广西钦州市2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷含答案解析

2024年10月月考高二数学试题学校：______姓名：______班级：______考号：______一､单选题1.已知复数，若复数为纯虚数，则实数的值为（）A. B. C.-2 D.22.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.3.由三个数字组成的无重复数字的两位数中，任取1个数，恰为偶数的概率是（）A. B. C. D.4.定义运算，则符合条件的复数z的所对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知定义在R上的函数f（x）满足（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，设，则（）A. B.C. D.7.若函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，下列关于函数的说法中，不正确的是（）A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点对称C.函数的单调递增区间为，D.函数是奇函数8.已知直线：，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（）A. B. C. D.二､多选题9.设为两个随机事件，以下命题正确的是（）A若与对立，则B若与互斥，，则C.若，且，则与相互独立D.若与相互独立，，则10.已知，则下列说法正确是（）A.若，则B.若，则与的夹角为C.若与的夹角为，则在上的投影向量为D.的取值范围是11.对于直线.以下说法正确有（）A.的充要条件是B.当时，C.直线一定经过点D.点到直线距离的最大值为5三､填空题12.设复数满足,其中是虚数单位，则___________．13.我国古代的一些数字诗精巧有趣，又饱含生活的哲学，如清代郑板桥的《题画竹》》：“一两三枝竹竿，四五六片竹叶，自然淡淡疏疏，何必重重叠叠.”现从1，2，3，4，5，6中随机选取2个不同的数字组成，则恰好能使得的概率是____________.14.已知中，角的对边分别为，且，当取最大值时，的值为________四､解答题15.某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：请完成以下问题：（1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均数；（2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率.16.已知平行四边形的三个顶点的坐标（1）求平行四边形的顶点的坐标；（2）求四边形的面积17.在三棱锥中，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．18.过点的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于A、B.（1）若P为AB的中点时，求l的方程；（2）若最小时，求l的方程；（3）若的面积S最小时，求l的方程.19.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求A；（2）求的取值范围．

2024年10月月考高二数学试题学校：______姓名：______班级：______考号：______一､单选题1.已知复数，若复数为纯虚数，则实数的值为（）A. B. C.-2 D.2【答案】A【解析】【分析】求出，再根据纯虚数概念得解.【详解】由已知，复数为纯虚数，所以得.故选：A.2.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据斜率与倾斜角之间的关系即可得到答案.【详解】设直线的倾斜角为，由题意得，又因为，则，故选：C.3.由三个数字组成的无重复数字的两位数中，任取1个数，恰为偶数的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用古典概型概率公式求解即可.【详解】由题意得三个数字中只有1个偶数，且设概率为，所以，即任取1个数，恰为偶数的概率是，故B正确.故选：B4.定义运算，则符合条件的复数z的所对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意，结合新定义的运算和复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意结合新定义的运算，得：，则，故复数z对应的点位于第四象限.故选：D5.“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行的条件进行判断【详解】当时，直线与直线，即为直线与直线的斜率都是，纵截距不同，则两直线平行，是充分条件；若直线与直线平行，当时，两直线方程都为，直线重合不符合题意，当时，两直线平行则斜率相等，截距不相等，解得，是必要条件；故选：C6.已知定义在R上的函数f（x）满足（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，设，则（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得函数f（x）在R上为增函数，又由0＜a=0.32＜1，b=log20.3＜0，c=20.3＞1，分析可得答案．【详解】根据题意，定义在R上的函数f（x）满足（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，则函数f（x）在R上为增函数，又由0＜a=0.32＜1，b=log20.3＜0，c=20.3＞1，则有b＜a＜c，则f（b）＜f（a）＜f（c），故选B．【点睛】本题主要考查了函数的单调性的判定及应用，其中解答中根据题意正确得到函数的单调性，合理利用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.若函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，下列关于函数的说法中，不正确的是（）A.函数的图象关于直线对称B.函数的图象关于点对称C.函数的单调递增区间为，D.函数是奇函数【答案】C【解析】【分析】根据函数的图象变换规律求得的解析式，再根据正弦函数的图象和性质逐一判断各个选项，从而得出结论.【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得，时，，为的最大值，所以选项A正确；时，，所以选项B正确；令，则，所以选项C错误；为奇函数，所以选项D正确.故选：C.8.已知直线：，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线的方程确定直线所过的定点，利用斜率公式求得直线和的斜率，根据过定点的直线与线段总有交点分析运算即可得解.【详解】解：如上图，由题意，直线方程可化为：，由解得：，∴直线过定点.又∵，∴，，∴由直线与线段总有公共点知直线的斜率满足或，当时，直线的斜率，∴直线的倾斜角满足或，即直线的倾斜角范围为.故选：C.二､多选题9.设为两个随机事件，以下命题正确的是（）A.若与对立，则B.若与互斥，，则C.若，且，则与相互独立D.若与相互独立，，则【答案】BD【解析】【分析】根据互斥（或对立）事件概率的性质可判断AB的正误，根据独立事件的定义和性质可判断CD的正误.详解】对于A，若与对立，则，故A错误；对于B，与互斥，则，故B正确；对于C，因为，故，故，故与不相互独立，故C错误；对于D，因为，所以，而与相互独立，故与相互独立，故，故D正确.故选：BD.10.已知，则下列说法正确是（）A.若，则B.若，则与的夹角为C.若与的夹角为，则在上的投影向量为D.的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】由数量积的定义得到A正确；由向量共线的定义得到B错误；由投影向量定义得到C正确；通过计算可得D正确.【详解】若，则，A正确；若，则与的夹角为或，B错误；若与的夹角为，则，则在上的投影向量为，C正确；设与的夹角为，则，因为，则，所以，所以的取值范围是，D正确.故选：ACD11.对于直线.以下说法正确的有（）A.的充要条件是B.当时，C.直线一定经过点D.点到直线的距离的最大值为5【答案】BD【解析】【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.【详解】当时，解得或，当时，两直线为，符合题意；当时，两直线为，符合题意，故A错误；当时，两直线为，，所以，故B正确；直线即直线，故直线过定点，C错误；因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为，故D正确，故选：BD.三､填空题12.设复数满足,其中是虚数单位，则___________．【答案】【解析】【分析】根据复数的乘除法计算，结合复数的共轭复数即可得答案.【详解】由题意，得，所以．故答案为：13.我国古代的一些数字诗精巧有趣，又饱含生活的哲学，如清代郑板桥的《题画竹》》：“一两三枝竹竿，四五六片竹叶，自然淡淡疏疏，何必重重叠叠.”现从1，2，3，4，5，6中随机选取2个不同的数字组成，则恰好能使得的概率是____________.【答案】##0.6【解析】【分析】列举基本事件，直接求概率即可.【详解】随机选取2个不同的数字组成,共有而，，3，4，5，6，，，2，4，5，6，，，2，3，5，6，，，2，3，4，6，，，2，3，4，5，共有25种，其中1，2，3，4，5，6这6个数字中满足的数对有：，，4，5；，；，；，；共15种，所求概率为．故答案为：．14.已知中，角的对边分别为，且，当取最大值时，的值为________【答案】【解析】【分析】首先由余弦定理可得，再利用正弦定理将表达式转化为，接着利用三角恒等变换转化成，分析求得取最大值时，，从而得到的值.【详解】由正弦定理得：,所以，因为，所以，,当，即即时，有最大值.此时：．故答案为：.【点睛】判断三角形的最值问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．四､解答题15.某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：请完成以下问题：（1）估计该校高一期中数学考试成绩的平均数；（2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率.【答案】（1）93分（2）【解析】【分析】(1）先利用频率之和为1，计算出，进而求出平均值即可；(2）利用分层抽样取样方法，算出需在分数段内抽2人，分别记为，需在内抽3人，分别记为.，写出样本空间和符合条件样本点数，即可求出相应概率．【小问1详解】由，得.数学成绩在：频率，频率，频率，频率，频率，频率，样本平均值为：可以估计样本数据中数学成绩均值为93分，据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计93分．【小问2详解】由题意可知，分数段的人数为（人），分数段的人数为（人）.用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在分数段内抽2人，分别记为，需在分数段内抽3人，分别记为.设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段内”为事件A，则样本空间共包含10个样本点而A的对立事件包含3个样本点，所以．即抽取这2名学生至少有1人在内的概率为16.已知平行四边形的三个顶点的坐标（1）求平行四边形的顶点的坐标；（2）求四边形的面积【答案】（1）（2）24【解析】【分析】（1）由中点也是中点，设，根据中点坐标公式求解即可；（2）求出直线的方程，点到直线距离公式求点到直线距离，根据两点间距离公式求线段的长，面积公式求四边形的面积.【小问1详解】平行四边形中，中点为，该点也为中点，设，根据中点坐标公式得到：，解得，得；【小问2详解】直线的斜率，代入点坐标可得到直线的方程为，点到直线距离为，又根据两点间距离公式得到：，所以四边形ABCD的面积为.17.在三棱锥中，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）作,利用线面垂直的判定及性质定理即可求证；（2）过点作于，即为与平面所成角，解直角三角形即可．【详解】⑴如图，作，连接，由，可知为边长为的正方形，，又，所以平面，；同理，,得平面，，，所以平面，所以，又，得平面，得．⑵由⑴知平面，平面PAB，所以平面平面，过点作于，平面，即为与平面所成角．由于全等，，，所以为等边三角形，，故，所以点为中点，故，，所以与平面所成角和与平面所成角相等，故直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】关键点点睛：利用线面角的定义，过点作于，证明，即可得出线面角为是解题的关键，属于中档题.18.过点的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于A、B.（1）若P为AB的中点时，求l的方程；（2）若