2x2A．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】先判断函数的对称中心，再结合图象及交点个数，最后结合对称性得出所有根的和.【解答过程】由题知fx+1是奇函数,则有：fx+1+f−x+1=0,且f1=0,x>1时，gx恒过1,0，且gx关于方程fx根据fxy=gx由图像可知f另外四个，两两分别关于1,0对称，故五个交点横坐标和为2×2+1=5,即所有根之和5.故选：C.8．（24-25高三上·山东日照·阶段练习）已知函数fx=x2−1x−1+1,x∈−2,0A．m|−12<m<C．{m|−32<m<−12或m=0} D．【解答过程】当x∈[−2,−1)时，fx=x+2；当x∈[−1，又x>0时，f(x)=2f(x−2)，所以可作出函数在[−2,−4]的图像如下：函数gx=fx所以函数y=f(x)与y=x+2m+1在区间−2,4内有3个不同交点，由图像可得−1−2m=−1或0<−1−2m<2,即m=0或−3故选：C.二、多选题9．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数fx零点的近似值时，若第一次所取区间为−2,4，则第二次所取区间可能是（

A．−2,−1 B．−2,1 C．2,4 D．1,4【解题思路】利用二分法的定义得到答案.【解答过程】由题知第一次所取区间为−2,4，取中间值−2+42则第二次所取区间可能是−2,1或1,4.故选：BD.10．（23-24高二下·湖北孝感·期末）若函数y=fx在区间a,b上的图象不间断，则下列说法正确的是（

A．若fafb>0，则B．已知方程ex=8−x的解在k,k+1C．若fafb<0，则D．若fx在a,b内有且只有一个零点，则fa【解答过程】对A，若fx=x2，则f0令a=−1，b=1，fafb>0，则对B，令fx=ex+x−8，又fx在所以方程ex=8−x的解在1,2内，所以对C，函数y=fx在区间a,b上的图象不间断，若fafb<0对D，若fx=x2，a=−1，b=1，又fx故选：BC．11．（24-25高三上·江苏连云港·开学考试）已知函数fx=log2x,0<x≤2x2−6x+9,x>2，若方程fx=k有四个不同的零点xA．0<k<1 B．2C．x1x2【解题思路】在同一直角坐标系内作出y=fx和y=k的图象，结合图象，可判定A正确；再由图象得到12<x1【解答过程】如图所示，在同一坐标系内作出函数fx=log由图象知，要使得方程fx=k有四个不同的零点，只需对于B中，因为f(1且函数y=x2−6x+9由图象得12<x所以log2x2+log所以2x1+令gx=x+2x≥2所以2x对于C中，x1,x所以−log2x1=log2x2，即log2所以x1对于D中，由x1x2令ℎx=2x+1x,(1<所以ℎx>ℎ1=3，即故选：ABD.三、填空题12．（24-25高一上·全国·课后作业）函数fx=x−x−6的零点是【解题思路】令fx=0解得x=3，从而x=9【解答过程】由题意可知fx的定义域为x令fx=x−x−6=0，可得x2−x故答案为：9.13．（24-25高一上·上海·随堂练习）用二分法求方程x3−2x−5=0的实根，由计算器可算得f2=−1，f3=16，【解题思路】利用二分法求解.【解答过程】因为f2=−1<0，f2.5所以下一个有根区间为2,2.5，故答案为：2,2.5．14．（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）已知函数gx=2x−1，若函数fx=【解题思路】令fx=0，可得gx=2或gx=−a−1，函数有三个零点，则需方程【解答过程】令fx=0，可得所以[gx−2][gx+a+1]=0，所以gx=2或gx=−a−1，由方程2x=−1无解，方程2x要使函数fx则gx=−a−1有两解，即y=gx作出函数y=gx由图象可得0<−a−1<1，解得−2<a<−1.所以a的取值范围为(−2,−1).故答案为：(−2,−1).四、解答题15．（24-25高一·全国·课后作业）用二分法求下列函数在给定区间内的零点：(1)fx=3x(2)fx=2x【解题思路】（1）结合零点存在性定理利用二分法即可求出结果；（2）结合零点存在性定理利用二分法即可求出结果.【解答过程】（1）因为f0>0，f1又f12<0，f又f14<0，f又f18>0，f又f316>0，f因为316≈0.19，14=0.25，则fx（2）因为f−2<0，f−1又f−32<0，f−1>0，则在−32又f−118<0，因为−118≈−1.375，−54=−1.25，则16．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)fx(2)fx(3)f【解题思路】根据零点的概念求解即可.【解答过程】（1）令