第02讲 常用逻辑用语（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）

第02讲常用逻辑用语【人教A版2019】模块一模块一充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”是真命题"若p,则q"是假命题推出关系及符号表示由p通过推理可得出q，记作：p⇒q由条件p不能推出结论q，记作：条件关系p是q的充分条件

q是p的必要条件p不是q的充分条件

q不是p的必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．2．充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．【注】：“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．3．充分、必要与充要条件的判定(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q.(2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件.(3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件.(4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件.4．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件设.(1)若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；(2)若，则是的必要条件，是的充分条件；(3)若，则与互为充要条件.【题型1充分条件与必要条件的判断】【例1.1】（23-24高一上·河北唐山·期中）下列结论中不正确的是（

）A．“x<4”是“x<B．在△ABC中，“AB2+AC．若a,b∈R，则“a2+b2D．“x为无理数”是“x2【例1.2】（2024高三·上海·专题练习）已知x∈R，则“x3>8”是“x>2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1.1】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如果对于任意实数x，x表示不超过x的最大整数.例如3.27=3，0.6=0.那么“x−y<1”是“[x]=[y]A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1.2】（23-24高一上·广东江门·期中）设m,n∈R，当mn≥0时m⊗n=m+n；当mn<0时m⊗n=m+n.例如−6⊗4=2，则“a=0，b=−1或a=−1，b=0”是“a⊗b=−1”的（A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【题型2充分条件和必要条件逆向求参问题】【例2.1】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知p：−2≤x≤10，q：1−m≤x≤1+m（m>0），若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（

）A．0<m≤3 B．0≤m≤3C．m<3 D．m≤3【例2.2】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知不等式x−m<1成立的充分不必要条件是13<x<12A．−∞,−1C．−34,【变式2.1】（23-24高一下·浙江·期末）已知条件p:|x+1|>2，条件q:x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围是（

）A．a≤1 B．a≥1 C．a≥−1 D．a≤−3【变式2.2】（23-24高三上·江苏南通·开学考试）设p:x−a≤3，q:2x2+x−1≤0，若p是qA．−52,2 B．−52,2【题型3充要条件的证明】【例3.1】（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设a，b，c∈R，求证：关于x的方程ax2【例3.2】（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知集合A=x|x2+(m+1)x+4=0，B=x∈Z|x(2)求证：A至少有2个子集的充要条件是m≤−5，或m≥3．【变式3.1】（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）设a，b，c分别是三角形ABC的三条边长，且a≤b≤c，请利用边长a，b，【变式3.2】（23-24高二上·贵州黔东南·阶段练习）已知一元二次方程ax（1）若x1=1,x2=−1（2）求证：“x=0是方程ax2+bx+c=0(a≠0,b∈R,c∈R)模块二模块二全称量词与存在量词1．命题及相关概念2．全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号∀全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”3．存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义.常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义.4．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)命题的否定一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”.若p是真命题，则¬p必是假命题；若p是假命题，则¬p必是真命题.(2)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．5．全称量词命题与存在量词命题的真假判断(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.【题型4全称量词命题与存在量词命题的真假】【例4.1】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）下列命题是真命题的是（

）A．∀x∈R,x2=xC．∀x∈Z,|x|∈N D．∃x∈R,x2−2x+3=0【例4.2】（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知命题p：∀x∈R，x+x>0；命题q：∃x>0A．p和q都是真命题 B．p和¬q都是真命题C．¬p和q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题【变式4.1】（23-24高一上·江苏苏州·期末）设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0.其中真命题为（）A．p1 B．p2 C．p3 D．p4【变式4.2】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（

）A．至少有一个x∈Z，使得x2<3成立C．∃x∈R，x2=x D．对任意a，b∈R【题型5全称量词命题与存在量词命题的否定】【例5.1】（23-24高二下·陕西西安·期末）若命题p:∀x∈R,1x−2<0，则¬pA．∃x∈R,1x−2≥0C．∃x∈R,1x−2>0或x=2 D．【例5.2】（23-24高一上·天津和平·期末）命题“∃x∈R，x2+x+1<0”的否定为（A．∃x∈R，x2+x+1≥0 B．∃x∉RC．∀x∈R，x2+x+1≥0 D．∀x∉R【变式5.1】（23-24高一上·青海海东·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假．(1)∀x∈R，x4(2)有一个素数是偶数；(3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似．【变式5.2】（23-24高一·全国·课后作业）已知命题p:∀1≤x≤2，x≤a2+1，命题q：∃1≤x≤2，一次函数y=x+a(1)若命题p的否定为真命题，求实数a的取值范围；(2)若命题p为真命题，命题q的否定也为真命题，求实数a的取值范围．【题型6命题与量词的逆向求参问题】【例6.1】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合A=x−3≤x≤10，B=x(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．【例6.2】（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合A=x∣6≤x≤20，集合B=x∣x≤2a，命题p:∃x∈A,x∈B，命题q:∀x∈R(1)若命题p为假命题，求实数a的取值范围；(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围．【变式6.1】（2024·浙江温州·一模）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根；命题q：方程(1)若命题¬p为真，求实数m的取值范围；(2)若命题p，q中有且仅有一个为真一个为假，求实数m的取值范围.【变式6.2】（23-24高一上·湖北黄冈·阶段练习）已知命题p:∀x∈R，a2−1x(1)若“−2−3t≤a≤2t−1”是p成立的充分条件，求实数t的取值范围；(2)若命题p和q有且只有一个为假，求实数a．【题型7常用逻辑用语与集合综合】【例7.1】（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知集合A=(1)判断8，9，10是否属于集合A；(2)已知集合B=x|x=2k+1,k∈Z，证明：“x∈A”的充分条件是“x∈B”；但“x∈B”不是“(3)写出所有满足集合A的偶数.【例7.2】（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知集合A={x|−2≤x−1≤5}、集合B={x|m+1≤x≤2m−1}（m∈R(1)若A∩B=∅，求实数m的取值范围；(2)设命题p：x∈A；命题q：x∈B，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【变式7.1】（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合A=(1)若A∪B≠A，求实数m的取值范围.(2)命题q：“∃x∈A，使得x∈B”是真命题，求实数m的取值范围.【变式7.2】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）设集合A=x−1≤x≤2，集合(1)若“∃x∈R，x∈(A∩B)”为假命题，求实数m(2)若A∩B中有只有三个整数，求实数m的取值范围.一、单选题1．（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）已知命题甲：“实数x，y满足yx=xy”，乙“实数x，y满足A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（23-24高一上·广东·阶段练习）命题“∀x∈1,2,xA．a≥3 B．a≥4 C．a≤3 D．a≥53．（24-25高三上·江西·开学考试）已知命题p:∀x∈R,x−1<1，命题A．命题p和命题q都是真命题B．命题p的否定和命题q都是真命题C．命题q的否定和命题p都是真命题D．命题p的否定和命题q的否定都是真命题4．（23-24高一上·重庆·期末）若“x>2a2−3”是“1≤x≤4”的必要不充分条件，则实数aA．−2,2 B．−2,25．（2024·四川·一模）已知集合A=x−1≤x≤2，B=x−a≤x≤a+1，则“a=1”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件6．（23-24高一上·上海松江·期末）设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为“取整函数”，如：1.6=1，−1.6=−2.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合A=x|x2A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题7．（24-25高二上·山西·开学考试）已知p：−2≤x≤10，q：1−m≤x≤1+m（m>0），若p的充分不必要条件是q，则实数mA．0<m≤3 B．0≤m≤3C．m<3 D．m≤38．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知命题p：任意x∈1,2,x2−a≥0，命题q：存在x0∈R,A．−∞,−2 B．−∞,1 C．二、多选题9．（23-24高二下·河南安阳·期末）下列说法中，正确的是（

）A．命题“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”的否定是真命题.B．命题“对∀x∈Z，x2C．梯形ABCD是等腰梯形的充要条件是AC=BD.D．设a,b,c∈R，则a2+b210．（23-24高一上·安徽·期中）下列命题中，正确的是（

）A．“a<b<0”是“1aB．“−2≤λ≤3”是“−1≤λ≤3”的必要不充分条件C．“x2≠yD．“x∈(A∪B)∩C”是“x∈(A∩B)∪C”的必要不充分条件11．（23-24高一上·河北·阶段练习）设计如图所示的四个电路图，条件A：“开关S1闭合”；条件B：“灯泡L亮”，则A是B的必要条件的图为（

）A．

B．

C．

D．

三、填空题12．（23-24高一上·重庆合川·阶段练习）已知命题p:m∈R且m+1≤0，命题q:∀x∈R,x2+mx+1≠0恒成立，若p与q不同时为真命题，则13．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合A={x∈Z|点(x−1,x−a)不在第一、三象限}，集合B=t1≤t<3，若“y∈B”是“y∈A”的必要条件，则实数14．（23-24高一上·重庆北碚·