第08讲 指数与指数函数（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）

第08讲指数与指数函数【人教A版2019】模块一模块一指数1．指数幂整数指数幂指数

幂中

的指

数从

整数

分数指数幂拓展

到了

有理

数正整数指数幂：正数的正分数指数幂：负整数指数幂：正数的负分数指数幂：规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已.2．有理数指数幂的运算(1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：

①(a>0,r,s∈Q)；

②(a>0,r,s∈Q)；

③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(2)指数幂的几个常用结论：①当a>0时，>0；

②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义；

③若(a>0,且a≠1)，则r=s；

④乘法公式仍适用于分数指数幂.3．无理数指数幂及实数指数幂(1)无理数指数幂一般地，无理数指数幂(a>0,是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂(a>0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数.

(2)实数指数幂的运算性质：

整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同.整数指数幂

的运算性质底数、指数

的取值范围实数指数幂

的运算性质底数、指数

的取值范围m,n∈Z,a∈Rr,s∈R,且a>0m,n∈Z,a∈Rr,s∈R,且a>0n∈Z,a∈R,b∈Rr∈R,且a>0,b>04．指数幂运算的一般原则(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【题型1指数幂的化简、运算】【例1.1】（24-25高一上·全国·课堂例题）化简a⋅3aA．3a B．6a7 C．1【例1.2】（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（

）A．m4·mC．−2xy3=−6x【变式1.1】（24-25高一上·全国·课堂例题）计算下列各式的值：(1)83(2)aπ(3)π3【变式1.2】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：2a23b1（2）求值：23【题型2指数式的给条件求值问题】【例2.1】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知a+1a=2，则aA．2 B．4 C．±2 D．±4【例2.2】（23-24高一上·江苏镇江·期中）若x+x−1=3，则x2+x−2+3x3+x−3+2【变式2.1】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知x−x(1)x2(2)x+【变式2.2】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知a1(1)a+a(2)a3【题型3指数方程与指数不等式】【例3.1】（24-25高一上·全国·课后作业）方程32x−1=A．−2 B．−22 C．2【例3.2】（2024高一·全国·专题练习）方程5x−1A．1,4 B．14 C．1,14【变式3.1】（2024·全国·模拟预测）求方程25x【变式3.2】（23-24高一上·江苏镇江·期中）计算：(1)0.064−(2)求不等式0.21−模块模块二指数函数1．指数函数的概念(1)一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

(2)指数函数y=(a>0,且a≠1)解析式的结构特征：

①的系数为1;

②底数a是大于0且不等于1的常数.2．指数函数的图象与性质0<a<1a>1图象性质定义域R值域过定点图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1单调性在上是减函数在上是增函数函数值的变化范围当x<0时，y>1当x<0时，0<y<1当x=0时，y=1当x=0时，y=1当x>0时，0<y<1当x>0时，y>13．比较指数幂的大小的方法比较指数幂的大小的方法（分三种情况）：(1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；(2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断；(3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”.【题型4指数函数图象——底数比较大小】【例4.1】（24-25高一·全国·课后作业）函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：54，3，13，12A．54，3，13，12 B．3，54C．12，13，3，54， D．13，12【例4.2】（23-24高一上·浙江温州·期中）函数f(x)=ax−b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（

A．a>1,b<0 B．a>1,b>0C．0<a<1,b>0 D．0<a<1,b<0【变式4.1】（23-24高一·全国·课后作业）已知y1=13x，y2=3x，y3C． D．【变式4.2】（2024高二·湖北·学业考试）设a，b，c，d都是不等于1的正数，函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx

A．a<b<c<d B．b<a<d<c C．c<d<a<b D．d<c<b<a【题型5指数函数过定点问题】【例5.1】（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）函数fx=aA．0,1 B．(1,1) C．(2,3) D．(2,4)【例5.2】（23-24高一上·重庆·阶段练习）直角坐标平面上将函数f(x)=ax+1−2（a>0，a≠1）的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则所得新函数g(x)A．(−2,0) B．(0,1) C．(2,−1) D．(0,−1)【变式5.1】（23-24高一上·山东·期中）函数y=2−3ax−2(a>0,a≠1)A．2,−1 B．0,2 C．0,−1 D．2,1【变式5.2】（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知幂函数f(x)=(a−2)xa，则g(x)=bx+a+1(b>1)过定点（

）A．(1,1) B．(1,2) 【题型6利用指数函数单调性比较大小】【例6.1】（23-24高一上·福建福州·期中）已知a=4523，b=2334，c=4A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b【例6.2】（23-24高一上·吉林·期末）已知a=110.3，b=5，c=21.2，则a，bA．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．b<a<c【变式6.1】（23-24高三上·天津武清·阶段练习）已知a=0.60.5，b=0.50.5，A．a>c>b B．c>a>b C．a>b>c D．b>c>a【变式6.2】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）设a=2313，b=1.5A．a<c<b B．c<a<b C．b<c<a D．a<b<c模块模块三指数型复合函数1．指数型复合函数的解题策略常见的指数型函数主要分为两类：一类是与二次函数复合的指数型函数；另一类是与分式复合的指数型函数；求解指数型复合函数时，先分析该复合函数的复合型式，再借助指数函数的图象和性质来研究指数型复合函数的性质，然后结合具体问题，进行求解即可.【题型7指数型函数——与二次函数复合】【例7.1】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数fx满足f2x=a2x−4(1)求fx(2)若a=2，求函数y=f(3)讨论fx【例7.2】（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数fx=a2x+a−2x+m(2)若fx≥−1恒成立，求实数【变式7.1】（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数fx(1)若m=1，求不等式fx(2)若∀x∈0,2,fx【变式7.2】（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数f(x)=3(1)求实数k的值；(2)若对∀x∈−2,−1，不等式f【题型8指数型函数——与分式复合】【例8.1】（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）定义域为R的函数fx(1)求实数a,b的值；(2)若存在t∈−2,0，使得ft+3k+f【例8.2】（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知fx=2(1)试判断函数fx(2)已知gx=1+fx1−fx，若对任意x∈R且【变式8.1】（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知fx=a+(1)求f(1)的值；(2)求a与b的值，并求出fx(3)判断fx在0,+【变式8.2】（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知函数f(x)=b+2bx(1)求f(x)的解析式并用定义证明f(x)的单调性；(2)∃x∈2,3使得t⋅f(x)≥2x一、单选题1．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）253×25A．4 B．8 C．1258 D．81252．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知指数函数fx图象过点3,27，则fA．3 B．6 C．9 D．273．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知实数a满足a+a−1=4，则aA．14 B．16 C．12 D．184．（2024高二下·安徽·学业考试）若函数y=a2−5a+7A．a=2 B．a=3C．a=2或a=3 D．a>2，且a≠35．（23-24高一上·贵州遵义·期末）已知实数x,y满足x−3y=1，则2x+1A．2 B．2C．22 6．（24-25高三上·河南·阶段练习）函数f(x)=xexA．

B．

C．

D．

7．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）设函数fx=3xx−aA．−∞,0] B．[−3,0) C．0,3 8．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数f(x)=−212|x|+a，其图象无限接近直线y=1但又不与该直线相交，则A．(−∞,−2)∪(2,+∞C．(−∞,−1)∪(1,+∞二、多选题9．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）下列选项中正确的有（

）A．nan=a B．若a∈R，则a2−a+110．（23-24高一上·重庆南岸·期末）已知函数fx=eA．函数fx的定义域为B．函数fx的值域为C．函数fxD．函数fx11．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知函数fx=1−m⋅exA．m=1 B．fxC．f2+f−1<0 D．y=f2+x三、填空题12．（24-25高一上·上海·开学考试）化简：3a5⋅1a13．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）函数y=12−x214．（24-25高三上·江苏·开学考试）设函数f(x)=2x−2−x，则使得f(x2)+f(2x−3)<0成立的四、解答题15．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：2a23b1（2）求值：2316．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：18（2）化简：5x（3）已知x12+17