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文档简介

黑龙江省克东一中、克山一中等五校联考2025届高考数学三模试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,在矩形中的曲线分别是,的一部分,,,在矩形内随机取一点,若此点取自阴影部分的概率为,取自非阴影部分的概率为,则()A. B. C. D.大小关系不能确定2.已知,,由程序框图输出的为()A.1 B.0 C. D.3.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,且,则该双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.44.若函数有两个极值点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.5.已知菱形的边长为2,,则()A.4 B.6 C. D.6.已知函数,则的最小值为()A. B. C. D.7.复数的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE.,异面直线SC与OE所成角的正切值为()A. B. C. D.9.函数的图象可能是()A. B. C. D.10.有一圆柱状有盖铁皮桶(铁皮厚度忽略不计),底面直径为cm,高度为cm,现往里面装直径为cm的球,在能盖住盖子的情况下,最多能装()(附:)A.个 B.个 C.个 D.个11.在中,内角所对的边分别为,若依次成等差数列,则()A.依次成等差数列 B.依次成等差数列C.依次成等差数列 D.依次成等差数列12.已知函数满足,当时,,则()A.或 B.或C.或 D.或二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习,抛一枚硬币两次,若两次都是正面朝上,就在家学习,否则出去看电影,则该同学在家学习的概率为____________.14.“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是,,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________.15.设,满足约束条件,若的最大值是10,则________.16.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知各项均为正数的数列的前项和为,满足,,,,恰为等比数列的前3项.(1)求数列,的通项公式;(2)求数列的前项和为;若对均满足,求整数的最大值;(3)是否存在数列满足等式成立,若存在,求出数列的通项公式;若不存在,请说明理由.18.(12分)如图,在直角中,,通过以直线为轴顺时针旋转得到().点为斜边上一点.点为线段上一点,且.(1)证明:平面;(2)当直线与平面所成的角取最大值时,求二面角的正弦值.19.(12分)在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中,众多群众在脸上贴着一颗红心,以此表达对祖国的热爱之情,在数学中,有多种方程都可以表示心型曲线,其中有著名的笛卡尔心型曲线,如图,在直角坐标系中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为(),M为该曲线上的任意一点.(1)当时,求M点的极坐标;(2)将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N,求的最大值.20.(12分)设函数().(1)讨论函数的单调性;(2)若关于x的方程有唯一的实数解,求a的取值范围.21.(12分)已知函数(1)求f(x)的单调递增区间;(2)△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若且A为锐角,a=3,sinC=2sinB,求△ABC的面积.22.(10分)已知,,.(1)求的最小值;(2)若对任意,都有,求实数的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

先用定积分求得阴影部分一半的面积,再根据几何概型概率公式可求得.【详解】根据题意,阴影部分的面积的一半为:,于是此点取自阴影部分的概率为.又,故.故选B.【点睛】本题考查了几何概型,定积分的计算以及几何意义,属于中档题.2、D【解析】试题分析:,,所以,所以由程序框图输出的为.故选D.考点:1、程序框图;2、定积分.3、A【解析】

由倾斜角的余弦值,求出正切值,即的关系,求出双曲线的离心率.【详解】解:设双曲线的半个焦距为,由题意又,则,,,所以离心率,故选:A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,属于基础题4、A【解析】试题分析:由题意得有两个不相等的实数根,所以必有解,则,且,∴.考点:利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.(2)已知函数求极值.求f′(x)―→求方程f′(x)=0的根―→列表检验f′(x)在f′(x)=0的根的附近两侧的符号―→下结论.(3)已知极值求参数.若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f′(x0)=0,且在该点左、右两侧的导数值符号相反.5、B【解析】

根据菱形中的边角关系,利用余弦定理和数量积公式,即可求出结果.【详解】如图所示,菱形形的边长为2,,∴,∴,∴,且,∴,故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题,属于基础题..6、C【解析】

利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数,即可容易求得最小值.【详解】由于,故其最小值为:.故选:C.【点睛】本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数,以及求三角函数的最值,属综合基础题.7、C【解析】所对应的点为(-1,-2)位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念,属于简单题.8、D【解析】

可过点S作SF∥OE,交AB于点F,并连接CF,从而可得出∠CSF(或补角)为异面直线SC与OE所成的角,根据条件即可求出,这样即可得出tan∠CSF的值.【详解】如图,过点S作SF∥OE,交AB于点F,连接CF,则∠CSF(或补角)即为异面直线SC与OE所成的角,∵,∴,又OB=3,∴,SO⊥OC,SO=OC=3,∴;SO⊥OF,SO=3,OF=1,∴;OC⊥OF,OC=3,OF=1,∴,∴等腰△SCF中,.故选:D.【点睛】本题考查了异面直线所成角的定义及求法,直角三角形的边角的关系,平行线分线段成比例的定理,考查了计算能力,属于基础题.9、A【解析】

先判断函数的奇偶性,以及该函数在区间上的函数值符号,结合排除法可得出正确选项.【详解】函数的定义域为,,该函数为偶函数,排除B、D选项;当时,,排除C选项.故选:A.【点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象,一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,结合排除法得出结果,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.10、C【解析】

计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为cm,得到最上层球面上的点距离桶底最远为cm,得到不等式,计算得到答案.【详解】由题意,若要装更多的球,需要让球和铁皮桶侧面相切,且相邻四个球两两相切,这样,相邻的四个球的球心连线构成棱长为cm的正面体,易求正四面体相对棱的距离为cm,每装两个球称为“一层”,这样装层球,则最上层球面上的点距离桶底最远为cm,若想要盖上盖子,则需要满足,解得,所以最多可以装层球,即最多可以装个球.故选:【点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.11、C【解析】

由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得,由正弦定理可得,再由余弦定理可得,从而可得结果.【详解】依次成等差数列,,正弦定理得,由余弦定理得,,即依次成等差数列,故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理,属于难题.解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.12、C【解析】

简单判断可知函数关于对称,然后根据函数的单调性,并计算,结合对称性,可得结果.【详解】由,可知函数关于对称当时,,可知在单调递增则又函数关于对称,所以且在单调递减,所以或,故或所以或故选:C【点睛】本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式,抽象函数给出式子的意义,比如:,,考验分析能力,属中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

采用列举法计算古典概型的概率.【详解】抛掷一枚硬币两次共有4种情况,即(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),在家学习只有1种情况,即(正,正),故该同学在家学习的概率为.故答案为:【点睛】本题考查古典概型的概率计算,考查学生的基本计算能力,是一道基础题.14、【解析】

画出图形,结合椭圆的定义和题设条件,求得的值,即可求得椭圆的离心率,得到答案.【详解】如图所示,设椭圆的长半轴为,半焦距为,因为地球半径为R,若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是,,可得,解得,所以椭圆的离心率为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求解,其中解答中熟记椭圆的几何性质,列出方程组,求得的值是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.15、【解析】

画出不等式组表示的平面区域,数形结合即可容易求得结果.【详解】画出不等式组表示的平面区域如下所示:目标函数可转化为与直线平行,数形结合可知当且仅当目标函数过点,取得最大值,故可得,解得.故答案为:.【点睛】本题考查由目标函数的最值求参数值,属基础题.16、②③【解析】

根据局部频率和整体频率的关系,依次判断每个选项得到答案.【详解】不能确定甲乙两校的男女比例,故①不正确;因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率,故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率,故②正确;因为不能确定甲乙两校的男女比例,故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系,故③正确.故答案为:②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系,意在考查学生的理解能力和应用能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(2),(2),的最大整数是2.(3)存在,【解析】

(2)由可得(),然后把这两个等式相减,化简得,公差为2,因为,,为等比数列,所以,化简计算得,,从而得到数列的通项公式,再计算出,,,从而可求出数列的通项公式;(2)令,化简计算得,从而可得数列是递增的,所以只要的最小值大于即可,而的最小值为,所以可得答案;(3)由题意可知,,即,这个可看成一个数列的前项和,再写出其前()项和,两式相减得,,利用同样的方法可得.【详解】解:(2)由题,当时,,即当时,①②①-②得,整理得,又因为各项均为正数的数列.故是从第二项的等差数列,公差为2.又恰为等比数列的前3项,故,解得.又,故,因为也成立.故是以为首项,2为公差的等差数列.故.即2,4,8恰为等比数列的前3项,故是以为首项,公比为的等比数列,故.综上,(2)令,则所以数列是递增的,若对均满足,只要的最小值大于即可因为的最小值为,所以,所以的最大整数是2.(3)由,得,③④③-④得,⑤,⑥⑤-⑥得,,所以存在这样的数列,【点睛】此题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式,最值,恒成立问题,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18、(1)见解析;(2)【解析】

(1)先算出的长度,利用勾股定理证明,再由已知可得,利用线面垂直的判定定理即可证明;(2)由(1)可得为直线与平面所成的角,要使其最大,则应最小,可得为中点,然后建系分别求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值,进一步得到正弦值.【详解】(1)在中,,由余弦定理得,∴,∴,由题意可知:∴,,,∴平面,平面,∴,又,∴平面.(2)以为坐标原点,以,,的方向为,,轴的正方向,建立空间直角坐标系.∵平面,∴在平面上的射影是,∴与平面所成的角是,∴最大时,即,点为中点.,,,,,,,设平面的法向量,由,得,令,得,所以平面的法向量,同理,设平面的法向量,由,得,令,得,所以平面的法向量,∴,,故二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值,考查学生的运算求解能力,是一道中档题.19、(1)点M的极坐标为或(2)【解析】

(1)令,由此求得的值,进而求得点的极坐标.(2)设出两点的极坐标,利用勾股定理求得的表达式,利用三角函数最值的求法,求得的最大值.【详解】(1)设点M在极坐标系中的坐标,由,得,∵∴或,所以点M的极坐标为或(2)由题意可设,.由,得,.故时,的最大值为.【点睛】本小题主要考查极坐标的求法,考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法,属于中档题.20、(1)当时,递增区间时,无递减区间,当时,递增区间时,递减区间时;(2)或.【解析】

(1)求出,对分类讨论,先考虑(或)恒成立的范围,并以此作为的分类标准,若不恒成立,求解,即可得出结论;(2)有解,即,令,转化求函数只有一个实数解,根据(1)中的结论,即可求解.【详解】(1),当时,恒成立,当时,,综上,当时,递增区间时,无递减区间,当时,递增区

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