第03讲 基本不等式及其应用（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）（含答案解析）

第03讲基本不等式及其应用【人教A版2019】模块一模块一基本不等式1．均值定理均值定理：如果a、b∈R+(R+表示正实数)，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当a=b时，式中等号成立.此定理又称均值不等式或基本不等式.2．基本不等式推广：≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab).叫做a和b的平方平均值，eq\f(a＋b,2)叫做算术平均值，eq\r(ab)叫做几何平均值.3．基本元素为ab，a+b，a2+b2；其中一个为定值，都可以求其它两个的最值.4．利用基本不等式求最值的条件(1)“一正”：即求最值的两式必须都是正数.(2)“二定”：要求和a+b的最小值，则乘积ab须是定值；要求乘积ab的最大值，则和a+b须是定值.特殊情况下，至少要求各项的和、积是一个可化简的定式.(3)“三相等”：只有满足不等式中等号成立的条件，才能使式子取到最大或最小值.(4)“四同时”：多次使用基本不等式时，需同时满足每个等号成立的条件.【题型1基本不等式链】【例1.1】（23-24高一上·河南·阶段练习）若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中不恒成立的是（

）A．a2+b2≥2ab B．a+b≥2ab【解题思路】用特殊值判断B,根据基本不等式，判断ACD.【解答过程】解：a2+b取a=−1,b=−1，此时a+b=−2<2ab因为ab>0，所以ab>0，所以ab因为ab>0，所以ba>0,a故选：B.【例1.2】（23-24高一上·上海·期中）若实数a、b满足b>a>0，下列不等式中恒成立的是（

）A．2a+b2≥2C．2a+b2<2【解题思路】直接由基本不等式验证即可，注意取等条件.【解答过程】由题意b>a>0，所以直接由基本不等式可得2a+b等号成立当且仅当2a=b2>0，即a=故选：A.【变式1.1】（2024高一·全国·课后作业）若a,b∈R+，则在①ba+ab≥2，②1A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解题思路】根据不等式的性质，以及基本不等式，逐项判定，即可求解.【解答过程】因为a,b∈R对于①中，由ba+a对于②中，由(a+b)(1a+所以1a对于③中，由不等式a3+b两边同除ab，可得b2对于④，由2a可得a2+b2≥故选：B.【变式1.2】（2024高二上·新疆·学业考试）若a,b,c∈R，且ab+bc+ca=1，则下列不等式成立的是（

A．a2+bC．a+b+c≥2 D．【解题思路】选项A，由重要不等式，三个同向不等式相加可得；选项B，由a+b+c2【解答过程】选项A，∵a2+b2≥2ab∴2a∴a2∴a2+b选项B，由a2则a+b+c2选项C，当b=0,a=c=−1时，ab+bc+ca=1，但a+b+c=−2，不满足a+b+c≥2选项D，当a=b=c=33时，但a+b+c=3，不满足a+b+c≤故选：B.【题型2\o"由基本不等式比较大小"\t"/gzsx/zj135331/_blank"由基本不等式比较大小】【例2.1】（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（

）A．甲更合算 B．乙更合算C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算【解题思路】根据题意列出甲乙两次加油的平均单价，进而根据不等式即可求解.【解答过程】设两次的单价分别是x,yx≠y甲加两次油的平均单价为600300乙每次加油a升，加两次油的平均单价为ax+ay2a因为x>0，y>0，x≠y，所以1x+1即甲的平均单价低，甲更合算.故选：A.【例2.2】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足c−b=a+2a−2，c+b=2a2+2a+2a，且a>0，则A．b>c>a B．c>b>a C．a>c>b D．c>a>b【解题思路】利用基本不等式得到c−b>0，两式相减得到b=a2+【解答过程】因为a>0，由基本不等式得c−b=a+2故c>b，因为c+b=2a2+2a+2b=2a故b=a2+故b>a，所以c>b>a.故选：B.【变式2.1】（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（

）A．v=a+b2 B．v=a+b2ab C．【解题思路】求出平均速度可判断AB；利用基本不等式可判断CD.【解答过程】设甲乙两地相距s，则平均速度v=2s又∵0<a<b，∴v=2ab根据基本不等式及其取等号的条件可得：a+b>2ab∴v=2aba+b<故C正确，D错误．故选：C．【变式2.2】（23-24高一下·四川眉山·开学考试）阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买12g黄金，售货员先将6g的砝码放在天平左盘中，取出xg黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将6g的砝码放在天平右盘中，取A．x+y>12 B．x+y=12 C．x+y<12 D．以上选项都有可能【解题思路】设天平的左臂长为a，右臂长为b，再分别求出x=6ab，【解答过程】由于天平的两臂不等长，故可设天平的左臂长为a，右臂长为b，a≠b.由杠杆原理得bx=6a，ay=6b，解得x=6ab，则x+y=6ab+又a≠b，故x+y>12.故选：A.模块二模块二基本不等式的应用1．最值定理最值定理：两个正数的乘积为常数，则两数相等时，它们的和取得最小值；两个正数的和为常数，则两数相等时，它们的乘积取得最大值.即已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．2．常见的求最值模型(1)模型一：，当且仅当时等号成立；(2)模型二：，当且仅当时等号成立；(3)模型三：，当且仅当时等号成立；(4)模型四：，当且仅当时等号成立.3．利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.【题型3直接法求最值】【例3.1】（23-24高一下·湖南邵阳·期末）函数y=x10−x(0≤x≤10)A．4 B．5 C．6 D．8【解题思路】由基本不等式即可求解.【解答过程】∵0≤x≤10，∴10−x≥0，∴x10−x≤x+10−x2=5所以函数y=x10−x(0≤x≤10)故选：B.【例3.2】（23-24高一上·北京·期中）如果m>0，那么m+4m的最小值为（A．2 B．22 C．4 D．【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即得.【解答过程】m>0，m+4m≥2m⋅4所以m+4故选：C.【变式3.1】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）若a,b都是正数，则ab+4bA．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】利用基本不等式即可得解.【解答过程】因为a,b都是正数，则ab所以ab当且仅当ab=4b则ab+4b故选：C.【变式3.2】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知10>x>0，则2−x10−x的最小值为（A．−3 B．−2 C．−1 D．0【解题思路】借助基本不等式计算即可得.【解答过程】因为10>x>0，故x+10−x≥2x当且仅当x=5时，等号成立，所以2−x故选：A.【题型4配凑法求最值】【例4.1】（23-24高三下·贵州毕节·阶段练习）已知a>1，则a+4aa−1的最小值是（

）A．9 B．10 C．12【解题思路】先分离常数，再配凑积为定值形式，再利用基本不等式求最值即可.【解答过程】∵a>1,∴a−1>0，由a+≥2a−1当且仅当a−1=4a−1=2故选：A.【例4.2】（24-25高一上·上海·课后作业）当x>12时，函数A．92 B．4 C．5 【解题思路】根据基本不等式即可求解.【解答过程】∵x>12，∴2x−1>0，∴y=x+82x−1=x+当且仅当x−12=故选：A.【变式4.1】（23-24高一下·浙江·期中）若实数x>2y>0，则3yx−2y+xA．23 B．23−1 C．2【解题思路】首先变形3yx−2y【解答过程】3y≥23y当且仅当(x−2y)2=3y故选：D.【变式4.2】（24-25高二上·云南昆明·开学考试）已知a>b>0，则a+4a+b+A．3102 B．4 C．23 D．32【解答过程】由a>b>0得a+b>0，a−b>0，则a+4因为12a+b+4a+b因为12a−b+1a−b当且仅当a+b=22a−b=2所以a+4a+b+故选：D.【题型5巧用“1”的代换求最值】【例5.1】（24-25高三上·江西·开学考试）已知x,y为正实数，且x+y=1，则x+2y+1xy的最小值为（

A．22+1 B．22−1 C．【解题思路】把化简为x+2y+1xy为2【解答过程】因为x+y=1，则x+2y+1xy由于2y当且仅当3yx=2xyx+y=1，即x=3−故选：C.【例5.2】（23-24高二下·辽宁辽阳·期末）已知xy+5=5y(x>0,y>0)，则y+25x的最小值为（A．25+4 B．8 C．2【解题思路】根据已知条件，应用1的活用常值代换结合基本不等式求出最值.【解答过程】因为xy+5=5y(x>0,y>0)，所以x+5所以y+25当且仅当xy=125xy,xy+5=5y,即x=25−55故选：C.【变式5.1】（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且x+y=2，则x+6y+6xy的最小值为（

A．12 B．3+22 C．252 【解题思路】借助“1”的活用将分式其次化后结合基本不等式计算即可得.【解答过程】由x+y=2，则x+6y+6=4当且仅当2xy=9y2x，即故选：C.【变式5.2】（23-24高二下·江西九江·期末）已知a>0,b>0，且a+b=ab，则ab+1+ba+1A．9 B．12 C．16 D．20【解题思路】将条件等式a+b=ab化成1a+1【解答过程】解：由a+b=ab，得1a+1所以a=32+当且仅当a=b=2时等号成立.故选：B.【题型6和积互化求最值】【例6.1】（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知x>0,y>0，且满足3x+4A．xy的最小值为48 B．xy的最小值为1C．xy的最大值为48 D．xy的最大值为1【解题思路】对给定式子合理变形，再利用基本不等式求解即可.【解答过程】由题意得xy=xy(3x所以xy=9y当且仅当9yx=16x故选：A.【例6.2】（2024·浙江·模拟预测）已知a>0，b>0，若2a2+2ab+1A．2−2 B．2+2 C．4+22【解题思路】首先变形ab=ab×2a2+2ab+【解答过程】ab=ab×2=2设ab则ab=2=x当x=2x，即x=2所以ab的最大值为4−22故选：D.【变式6.1】（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知a>0，b>0，a+b=1，求下列代数式的最小值(1)1a+2(2)1a【解题思路】（1）运用配凑和常值代换法将其转化，利用基本不等式即可求得；（2）展开变形成b2+1ab，再将1【解答过程】（1）因a>0，b>0，a+b=1，则(a+2)+(b+2)=5，于是得1a+2当且仅当b+2a+2=a+2b+2，即a=b=12时取“=”，所以，当（2）因a>0，b>0，a+b=1，则1a当且仅当ab=2ba，即所以当a=2−2，b=2−1【变式6.2】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）若a>0,b>0，且ab=a+b+8(1)求ab的取值范围；(2)求a+4b的最小值，以及此时对应的a的值.【解题思路】（1）利用基本不等式可得出关于ab的不等式，即可得出ab的最小值；（2）利用条件等式，得到a=b+8b−1，进而有【解答过程】（1）∵a>0，b>0，∴ab=a+b+8≥2ab+8，得ab−2ab−8≥0，解得(ab的取值范围为16,+（2）由ab=a+b+8得，a=b+8b−1>0，结合a,b>0∴a+4b=b+8b−1+4b=当且仅当9b−1=4(b−1)时，等式成立，解得b=5即当a=7时，a+4b取最小值为17.【题型7利用基本不等式证明不等式】【例7.1】（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、d∈R，证明下列不等式，并指出等号成立的条件：(1)a2(2)a2【解题思路】（1）利用作差法证明；（2）利用基本不等式证明；【解答过程】（1）因为(a=(a=(ad−bc)2≥0，当且仅当ad=bc时，等号成立；（2）a2≥1所以a2当且仅当a=b=c时，等号成立．【例7.2】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知a>0,b>0,a+b=1，求证:(1)1a(2)1+1【解题思路】（1）作“1”代换，根据基本不等式求解；（2）作“1”代换，根据基本不等式求解.【解答过程】（1）∵a>0,b>0,a+b=1，∴1当且仅当ba=a（2）∵a>0,b>0,a+b=1，∴1+1a当且仅当3ba=4a【变式7.1】（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知x、y都是正数，求证：x+yx（2）已知a>0，b>0，c>0，求证：bca【解题思路】（1）对x+y，x2+y（2）对bca+acb，【解答过程】证明：（1）∵x、y都是正数，∴x+y≥2xy>0，x2∴x+yx2+当且仅当x=y时，等号成立．（2）∵a>0，b>0，c>0，∴bca+acb≥2c∴2bc故bca+ac即a=b=c时等号成立．【变式7.2】（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）证明下列不等式(1)已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，求证：1a(2)已知x>0，y>0，z>0，求证：yx【解题思路】（1）利用“1”的代换，结合加法法则，根据基本不等式即可证明；（2）利用基本不等式结合乘法法则即可证明.【解答过程】（1）1=3+ba+当且仅当a=b=c=1（2）∵x>0，y>0，z>0，∴yx+zx∴yx+当且仅当x=y=z时等号成立.【题型8基本不等式的恒成立、有解问题】【例8.1】（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数x>1,y>12，不等式x2a2A．2 B．4 C．142 D．22【解题思路】首先不等式变形为a2≤x【解答过程】不等式x2a2≤x令t=x≥2x−1=2x−1+1第二次使用基本不等式，等号成立的条件是x−1=1x−1且得x=2且y=1，此时第一次使用基本不等式x−12所以x22y−1+即a2≤8，则所以实数a的最大值为22故选：D.【例8.2】（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）若存在正实数x，y满足于4y+1x=1，且使不等式x+A．−4,1 B．−1,4C．−∞,−4∪【解题思路】利用乘“1”法及基本不等式求出x+y4的最小值，即可得到【解答过程】因为x>0，y>0且4y所以x+y当且仅当4xy=y所以m2−3m>4，即m−4m+1>0，解得所以m的取值范围是−∞,−1【变式8.1】（23-24高一上·河南信阳·期中）已知x，y都是正数，且2x(1)求2x+y的最小值及此时x，y的取值；(2)不等式2x+y2≥mx+2y【解题思路】（1）利用乘“1”法及基本不等式计算可得；（2）依题意可得x+2y=xy>0，参变分离可得m≤2x+y2xy【解答过程】（1）因为x，y都是正数，且2x所以2x+y=2x+y当且仅当2xy=2yx，即x=y=3时取等号，此时（2）由2x+1故2x+y2又2x+y2当且仅当4xy=yx，即x=52，故m的取值范围为mm≤8【变式8.2】（23-24高一·全国·课后作业）已知x>0，y>0．(1)若xy=2，x>y，不等式x2+y(2)若不等式1x+1(3)若x+y=1．且1x+a【解题思路】（1）将x2+y2−4mx+4my≥0（2）将1x+1y+（3）根据x+y=1，a>0，利用基本不等式求解.【解答过程】（1）解：∵x>y>0，∴x−y>0，∴x2+y又xy=2，∴x2当且仅当x−y=4x−y，即x−y=2，即x=3∴4m≤4，∴m≤1．故实数m的取值范围是−∞,1．（2）∵x>0，y>0，∴1x+1又x+y1x+1y∴−m≤4，即m≥−4．∴实数m的最小值为－4．（3）∵x+y=1，a>0，∴1x+ay=又1x∴a+1∴a+1≥3或a∴a≥4．故正实数a的最小值为4．【题型9利用基本不等式解决实际问题】【例9.1】（23-24高二下·江西·期末）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A,B,C三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中B,C区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为xm，鲜花种植的总面积为(1)用含有x的代数式表示a，并写出x的取值范围；(2)当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？【解题思路】（1）根据题意，设矩形花园的长为ym，由条件可得2a+3=（2）由（1）中的结论可得鲜花种植的总面积为S与矩形花园的一条边长x的函数关系式，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.【解答过程】（1）设矩形花园的长为ym∵矩形花园的总面积为750m∴xy=750，可得y=750又∵阴影部分是宽度为1m可得2a+3=750x，可得即a关于x的关系式为a=375（2）由（1）知，a=375则S=≤1515当且仅当3x=1875x时，即∴当x=25m时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为1215【例9.2】（23-24高一上·甘肃临夏·期末）某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？【解题思路】根据题意得到函数表达式y=900x+【解答过程】由题可知y=32x×150+12x×400+5800=900x+16所以y=900x+16x+5800在于是当侧面的长度为4米时，总造价最低．最低总造价是13000元．【变式9.1】（23-24高一上·重庆·阶段练习）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为36000cm2的矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设DC=x(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（AD和CD分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积．【解题思路】（1）根据题意列出总面积y表示为x的表达式即可.（2）根据（1）利用基本不等式求可使用宣传栏总面积最大时AD和CD的值.【解答过程】（1）根据题意DC=xcm，矩形海报纸面积为所以AD=36000又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，所以四个宣传栏的总面积y=CD其中x−50>036000x−20>0即y=x−50（2）由（1）知y=x−50则y=20x+1800000x≥2则y=37000−20x+1800000x≤25000，当且仅当x=300时取等号，即可使用宣传栏总面积最大为25000cm【变式9.2】（23-24高一上·江苏南通·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，浮动价格=5销售量（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x(1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？(2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值.【解题思路】（1）代入数值，求出销售量与单价，即可得出答案；（2）设单套售价为x元，根据已知表示出单套利润，根据基本不等式求解，即可得出答案.【解答过程】（1）每套吉祥物纪念品售价为125元时，销售量为30−0.2×125=5（万套），供货单价为60+5总利润为5×125−61（2）设单套售价为x元，此时销售量为30−0.2x万套，供货价格为60+5同时30−0.2x>0，所以0<x<150.所以单套利润为x−60−≤−2150−x当且仅当150−x=25150−x，即所以每套吉祥物售价为145元时，单套的利润最大，最大值是80元.一、单选题1．（24-25高一上·全国·课后作业）若0<x<4，则2x4−x有（

）A．最小值0 C．最大值22 【解题思路】根据基本不等式求乘积的最大值，再检验最小值的情况即可得解.【解答过程】由基本不等式，得2x4−x当且仅当x=4−x，即x=2时等号成立，故2x4−x有最大值2令2x4−x=0，解得x=0或又0<x<4，所以2x4−x故选：C.2．（2024·全国·三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列不等式不正确的是（

）A．ab≤14 C．1a+1【解题思路】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C.【解答过程】因为a>0，b>0，且a+b=1，由基本不等式可得ab≤a+b22由基本不等式知a+b2≤a即a2+b由题得1a由已知0<b<1，故1−b2∈故1a由基本不等式可得a+即a+b≤故选：D.3．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知a>b≥0且6a+b+2a−b=1，则2a+b的最小值为（

）A．12 B．8【解题思路】根据题意可知2a+b=3【解答过程】因为a>b≥0，则a+b>0,a−b>0，且2a+b=3则2a+b=≥10+23当且仅当3a−ba+b=所以2a+b的最小值为16.故选：C.4．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中0<q<p<1）（

）A．先提价p%，再提价q% B．先提价qC．分两次，都提价p2+q【解题思路】求出每个选项中提价后的水价，结合基本不等式比较大小可得合适的选项.【解答过程】设原来的水价为a，AB选项中，两次提价后的水价为a1+pC选项中，两次提价后的水价为a1+D选项中，两次提价后的水价为a1+因为0<q<p<1，则p2+q所以，p2+q即a1+由基本不等式可得a1+p所以，a1+故选：C.5．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足4x+y=2xy，且不等式x+y4<m2A．{m∣−1<m<2} B．{m∣m<−1或m>2}C．{m∣−2<m<1} D．{m∣m<−2或m>1}【解题思路】根据题意，利用基本不等式求得x+y4的最小值，把不等式x+y【解答过程】由两个正实数x,y满足4x+y=2xy，得1x则x+y当且仅当4xy=y又由不等式x+y4<m2−m有解，可得所以实数m的取值范围为{m∣m<−1或m>2}.故选：B.6．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形ABCD(AB>AD)的周长为4，沿AC折叠使点B到点B′位置，AB′交DC于点P．研究发现当△ADP的面积最大时用电最少，则用电最少时，AB

A．54 B．2 C．32 【解题思路】利用勾股定理AD2+D【解答过程】如图，设AB=x，由矩形ABCD(AB>AD)的周长为4，可知AD=(2−x)．设PC=a，则DP=(x−a)．∵∠APD=∠CPB∴Rt在Rt△ADP中，由勾股定理得A即(2−x)2+(x−a)所以DP=x−a=2x−2x．所以△ADP的面积所以S≤3−2x⋅2x即当x=2时，△ADP的面积最大，面积的最大值为3−2故选：B．7．（2024·山东淄博·二模）记maxx,y,z表示x,y,z中最大的数．已知x,y均为正实数，则maxA．12 B．1 C．2 【解题思路】设M=max2x【解答过程】由题意可知：x,y均为正实数，设M=max2x,1则3M≥2当且仅当x2=4y又因为2x当且仅当2x=1可得3M≥6，即M≥2，所以M=max故选：C.8．（23-24高二下·山西临汾·期末）已知a>b>0，1a−b+1a+b=4，且5a−4b≥mA．−∞,52 B．−∞,2【解题思路】先利用“1”的代换求得5a−4b的最小值，再由5a−4bmin【解答过程】解：设5a−4b=sa−b则s+t=5s−t=4，解得s=则5a−4b=92a−b≥1当且仅当a+b2a−b=所以5a−4b的最小值为2，又因为对a>b>0，1a−b+1所以m≤2，故选：B.二、多选题9．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）下面的结论中正确的是（

）A．若ac2B．若a>b>0，m>0，则a+mC．若a>0，b>0，a+b=1aD．若a>2b>0，则a【解题思路】利用不等式的性质及基本不等式计算即可.【解答过程】对于A，因为ac2>bc2对于B，不妨令a=2,b=1,m=3，则a+mb+m对于C，a+b2当且仅当a=b=1时取得等号，所以a+b≥2，故C正确；对于D，易知2ba−2b≤2b+a−2b所以ba−2b≤a当且仅当a=2,b=2故选：ACD.10．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知x>1,y>1，且不等式x2y−1+y2A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】令a=y−1，b=x−1，a+1≥2a（当且仅当a=1时取等号），b+1≥2b（当且仅当b=1时取等号），所以x2y−1+【解答过程】令a=y−1，b=x−1，因为x>1，y>1，所以a>0，b>0，则y=a+1≥2a（当且仅当a=1时取等号），x=b+1≥2b（当且仅当则x2当且仅当a=b=1时取等号，即x=y=2时取等号，因为不等式x2所以3m−1≤8，则m≤3.故选：AB.11．（24-25高二上·安徽·开学考试）已知正数a，b满足4a+b+ab=12，则下列结论正确的是（

）A．ab的最大值为4 B．4a+b的最小值为8C．a+b的最小值为3 D．1a+1+【解题思路】利用基本不等式判断A、B；依题意可得a+1b+4【解答过程】因为正数a，b满足4a+b+ab=12，所以12−ab=4a+b≥24ab=4ab，当且仅当4a=b，即a=1解得0<ab≤2，所以0<ab≤4，故ab的最大值为12−4a+b即4a+b2+164a+b−192≥0，又所以4a+b的最小值为8，当且仅当4a=b，即a=1，b=4时等号成立，故B正确；由4a+b+ab=12可得a+1b+4所以a+b=a+1当且仅当a+1=b+4时等号成立，此时a=3，b=0，又b为正数，矛盾，故C错误；1a+1+1b=b+416故选：ABD.三、填空题12．（24-25高一上·全国·课堂例题）设a，b为正数，则a2+b22，a+b2，ab，【解题思路】利用基本不等式即可比较,【解答过程】∵a2∴2a∴a2即a2∴a2当且仅当a=b时等号成立，∵2aba+b当且仅当a=b时等号成立，又a+b2≥ab所以a2+b故答案为：a213．（23-24高一下·陕西西安·开学考试）已知正实数x，y满足x+y=2xy，则2x+y的最小值为22+3【解题思路】由题设条件得12(1【解答过程】由已知x+y=2所以2x+y=1当且仅当2xy又x+y=2故答案为：2214．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足x+y=6，若不等式a≤x2x+1+y2y+2恒成立，则实数a的取值范围是−∞,4．【解题思路】【解答过程】因为x+y=6，所以t==x+1+1所以t=3+=329+所以x2x+1+故实数a的取值范围是−∞故答案为：(−∞,4].四、解答题15．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知a>0，b>0，3a+2b+2ab−9=0.(1)求ab的最大值；(2)求2a+b的最小值.【解题思路】（1）利用基本不等式3a+2b≥26ab，将等式转化为关于ab（2）首先将等式变形为a+12b+3=12，再变形【解答过程】（1）因为3a+2b+2ab−9=0≥26ab令6ab=t，则ab=t26，所以所以ab≤326=32，当且仅当（2）由3a+2b+2ab−9=0，得a+12b+3所以2a+b=2a+1当且仅当2a+1=122b+3所以2a+b的最小值为4316．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知a>0，b>0，且a+b=2，证明：(1)a2b+ab2【解题思路】（1）利用基本不等式，求得0<ab≤1，进而证得a2（2）化简a3+