2024-2025学年人教版高中数学复习讲义：拓展一数学探究杨辉三角的性质与应用

第05讲拓展一：数学探究：杨辉三角的性质与应用

知识点01:二项式系数的性质

①各二项式系数和：C'+O-+G+-+C；=2"（"eN*）；

②奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：

C+C"..=Q+C：+…=2"ReN*）

知识点02：杨辉三角至少具有以下性质：

①每一行都是对称的，且两端的数都是1

②从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和.

③当左<——时，二项式系数是逐渐变大的；当女〉J时，二项式系数是逐渐变小的.

22

（4）当"是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当〃是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大.

题型01二项展开式的系数问题

【典例1】（2022•全国•高三校联考竞赛）设整数”>4,（x+2后-1）”的展开式中X-与孙两项的系数相等,

则n的值为.

【答案】51

【详解】解：由题意得：（X+26-

r=0

其中产4项，仅出现在求和指标r=4时的展开式C%…（24-1户中，

其%-4项系数为（-D4C：=〃（"T）（7）（"3）；

而孙项仅出现在求和指标r=nl时的展开式C：%-（26-1）1中，

其孙项系数为C：TC〉14（-1尸=（-1）"-32〃（〃-1）（〃_2）.

因止匕有〃（〃1）（〃2）53）=（_ir-32zi（„_1）（n_2）.

24

注意到〃>4,化简得〃-3=（-1）748,故只能是〃为奇数且〃3=48,解得〃=51,

故答案为：51.

【典例2】（2023上•湖北•高三校联考阶段练习）［2--2x）4的展开式中含/项的系数为.

【答案】-70

【详解】要得到［2-［（1-2短的展开式中含有/的项，分以下两种情形：

情形一：先在第一个括号中选取"2”,然后在后面四个括号中选取3个"-2x"和1个"1”,

由分步乘法计数原理可知此时“丁"的系数为2xC：x(_2)3xl=2x4x(-8)=-64；

情形二：先在第一个括号中选取然后在后面四个括号中选取2个"-2彳〃和2个"1”,

4

11

由分步乘法计数原理可知此时“一〃的系数为-二xC：x(-2)9xl2=--x6x4=-6.

4v74

综上所述：由分类加法计数原理可知£|(1-2x)4的展开式中含/项的系数为(-64)+(-6)=-70.

故答案为：-70.

【典例3】(2017•高二课时练习)已知(6-N)"(〃WN+)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是

X

3

10:1,求展开式中含户的项.

3

【答案】T2=-16X2

【详解】试题分析：根据展开式中第五项的系数与第三项的系数比求项数n,然后利用通项公式求特定项即

可.

试题解析：由题意知第五项的系数为4(—2产，第三项的系数为C《(一2产，则禹募=手，解得。=8(。

——3舍去).

所以通项为"也=C：(皿户-—D=C(―2)广元手.

令&三1=1得片匚，展开式中含f的项为72=-161.

【变式1］(2024•吉林白山•统考一模)已知二项式［：+石；的展开式中第二、三项的二项式系数的和等

于45,则展开式的常数项为.

21

【答案】y

【详解】:C：+C=45,解得〃=9,

(［、9一左k3左一18

=C

展开式的通项为^+i9k/3")"=C；2b晨丁

3"18

令=0,得左=6,

常数项为4=叱。可专旧

21

故答案为:

2

【变式2］（2023下•辽宁•高二校联考阶段练习）设（IT。1=%+中+%/+…已知%+4=-35,

则〃=,［2犬-1+1］的展开式中含X?的系数为.

【答案】9-18

【详解】令x=0，得。o=1,由二项展开式的通项公式可知％=C；（-4）=-4〃，由%%=-35,得1—4〃=一35,

解得"=9.

"x-g+l：由9个+j连乘得到，要得到含『7的项，有两种情形：①这9个式子中：8个式子中

取剩下的1个式子中取2x；②这9个式子中：7个式子中取剩下的2个式子中取1.故含尤一的

XX

系数为C；x2-C；=-18.

故答案为：9,18.

【变式3］（2023•湖南邵阳•邵阳市第二中学校考模拟预测）已知在（依+1了的展开式中，第3项的二项式系

数与第4项的二项式系数相等，且V的系数为_80,贝巾=.

【答案】—2

【详解】二项式（公+1）”的展开式的通项公式为

小=C：（办）iV=C『x'T,左=0,1,2,…，力，

所以第3项的二项式系数C；,第4项的二项式系数为C：,

因为第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，

所以C；=C：,解得〃=5,

所以在（依+1）"的展开式中/的系数为C》3,

由已知cy=_80,解得“=一2,

故答案为：—2.

题型02杨辉三角的有关问题

【典例1】（多选）（2023下•重庆•高二统考期末）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家

杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1;在第二行写下两个

1,和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1,其他的每个位置的

数都是它左上方和右上方的数之和.那么下列说法中正确的是（）

第

行

一

第

行

二

第

行

三121

第

行

四1331

第

行

五464

第

行

六55

1010

A.第〃行的第厂行。）个位置的数是C7

B.若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一个新的数列｛%｝,则数列｛凡｝是两项

奇数和两项偶数交替呈现的数列

C.70在杨辉三角中共出现了3次

D.210在杨辉三角中共出现了6次

【答案】BCD

【详解】对于A选项：第”行的第「（厂4”）个位置的数是C：1,故A错误；

对于B选项：由题为+1+"+1,q=l

，数列｛4｝的奇数项与前一项奇偶性相反，偶数项与前一项奇偶性相同，

=1为奇数，

；.生为奇数，%为偶数，氏为偶数，生为奇数，生是奇数项且为奇数，这与%情况一致，从而奇偶性产生

循环，B正确；

由于C：=C7"，不妨设"隹，令C；：=70,

当m=1时，«=70,Cy0=C®=70,

当〃?=2时，C；="（"T）=70,无正整数解，

2

当根=3时，C=迎工巴@,当〃=8时C；=56<70,当“=9时，C；=84>70,而C：递增，从而无解；

6

当机=4时，①一2）（〃-3）,当〃=8时C；=7。，

〃24

由于C；是第9行中最中间的数，杨辉三角中以该数为顶点的下方三角形区域中的数都大于70,

ri

所以当时，C：w70.70共出现3次，C正确；

类似于前C%。=C黑=210,=C；：=210,C：。=C：。=210,

二以C：o，C：。为顶点的下方三角形区域中的数都大于210,D正确.

故选：BCD

【典例2】（多选）（2021下•湖北武汉•高二统考阶段练习）中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章,

其中"杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页.而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形"如下图所示

（其中〃是行数，r是列数，r<n）下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是（）

一第2行

第桁

£

£

67

1i

77

A.每一行的对称性与增减性与杨辉三角一致

B.第10行从左边数第三个数为工

360

11]

U(n+l)C^(n+l)cf^Ctr

111

n----------------------------------------1----------------------

。414r「r厂1z-»r+l

。〃+1%%+2%+1i+2%+l

【答案】BCD

【详解】对于A,“杨辉三角”每行数左右对称，由1开始逐渐变大，而“莱布尼茨三角形"每行数左右对称,

从第3行开始，由行数的倒数开始逐渐变小，A不正确；

则第9行的第二个数为3

对于B,"莱布尼茨三角形"的一个数是它脚下两数的和,第10行的第二

个数为工--^二-1-

91090

于是得第10行的第三个数为白-二=上，B正确；

7290Jot)

]1]][1]

对于C'(〃+DC：+'(〃+1)C『wC'i一(w+1).1,—+L+1)'C正确

1111r!-(n+l-r)!((r+l)!-(n-r)!1r!•(n-r)!•[(n+1-r)+(r+1)]

对于D，5+])!+―可访—=^2说而

厂!•(〃一「)！1r!-(n-r)!1

='<,ni=-----1---=-1q，D正确•

(n+1)!n+1n\C„+1C„

故选：BCD

【典例3](2022下•北京朝阳•高二统考期末)我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》里，

出现了图1这张表.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右.如图2,杨辉三角的第”行的各数就是(。+4的展

开式的二项式系数.

第行

0

第行

1

第行

2

第行

3

第行

4

第行

5

第行

6

命以中右左

实廉藏表袤

而乘者乃乃

除商皆隅积第行

之方廉算数n

图

1

8

4

：

如下表

角可得

杨辉三

】由

【详解

个；

行，4

第5

个；

行，2

第4

个；

行，4

第3

个；

行，2

第2

个；

行，2

第1

个；

彳亍，8

第7

个；

行，4

第6

个；

行，4

第12

个；

行，8

第11

个；

行，4

第10

个；

行，4

第9

个；

行，2

第8

；

6个

行，1

第15

个；

行，8

第14

个；

行，8

第13

个;

行，4

第20

个；

行，8

第19

个；

行，4

第18

个；

行，4

第17

个；

行，2

第16

；

6个

行，1

第23

个；

行，8

第22

个；

行，8

第21

个；

行，8

第100

6个；

行，1

第99

个；

行，8

第98

个；

行，8

第97

个；

行，4

第96

8.

：4；

案为

故答

数值是

每一个

其它

以外，

除1

始，

行开

第2

，从

形中

辉三角

在杨