湖南省邵阳市邵阳县第一中学2025届高三六校第一次联考数学试卷含解析

湖南省邵阳市邵阳县第一中学2025届高三六校第一次联考数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出属于（）A． B． C． D．2．如图，平面四边形中，，，，，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．3．设为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．函数的图象可能为（）A． B．C． D．5．设函数满足，则的图像可能是A． B．C． D．6．用数学归纳法证明1+2+3+⋯+n2=n4A．k2+1C．k2+17．在中，，则（）A． B． C． D．8．已知为等差数列，若，，则()A．1 B．2 C．3 D．69．已知，则（）A．5 B． C．13 D．10．设a=log73，，c=30.7，则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．11．斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，则的最大值为A．2 B． C． D．12．设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则m的值为（）A． B． C．1 D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．14．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种.15．已知向量=（1，2），=（-3，1），则=______．16．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺，术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高），则由此可推得圆周率的取值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）对于非负整数集合（非空），若对任意，或者，或者，则称为一个好集合．以下记为的元素个数．（1）给出所有的元素均小于的好集合．（给出结论即可）（2）求出所有满足的好集合．（同时说明理由）（3）若好集合满足，求证：中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍．18．（12分）如图,四棱锥中,平面平面,底面为梯形.，且与均为正三角形.为的中点为重心,与相交于点.(1)求证:平面；(2)求三棱锥的体积.19．（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的最小值为，正实数、满足，求证：.20．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆上且不在轴上的一个动点，为坐标原点，过右焦点作的平行线交椭圆于、两个不同的点，求的值．21．（12分）在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A”和“B”两种结果，其中某选手选择正确的概率为p，选择错误的概率为q，若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完n道题后总得分为”.（1）当时，记，求的分布列及数学期望；（2）当，时，求且的概率.22．（10分）已知函数.（1）若函数的图象与轴有且只有一个公共点，求实数的取值范围；（2）若对任意成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由题意，框图的作用是求分段函数的值域，求解即得解.【详解】由题意可知，框图的作用是求分段函数的值域，当；当综上：.故选：B【点睛】本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.2、C【解析】

由题意可得面，可知，因为，则面，于是.由此推出三棱锥外接球球心是的中点，进而算出，外接球半径为1，得出结果.【详解】解：由，翻折后得到，又，则面，可知．又因为，则面，于是，因此三棱锥外接球球心是的中点．计算可知，则外接球半径为1，从而外接球表面积为．故选：C.【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．3、A【解析】

利用复数的除法运算化简，求得对应的坐标，由此判断对应点所在象限.【详解】，对应的点的坐标为，位于第一象限.故选：A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.4、C【解析】

先根据是奇函数，排除A，B，再取特殊值验证求解.【详解】因为，所以是奇函数，故排除A，B，又，故选：C【点睛】本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5、B【解析】根据题意，确定函数的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．6、C【解析】

首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=n4【详解】当n=k时，等式左端=1+1+…+k1，当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了项（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故选：C．【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./7、A【解析】

先根据得到为的重心，从而，故可得，利用可得，故可计算的值．【详解】因为所以为的重心，所以,所以,所以，因为，所以，故选A．【点睛】对于，一般地，如果为的重心，那么，反之，如果为平面上一点，且满足，那么为的重心．8、B【解析】

利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．【详解】∵{an}为等差数列，,∴，解得＝﹣10，d＝3，∴＝+4d＝﹣10+11＝1．故选：B．【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9、C【解析】

先化简复数，再求，最后求即可.【详解】解：，，故选：C【点睛】考查复数的运算，是基础题.10、D【解析】

，，得解．【详解】，，，所以，故选D【点睛】比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法．11、C【解析】

设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值．【详解】解：设直线l的方程为y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由题意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1．弦长|AB|＝4．故选：C．【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．12、A【解析】

根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m的值.【详解】由复数的除法运算化简可得，因为是纯虚数，所以，∴，故选：A.【点睛】本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0.08【解析】

先求解这组数据的平均数，然后利用方差的公式可得结果.【详解】首先求得，．故答案为：0.08.【点睛】本题主要考查数据的方差，明确方差的计算公式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.14、【解析】

先分间隔一个与不间隔分类计数，再根据捆绑法求排列数,最后求和得结果.【详解】若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有种;若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有种;因此共有种.故答案为：【点睛】本题考查排列组合实际问题，考查基本分析求解能力，属基础题.15、-6【解析】

由可求，然后根据向量数量积的坐标表示可求.【详解】∵=（1，2），=（-3，1），∴=（-4，-1），则=1×（-4）+2×（-1）=-6故答案为-6【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础试题．16、3【解析】

根据圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高）,可得,进而可求出的值【详解】解:设圆柱底面圆的半径为,圆柱的高为,由题意知,解得.故答案为:3.【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式.只要能看懂题目意思,结合方程的思想即可求出结果.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），，，．（2）；证明见解析．（3）证明见解析．【解析】

（1）根据好集合的定义列举即可得到结果；（2）设，其中，由知；由可知或，分别讨论两种情况可的结果；（3）记，则，设，由归纳推理可求得，从而得到，从而得到，可知存在元素满足题意.【详解】（1），，，．（2）设，其中，则由题意：，故，即，考虑，可知：，或，若，则考虑，，，则，，但此时，，不满足题意；若，此时，满足题意，，其中为相异正整数．（3）记，则，首先，，设，其中，分别考虑和其他任一元素，由题意可得：也在中，而，，，对于，考虑，，其和大于，故其差，特别的，，，由，且，，以此类推：，，此时，故中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍．【点睛】本题考查集合中的新定义问题的求解，关键是明确已知中所给的新定义的具体要求，根据集合元素的要求进行推理说明，对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求，属于较难题.18、（1）见解析（2）【解析】

（1）第（1）问，连交于,连接.证明//，即证平面.(2)第(2)问，主要是利用体积变换，,求得三棱锥的体积.【详解】（1）方法一：连交于,连接.由梯形，且，知又为的中点，为的重心，∴在中，,故//.又平面,平面,∴平面.方法二：过作交PD于N,过F作FM||AD交CD于M,连接MN,G为△PAD的重心，又ABCD为梯形，AB||CD,又由所作GN||AD,FM||AD,得//，所以GNMF为平行四边形.因为GF||MN,（2）方法一:由平面平面，与均为正三角形，为的中点∴，，得平面，且由（1）知//平面，∴又由梯形ABCD，AB||CD，且，知又为正三角形，得，∴，得∴三棱锥的体积为.方法二:由平面平面，与均为正三角形，为的中点∴，，得平面，且由，∴而又为正三角形，得，得.∴，∴三棱锥的体积为.19、（1）；（2）见解析.【解析】

（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求得函数的最小值为，进而可得出，再将代数式与相乘，利用基本不等式求得的最小值，进而可证得结论成立.【详解】（1）当时，由，得，即，解得，此时；当时，由，得，即，解得，此时；当时，由，得，即，解得，此时.综上所述，不等式的解集为；（2），当且仅当时取等号，所以，.所以，当且仅当，即，时等号成立，所以.所以，即.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立，涉及绝对值三角不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.20、（Ⅰ）（Ⅱ）1【解析】

（Ⅰ）由题，得，，解方程组，即可得到本题答案；（Ⅱ）设直线，则直线，联立，得，联立，得，由此即可得到本题答案.【详解】（Ⅰ）由题可得，即，，将点代入方程得，即，解得，所以椭圆的方程为：；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设直线，则直线，联立，整理得，所以，联立，整理得，设，则，所以，所以．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法以及直线与椭圆的综合问题，考查学生的运算求解能力.21、（1）见解析，0（2）【解析】

（1）即该选手答完3道题后总得分,可能出现的情况为3道题都答对,答对2道答错1道,答对1道答错2道,3道题都答错,进而求解即可；（2）当时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又,则第一题答对,第二题第三题至少有一道答对,进而求解.【详解】解:（1）的取值可能为,,1,3,又因为,故,,,,所以的分布列为：13所以（2）当时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又已知,第一题答对,若第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题；若第二题回答错误,第三题回答正确,则后5题可任意答对题，此时的概率为（或）.【点睛】本题考查二项分布的分布列及期望,考查数据处理能力,考查分类讨论思想.22、（1）（2）【解析】

（1）求出及其导函数，利用研究的单调性和最值，根据零点存在定理和零点定义可得的范围．（2）令，题意说明时，恒成立.同样求出导函数，由研究的单调性，通过分类讨论可得的单调性得出结论．【详解】解（1）函数所以讨论：①当时，无零点；②当时，，所以在上单调递增.取，则又，所以，此时函数有且只有一个零点；③当时，令，解得（舍）或当时，，所以在