新人教版高中数学必修第一册.2基本不等式（第二课时）导学案含答案及解析

第二章一元二次函数、方程和不等式-PAGE4-§2．2．2基本不等式（第二课时）导学目标：掌握基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a，b≥0)及其凑配过程．结合具体实例，能用基本不等式求最值问题及证明不等式问题．（预习教材P46~P48，回答下列问题）复习：基本不等式：．（1）基本不等式成立的条件：．（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号．【知识点一】利用基本不等式求最值（最值使用）已知都是正数，是常数．（1）（当且仅当时，“”成立）（2）（当且仅当时，“”成立）自我检测1：利用基本不等式求最值时应注意什么？【知识点二】利用基本不等式证明有关不等式问题（放缩使用）自我检测2：你能证明下面两个常见的放缩不等式吗？（1）（）．（2）．【知识点三】利用基本不等式解决实际中的问题（1）问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；（2）经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及等．自我检测3：求函数的最值，并猜想该函数的图像的形状？题型一利用基本不等式求最值问题【例1】求下列代数式的最值（1）已知x>0，y>0，且，求的最小值．（2）求函数的最小值．（3）求函数的最小值．（4）已知x>0，y>0，x＋3y＋xy=9，求x＋3y的最小值．（5）若正数a，b满足，求的最小值．题型二利用基本不等式证明不等式【例2-1】已知a、b、c>0，求证：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c．【例2-2】已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)>9．题型三利用基本不等式解决实际问题【例3】某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？1．已知,且，则的最小值为．2．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是______．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y=−x2＋18x−25(xN*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．4．设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为．5．已知x>0，y>0，z>0．求证：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(z,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(z,y)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,z)＋\f(y,z)))≥8．【参考答案】学后反思巩固提高学后反思巩固提高复习：基本不等式：（1）基本不等式成立的条件：．（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号．【自我检测1】利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）正确定义（凑配）重要不等式中的，如构造“1”的代换等．（2）使用重要不等式求最值时，一定要检验“一正、二定、三相等”缺一不可且检验顺序不可改变．（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致．【自我检测2】（1）【解析】左边：由eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，得；右边：要证，只需证，只需证，显然成立．所以，原命题得证．（2）【解析】∵a、b、c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac．∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac．【自我检测3】函数图像的形状如右图【例1】求下列代数式的最值（1）【解析】∵x>0，y>0，且，∴，当且仅当，即时，等号成立．所以函数的最小值为．（2）【解析】∵，∴，∴．当且仅当，即时，等号成立．所以函数的最小值为．（3）【解析】，当且仅当，即，显然，即时，等号成立．所以函数的最小值为．（4）【解析】因为9=x＋3y＋xy=x＋3y＋·(x·3y)≤x＋3y＋，所以(x＋3y)2＋12(x＋3y)−108≥0．所以x＋3y≥6或x＋3y≤−18(舍去)，当且仅当x=3，y=1时取“=”．（5）【解析】解法一：因为，所以a＋b=ab⇒(a−1)·(b−1)=1，所以=2×3=6(当且仅当，b=4时取“=”)．解法二：因为，所以a＋b=ab，所以(当且仅当，b=4时取“=”)．【例2-1】【解析】因为a，b，c，eq\f(a2,b)，eq\f(b2,c)，eq\f(c2,a)均大于0，所以eq\f(a2,b)＋b≥2eq\r(\f(a2,b)·b)＝2a．当且仅当eq\f(a2,b)＝b时等号成立．eq\f(b2,c)＋c≥2eq\r(\f(b2,c)·c)＝2b．当且仅当eq\f(b2,c)＝c时等号成立．eq\f(c2,a)＋a≥2eq\r(\f(c2,a)·a)＝2c，当且仅当eq\f(c2,a)＝a时等号成立．相加得eq\f(a2,b)＋b＋eq\f(b2,c)＋c＋eq\f(c2,a)＋a≥2a＋2b＋2c，∴eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c．【例2-2】【解析】∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)＝3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq\r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq\r(\f(c,b)·\f(b,c))＝3＋2＋2＋2＝9．当且仅当a＝b＝c时取等号，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)>9．【例3】【解析】设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为z元．根据题意，有z＝150×eq\f(4800,3)＋120(2×3x＋2×3y)＝240000＋720(x＋y)．由容积为4800m3，可得3xy＝4800．因此xy＝1600．所以z≥240000＋720×2eq\r(xy)，当x＝y＝40时，上式等号成立，此时z＝297600．所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元．1．【解析】∵,,∴(当且仅当,即时，取“=”)．又∵,∴，∴当,时，有最小值，为．2．【解析】设eq\r(xy)＝t(t>0)，由xy＝2x＋y＋6≥2eq\r(2xy)＋6，即t2≥2eq\r(2)t＋6，(t－3eq\r(2))(t＋eq\r(2))≥0，∴t≥3eq\r(2)，则xy≥18，当且仅当2x＝y,2x＋y＋6＝xy，即x＝3，y＝6时等号成立，∴xy的最小值为18．3．【解析】每台机器运转x年的年平均利润为，而x>0，故，当且仅当x=5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．4．【解析】由题意得，，当且仅当时等号成立，此时，，当且仅当时等号成立，故所求的最大值为1．5．【解析】证明：因为x>0，y>0，z>0，所以eq\f(y,x)＋eq\f(z,x)≥eq\f(2\r(yz),x)>0，eq\f(x,y)＋eq\f(z,y)≥eq\f(2\r(xz),y)>0，eq\f(x,z)＋eq\f(y,z)≥eq\f(2\r(xy),z)>