高等数学（第二版）课件：向量值函数和空间曲线

高等数学（第二版）一、空间曲线二、极限和连续向量值函数和空间曲线空间解析几何三、导数和运动四、微分法则五、定长的向量函数六、向量函数的积分一、空间曲线点

就组成了空间中的一条曲线，我们称之为质点的路径。上式中的方程和区间参数化了该曲线。空间曲线还可以表示为向量形式：当一个质点在空间中经历时间区间

而运动时，我们假设质点的坐标为定义在

上的函数：是实变量在区间I上的向量函数。二、极限和连续定义

若

，则若

，则向量函数

在定义域内的点

连续。若其在定义域的每个点都连续，则函数是连续的。

在

处连续当且仅当每个分量函数在

处是连续的。例1．若

，则三、导数和运动定义

如果

和

在

处是可微的，则向量函数

在

处是可微的，其向量导数为如果在定义域内的每个点是可微的，则向量函数

是可微的。如果

是连续的并且恒不等于0，即

和

有连续一阶导数并且不同时为0，则由

描绘的曲线是光滑的。导数的几何意义若

不等于0，我们定义

为曲线在点P的切向量。曲线在点

的切线定义为过该点平行于

的直线。对光滑曲线我们要求

是为了保证曲线在每点有连续转动的切线。在光滑曲线上没有拐角或尖。一条曲线由有限段光滑曲线以连续方式组成，则称之为分段光滑曲线当

时，导数是沿空间中由

定义的曲线运动的质点的速度的模型。导数指向运动的方向并且给出位置对于时间的变化率。对于一条光滑曲线，速度恒不为零，质点运动也不停止或颠倒方向。定义

若

是沿空间光滑曲线运动的质点的位置，则在任何时刻

，下列定义适用：(1)，位置的导数，是质点的速度向量，与曲线相切；(2)的大小，是质点的速率；(3)，速度的导数及位置的二阶导数，是质点的加速度；(4)，一个单位向量，是运动方向。例2一个人在悬挂式滑翔机上由于遇到快速上升气流而沿位置向量的路径螺旋式地向上。路径类似于螺旋线并在图中显示了

部分，求：（1）速度和加速度向量；

（2）滑翔机在任何时刻

的速率；（3）如果有的话，滑翔机的加速度

正交于速度的时刻。解：（1）（2）速率是

的大小：滑翔机沿其路径升高时运动得越来越快。（3）为求

和

正交的时刻，求

，使得于是，速度和加速度正交的惟一时刻是在

四、微分法则设

和

是

的可微向量函数，

是常向量，

是任意常数，而

是可微标量函数。(2)数量倍数法则(3)和差法则(1)常函数法则(6)链式法则(5)叉积法则(4)点积法则五、定长的向量函数当我们跟踪以原点为中心的球面上运动的一个质点时，位置向量有一个等于球面半径的固定长度。运动路径相切，也切于球面，因此垂直于

。对于固定长度的可微向量函数，向量与它的导数总是正交的。长度固定时，函数的变化仅仅在方向上变化。方程变化时保持与

成直角。

是常数。两端求导可得：即由数量积的可交换性，可知：它们的数量积为0，向量

与

正交。故有：例3．证明

有固定长度并

且正交于它的导数。解：定义1对

的不定积分为

的所有反导数（原函数）的集合，记作

。若

是

的一个反导数（原函数），则六、向量函数的积分例4．求不定积分

。解：定义2

若

的分量在

是可积的，则

也如此，

从

到

的定积分定义为例5．求定积分解：例6．假定我们还不知道例2的滑翔机的路径，而仅仅知道它的加速度向量还知道初始时刻（在时刻

）滑翔机从点

以速度

出发。求滑翔机在时刻

的位置。解：我们的