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文档简介
2025届河南省安阳市高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.执行下面的程序框图,则输出的值为()A. B. C. D.2.若复数满足,其中为虚数单位,是的共轭复数,则复数()A. B. C.4 D.53.已知为抛物线的焦点,点在上,若直线与的另一个交点为,则()A. B. C. D.4.若,则的虚部是A.3 B. C. D.5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A. B. C. D.846.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位:分)进行统计得到折线图,下面是关于这两位同学的数学成绩分析.①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,故平均成绩为130分;②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间110,120内;③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关;④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步.其中正确的个数为()A.4 B.3 C.2 D.17.“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质平台,现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门。该款软件主要设有“阅读文章”、“视听学习”两个学习模块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题模块。某人在学习过程中,“阅读文章”不能放首位,四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有()A.60 B.192 C.240 D.4328.过圆外一点引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程是().A. B. C. D.9.已知为抛物线的准线,抛物线上的点到的距离为,点的坐标为,则的最小值是()A. B.4 C.2 D.10.设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,则集合中的元素共有()A.3个 B.4个 C.5个 D.6个11.已知为虚数单位,实数满足,则()A.1 B. C. D.12.已知椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线交椭圆于A,B两点,交y轴于点M,若、M是线段AB的三等分点,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在区间内任意取一个数,则恰好为非负数的概率是________.14.记数列的前项和为,已知,且.若,则实数的取值范围为________.15.过抛物线C:()的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A,B两点,过线段的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M,若,则l的斜率为______.16.已知(为虚数单位),则复数________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)若在上为单调函数,求实数a的取值范围:(2)若,记的两个极值点为,,记的最大值与最小值分别为M,m,求的值.18.(12分)已知,其中.(1)当时,设函数,求函数的极值.(2)若函数在区间上递增,求的取值范围;(3)证明:.19.(12分)金秋九月,丹桂飘香,某高校迎来了一大批优秀的学生.新生接待其实也是和社会沟通的一个平台.校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生,对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查,统计数据如下:愿意不愿意男生6020女士4040(1)根据上表说明,能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关;(2)现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中,采用按性别分层抽样的方法,选取10人.若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生,设选取的3人中女生人数为,写出的分布列,并求.附:,其中.0.050.010.0013.8416.63510.82820.(12分)已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若,证明.21.(12分)已知椭圆:的离心率为,直线:与以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.为左顶点,过点的直线交椭圆于,两点,直线,分别交直线于,两点.(1)求椭圆的方程;(2)以线段为直径的圆是否过定点?若是,写出所有定点的坐标;若不是,请说明理由.22.(10分)如图,在中,,的角平分线与交于点,.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的面积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
根据框图,模拟程序运行,即可求出答案.【详解】运行程序,,
,,,,,结束循环,故输出,故选:D.【点睛】本题主要考查了程序框图,循环结构,条件分支结构,属于中档题.2、D【解析】
根据复数的四则运算法则先求出复数z,再计算它的模长.【详解】解:复数z=a+bi,a、b∈R;∵2z,∴2(a+bi)﹣(a﹣bi)=,即,解得a=3,b=4,∴z=3+4i,∴|z|.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的计算问题,要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式,是基础题.3、C【解析】
求得点坐标,由此求得直线的方程,联立直线的方程和抛物线的方程,求得点坐标,进而求得【详解】抛物线焦点为,令,,解得,不妨设,则直线的方程为,由,解得,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查抛物线的弦长的求法,属于基础题.4、B【解析】
因为,所以的虚部是.故选B.5、B【解析】
画出几何体的直观图,计算表面积得到答案.【详解】该几何体的直观图如图所示:故.故选:.【点睛】本题考查了根据三视图求表面积,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.6、C【解析】
利用图形,判断折线图平均分以及线性相关性,成绩的比较,说明正误即可.【详解】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,最高130分,平均成绩为低于130分,①错误;②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间[110,120]内,②正确;③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关,③正确;④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步,故④不正确.故选:C.【点睛】本题考查折线图的应用,线性相关以及平均分的求解,考查转化思想以及计算能力,属于基础题.7、C【解析】
四个答题板块中选三个捆绑在一起,和另外一个答题板块用插入法.注意按“阅读文章”分类.【详解】四个答题板块中选三个捆绑在一起,和另外一个答题板块用插入法,由于“阅读文章”不能放首位,因此不同的方法数为.故选:C.【点睛】本题考查排列组合的应用,考查捆绑法和插入法求解排列问题.对相邻问题用捆绑法,不相邻问题用插入法是解决这类问题的常用方法.8、A【解析】过圆外一点,引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程为,故选.9、B【解析】
设抛物线焦点为,由题意利用抛物线的定义可得,当共线时,取得最小值,由此求得答案.【详解】解:抛物线焦点,准线,过作交于点,连接由抛物线定义,
,
当且仅当三点共线时,取“=”号,∴的最小值为.
故选:B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.10、A【解析】试题分析:,,所以,即集合中共有3个元素,故选A.考点:集合的运算.11、D【解析】,则故选D.12、D【解析】
根据题意,求得的坐标,根据点在椭圆上,点的坐标满足椭圆方程,即可求得结果.【详解】由已知可知,点为中点,为中点,故可得,故可得;代入椭圆方程可得,解得,不妨取,故可得点的坐标为,则,易知点坐标,将点坐标代入椭圆方程得,所以离心率为,故选:D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解,难点在于根据题意求得点的坐标,属中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
先分析非负数对应的区间长度,然后根据几何概型中的长度模型,即可求解出“恰好为非负数”的概率.【详解】当是非负数时,,区间长度是,又因为对应的区间长度是,所以“恰好为非负数”的概率是.故答案为:.【点睛】本题考查几何概型中的长度模型,难度较易.解答问题的关键是能判断出目标事件对应的区间长度.14、【解析】
根据递推公式,以及之间的关系,即可容易求得,再根据数列的单调性,求得其最大值,则参数的范围可求.【详解】当时,,解得.所以.因为,则,两式相减,可得,即,则.两式相减,可得.所以数列是首项为3,公差为2的等差数列,所以,则.令,则.当时,,数列单调递减,而,,,故,即实数的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式,涉及数列单调性的判断,属综合困难题.15、【解析】
分别过A,B,N作抛物线的准线的垂线,垂足分别为,,,根据抛物线定义和求得,从而求得直线l的倾斜角.【详解】分别过A,B,N作抛物线的准线的垂线,垂足分别为,,,由抛物线的定义知,,,因为,所以,所以,即直线的倾斜角为,又直线与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角,所以直线l的倾斜角为,.故答案为:【点睛】此题考查抛物线的定义,根据已知条件做出辅助线利用抛物线定义和几何关系即可求解,属于较易题目.16、【解析】
解:故答案为:【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】
(1)求导.根据单调,转化为对恒成立求解(2)由(1)知,是的两个根,不妨设,令.根据,确定,将转化为.令,用导数法研究其单调性求最值.【详解】(1)的定义域为,.因为单调,所以对恒成立,所以,恒成立,因为,当且仅当时取等号,所以;(2)由(1)知,是的两个根.从而,,不妨设,则.因为,所以t为关于a的减函数,所以..令,则.因为当时,在上为减函数.所以当时,.从而,所以在上为减函数.所以当时,.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题.18、(1)极大值,无极小值;(2).(3)见解析【解析】
(1)先求导,根据导数和函数极值的关系即可求出;(2)先求导,再函数在区间上递增,分离参数,构造函数,求出函数的最值,问题得以解决;(3)取得到,取,可得,累加和根据对数的运算性和放缩法即可证明.【详解】解:(1)当时,设函数,则令,解得当时,,当时,所以在上单调递增,在上单调递减所以当时,函数取得极大值,即极大值为,无极小值;(2)因为,所以,因为在区间上递增,所以在上恒成立,所以在区间上恒成立.当时,在区间上恒成立,当时,,设,则在区间上恒成立.所以在单调递增,则,所以,即综上所述.(3)由(2)可知当时,函数在区间上递增,所以,即,取,则.所以所以【点睛】此题考查了参数的取值范围以及恒成立的问题,以及不等式的证明,构造函数是关键,属于较难题.19、(1)有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关;(2)详见解析.【解析】
(1)计算得到,由此可得结论;(2)根据分层抽样原则可得男生和女生人数,由超几何分布概率公式可求得的所有可能取值所对应的概率,由此得到分布列;根据数学期望计算公式计算可得期望.【详解】(1)∵的观测值,有的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关.(2)根据分层抽样方法得:男生有人,女生有人,选取的人中,男生有人,女生有人.则的可能取值有,,,,,的分布列为:.【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解;关键是能够明确随机变量服从于超几何分布,进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.20、(1)单调递减区间为,,无单调递增区间(2)证明见解析【解析】
(1)求导,根据导数的正负判断单调性,(2)整理,化简为,令,求的单调性,以及,即证.【详解】解:(1)函数定义域为,则,令,,则,当,,单调递减;当,,单调递增;故,,,,故函数的单调递减区间为,,无单调递增区间.(2)证明,即为,因为,即证,令,则,令,则,当时,,所以在上单调递减,则,,则在上恒成立,所以在上单调递减,所以要证原不等式成立,只需证当时,,令,,,可知对于恒成立,即,即,故,即证,故原不等式得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,利用导数证明不等式,函数的最值问题,属于中档题.21、(1);(2)是,定点坐标为或【解析】
(1)根据相切得到,根据离心率得到,得到椭圆方程.(2)设直线的方程为,点、的坐标分别为,,联立方程得到,,计算点的坐标为,点的坐标为,圆的方程可化为,得到答案.【详解】(1)根据题意:,因为,所以,所以椭圆的方程为.(2)设直线的方程为,点、
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