第04讲 三个“二次”及其拓展（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）

第04讲三个“二次”及其拓展【人教A版2019】模块一模块一一元二次不等式1．一元二次不等式一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.2．一元二次不等式的解法(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．3．分式、高次、绝对值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步骤：①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步骤：高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.(3)解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.【题型1解不含参的一元二次不等式】【例1.1】（24-25高一上·全国·随堂练习）不等式3+5x−2x2≤0A．x|x>3或x<−12 B．x|−12【例1.2】（23-24高一上·辽宁·期中）设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则满足不等式x2+5A．−7,−2 B．−8,3 C．−7,3 D．−7,−3【变式1.1】（2024·天津·模拟预测）已知p:x2+2x−3<0，q:x2+x−2<0，则A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【变式1.2】（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x∣x<−2或x>−1}A．x−1<x<12 C．x−1<x<−12 D．{x∣x<−2或x>1}【【例2.1】（23-24高一上·河南开封·期中）关于x的不等式ax2−A．∅ B．xx>1 C．x1<x<1【例2.2】（23-24高一上·山东·阶段练习）不等式ax2−A．x1a≤x≤1C．xx≤1a或x≥1 D．【变式2.1】（2024高一·全国·专题练习）不等式ax2−A．{x|2a≤x≤1}C．{x|x≤2a或【变式2.2】（23-24高一上·浙江台州·期中）不等式ax2+bx+c>0的解集为xA．a+b+c<0B．9a+3b+c>0C．不等式cx2D．不等式cx2+bx+a>0的解集为【题型3由一元二次不等式的解确定参数】【例3.1】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx−c<0的解集为x|3<x<5，则不等式cA．xx<15或x>13C．x15<x<【例3.2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组x2−x−2>02x2+(5+2k)x+5k<0的整数解只有A．(1,2) B．[1,2]C．(1,2] D．[−3,2)【变式3.1】（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于x的不等式x2−a+1x+a<0恰有三个整数解，则实数a的取值范围是（

）A．C．−3,−2∪4,5 【变式3.2】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为x|−1<x<3A．b=2aB．4a+2b+c<0C．不等式ax+c>0的解集为x|x<3D．不等式bx2【题型4其他不等式的解法】【例4.1】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）不等式4x−2≤x−2的解集为（A．−∞,2∪C．2,4 D．−【例4.2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式x2−3x<2−2xA．−1,12 B．−12,1【变式4.1】（23-24高一下·全国·课后作业）解下列不等式：(1)−x(2)3x−3(3)3−2x≥(4)3x−11x【变式4.2】（24-25高一上·上海·假期作业）求下列不等式的解集.(1)2x−3(2)x(3)2x−3x+2>1模块二模块二三个“二次”的关系1．二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系△>0△=0△<0y=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1,x2（x1<x2）有两个相等的实数根没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集或Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．【题型5二次函数零点（方程的根）的分布问题】【例5.1】（2024高三·全国·专题练习）关于x的方程ax2+a+2x+9a=0有两个不相等的实数根x1,A．−27<a<C．a<−27 【例5.2】（23-24高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数y=−x2+bx+c只有一个零点，不等式−x2+bx+c−m>0的解集为A．−4 B．−3 C．−2 D．−1【变式5.1】（23-24高一上·广东广州·阶段练习）已知关于x的方程x2+x+m=0在区间1,2内有实根，则实数m的取值范围是（A．[−6,−2] B．(−6,−2) C．(−∞,−6]∪[−2,+∞【变式5.2】（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数f(x)=ax2−bx+c（a<b<c）有两个零点-1和m，若存在实数x0，使得fxA．x0−2 B．x0+12【题型6三个“二次”关系的应用】【例6.1】（23-24高一·全国·课堂例题）不等式ax2−bx+c>0的解集为x−2<x<1，则函数A．

B．

C．

D．

【例6.2】（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知不等式ax2+bx+c>0的解集是(−∞,−1)∪(3,+∞)，则对函数f(x)=ax2+bx+c，下列不等式成立的是（

C．f(0)>f(1)>f(4) D．f(0)>f(4)>f(1)【变式6.1】（23-24高一·全国·课后作业）已知二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，且ax2+bx+c=0有两个实数根x1A．0 B．3 C．6 D．不能确定【变式6.2】（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数y=x2+ax+ba,b∈R的最小值为0，若关于x的不等式y<c的解集为区间m,m+6，则实数A．9 B．6 C．3 D．1模块模块三一元二次不等式恒成立、有解问题1．一元二次不等式恒成立、存在性问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))【题型7一元二次不等式恒成立问题】【例7.1】（23-24高一上·广东广州·期中）若∀x∈R，ax2−3x+a≥0恒成立，则实数aA．a≤32 B．−32<a≤32 【例7.2】（23-24高三上·辽宁铁岭·期中）已知∀x∈1,2，∀y∈2,3，y2−xy−mxA．4,+∞ B．0,+∞ C．6,+∞【变式7.1】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数fx=x2(1)若关于x的不等式fx−2x<0的解集为1,m，求实数a和实数(2)若对∀1≤x≤4，fx≥gx【变式7.2】（23-24高一上·福建莆田·期中）设函数fx=x(1)若t=1，且对任意的x∈a,a+2，都有fx≤5(2)若对任意的x1,x2∈【题型8一元二次不等式有解问题】【例8.1】（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式x2−m+1x+9≤0在1,4上有解，则实数A．9 B．5 C．6 D．21【例8.2】（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个x<0，使得关于x的不等式3−3x−a>x2+2xA．−374,3 B．−3,134 【变式8.1】（23-24高一上·山东济宁·期末）设函数f(x)=ax（1）若不等式fx>0的解集为−1,1，求实数（2）若f1=0，且存在x∈R，使fx【变式8.2】（23-24高一上·福建·期中）已知函数f(1)若fx>0的解集是x|x<2或x>3，求实数(2)当a=1时，若−2≤x≤2时函数fx≤−m+5一、单选题1．（23-24高二下·福建福州·期末）设a为实数，则关于x的不等式ax−1x+2>0的解集不可能是（A．−∞,−2 C．1a,−2 2．（24-25高一上·北京·开学考试）已知二次函数y=mx2−2mx（m为常数），当−1≤x≤2时，函数值y的最小值为−2A．−2 B．1 C．2或−23 3．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）不等式ax+1x+b>1的解集为xx<−1或x>4，则x+aA．x −6≤x<−1C．x−6≤x≤−144．（2024高三·全国·专题练习）已知关于x的方程x2+m−3A．方程x2+B．方程x2+C．方程x2+D．方程x2+m−3x+m=05．（2024高二下·安徽·学业考试）若不等式ax2−4x+a−3<0对所有实数x恒成立，则aA．−∞,−1∪C．−∞,−1∪6．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式x2−m+2x+2m<0A．(6,7] B．[6,7]C．[6,7) D．(6,7)7．（23-24高一下·江苏·开学考试）已知a>0，b∈R，若x>0时，关于x的不等式ax−2x2+bx−4≥0A．2 B．25 C．4 D．8．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为−A．a>0 B．不等式bx+c>0的解集是{x∣x<−6}C．a+b+c>0 D．不等式cx2二、多选题9．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知关于x的不等式ax−1x+3−2>0的解集是x1,A．x1+xC．x1−x10．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为−A．a>0B．不等式bx+c>0的解集是{x∣x<−6}C．a+b+c>0D．不等式cx211．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为MA．若M=∅，则a<0且bB．若aa′=bb′C．若M={x|−1<x<2}，则关于x的不等式a(x2+1)+b(x−1)+c<2ax的解集为D．若M={x|x≠x0,x0为常数}，且三、填空题12．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式ax+bbx+c<0

13．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）已知a<0，同时满足不等式x2−x−2>0和2x2+(5+2a)x+5a<0的x14．（23-24高一上·云南临沧·期末）在R上定义运算⊗：x⊗y=xy+1,x>y,yx+1,y≥x.若不等式x+3⊗x−a>−1四、解答题15．（24-25高一上·江苏淮安·开学考试）解不等式(1)x(2)x(3)x−2(4)3−2x16．（23-24高一下·全国·课堂例题）关于x的方程x2+m−3(1)有两个正根；(2)一个根在−2,0内，另一个根在0,4内；17．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知二次函数fx=ax2+bx+ca≠0．(