2024学年常州市前黄中学高二数学上学期期中质检试卷附答案解析

学年常州市前黄中学高二数学上学期期中质检试卷一、单选题（本大题共8小题）1．数列，，，，……的通项公式可能是（

）A． B． C． D．2．已知双曲线的焦距为4，则的值为（

）A．1 B． C．7 D．3．已知圆关于直线对称，则圆的半径为（

）A． B．2 C． D．44．若直线与直线垂直，则实数的值为（）A．1或3 B．1或3 C．1或3 D．1或35．已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点且，则（

）A． B． C． D．26．若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（

）A． B． C． D．7．几何学中,把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族.点Q是椭圆族T上任意一点,如图所示,椭圆族T的元素满足以下条件:①长轴长为4;②一个焦点为原点O;③过定点P(0,3),则|QP|+|QO|的最大值是()A．5 B．7 C．9 D．118．斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知直线，动直线，则下列结论正确的是（

）A．不存在，使得的倾斜角为90° B．对任意的，直线恒过定点C．对任意的，与都不重合 D．对任意的，与都有公共点10．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点A−2,0，，动点满足，则下列说法正确的是（

）A．点的轨迹围成区域的面积为B．面积的最大值为C．点到直线距离的最大值为D．若圆上存在满足条件的点，则半径的取值范围为11．已知抛物线的准线方程为，过抛物线C的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，则下列说法正确的是（

）A．抛物线C方程为：B．设，则周长的最小值为4C．若，则直线的斜率为或D．轴上存在一点N，使为定值三、填空题（本大题共3小题）12．已知抛物线的焦点关于其准线的对称点为，则抛物线的标准方程为.13．已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是.14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（1，－1），点P为圆（x－4）2＋y2＝4上任意一点，记△OAP和△OBP的面积分别为S1和S2，则的最小值是．四、解答题（本大题共5小题）15．已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为.(1)求直线的方程；(2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值.16．在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点.(1)求圆的方程；(2)过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.17．已知椭圆，，为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线，过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线分别交直线、直线于、两点，当最小时，求直线的方程．18．已知双曲线的右顶点，点到双曲线一条渐近线的距离为.若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，且分别在第一象限和第四象限.(1)求双曲线的方程；(2)若，求的面积.19．已知动圆过定点，且与直线相切.(1)求动圆圆心轨迹的方程；(2)设过点的直线交轨迹于，两点，已知点，直线，分别交轨迹于另一个点，.若直线和的斜率分别为，.（ⅰ）证明：；（ⅱ）设直线，的交点为，求线段长度的最小值.

2024学年常州市前黄中学高二数学上学期期中质检试卷1．【答案】C【详解】数列的分母形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为，所以.故选：C.2．【答案】B【详解】解：已知双曲线的焦距为4，则，又，解得.故选：B.3．【答案】A【详解】由，可得圆的圆心为.因为圆关于直线对称，所以由圆的对称性可知，圆心在直线上，则，解得，故圆，可化为，所以圆的半径为.故选：A.4．【答案】A【分析】利用两线垂直的判定有，求解即可得的值.【详解】由题设，，即，解得或.当时，直线分别为、，符合题设；当时，直线分别为、，符合题设.故选：A5．【答案】A【详解】椭圆得，，，设，，则，，，，，，即．故选：A．6．【答案】B【详解】由已知条件得的圆心坐标为，圆心到直线为，∵圆上至少有三个点到直线的距离为1，∴圆的半径的取值范围是，即，即半径的取值范围是.故选：.7．【答案】A【解析】必刷知识：新定义及椭圆的定义设点Q所在椭圆的另一焦点为F,则|QP|+|QO|=|QP|+4-|QF|≤|PF|+4=4-|PO|+4=5.故选A．8．【答案】A【分析】设为中点，由可得，从而确定点坐标，再用点差法探索双曲线中，的关系，从而确定离心率.【详解】如图：取为中点，则由题意得，，则，，作轴于点，则，，，所以点坐标为，再设，，由，且，，得，.故选A.9．【答案】BD【详解】对A，当时，，符合倾斜角为90°，故A错误；对B，，解可得，故过定点，故B正确；对C，当时，，显然与重合，故C错误；对D，过定点，而也在上，故对任意的，与都有公共点，故D正确；故选：BD10．【答案】ABD【详解】由题意，设点，又，所以，化简可得，所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，所以点的轨迹围成的区域面积为，A选项正确；又点满足，所以，B选项正确；点到直线的距离，所以直线与圆相离，所以点到直线距离的最大值为，C选项错误；由D选项可知圆与圆有公共点，所以，且，即，所以，D选项正确；故选：ABD.11．【答案】ACD【详解】A选项，抛物线的准线方程为，所以，则，所以抛物线，故A正确；B选项，如图，过点A作准线的垂线，垂足为C，交y轴于，，根据抛物线的定义可得，所以周长为，由图可知，当A，C与点Q三点共线时，有最小值，最小值为Q到准线的距离为，所以，所以周长的最小值是，故B错误；C选项，设直线AB的方程为，联立，整理可得：，易知，设，，可得，，∵，，解得，，，解得，，因此C正确；D选项，设在x轴上存在一点，则，故当时，，即存在点使得为定值0．故D项正确．故选：ACD．12．【答案】【分析】设出抛物线的标准方程以及焦点坐标、准线方程，再由点关于直线对称的点坐标可解得，可得答案.【详解】根据题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，不妨设抛物线的标准方程为，可知焦点坐标为，准线方程为，由焦点关于其准线的对称点为可知，解得，所以抛物线的标准方程为.故答案为：.13．【答案】【详解】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则到渐近线的距离，所以，因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以双曲线的离心率的取值范围是.故答案为：.14．【答案】【解析】设∠AOP＝α，利用面积公式得，求出的最小值即可.【详解】设∠AOP＝α，易知OA＝，OB＝，∠AOB＝，则∠BOP＝，，，故，直线，圆（x－4）2＋y2＝4圆心到两条直线的距离均为，直线与圆相离，由图易知，圆在内部，设，，即，解得，所以最大为，即直线OP与圆相切时，当切点在第一象限的点的时候，，取得最小值.故答案为：15．【答案】(1)；(2).【详解】（1）依题意，由边上的高所在的直线的斜率为，得直线的斜率为，又，所以直线的方程为，即.（2）由点在轴上，设，则线段的中点，由点在直线上，得，得，即，又点在直线上，因此，解得，所以的值为.16．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）求出过点且与直线垂直的直线方程，与联立求出圆心，根据两点间的距离求出半径，即可得圆的方程；（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.【详解】（1）过点且与直线垂直的直线方程为，联立，解得，所以,所以圆的半径为,所以圆的方程为.

（2）由（1）可知圆的方程为，因为直线被圆截得的弦长为，所以到直线的距离为，若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，不符合题意；若直线的斜率存在，设方程为，则,即,解得或,所以直线的方程为或.

17．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）设，根据题中条件求出，得出，根据椭圆的定义，求出，得出，，即可得出椭圆方程；（2）由题意直线的斜率必定不为零，于是可设直线，设，，根据韦达定理、弦长公式，以及题中条件，得到，求出其取最小值时对应的的值，即可得出结果.【详解】（1）设，则，则，

∴，则由椭圆定义，∴，则，

故椭圆的标准方程为；

（2）由题意直线的斜率必定不为零，于是可设直线，联立方程得，

∵设，，由题意，，由韦达定理，，则，∴，

∵，∴，∴，

又，∴，

当且仅当即时取等号．此时直线的方程为或．【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及椭圆中的最值问题，熟记椭圆方程的求法，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.18．【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式求解即得；（2）设直线方程为，与双曲线的渐近线方程结合求出点的坐标并代入双曲线方程，再求出的纵坐标差的绝对值即可求出面积.【详解】（1）依题意，，双曲线的渐近线为，则，解得，所以双曲线的方程为.（2）显然直线不垂直于轴，设直线方程为，则直线交轴于点，由（1）知，双曲线的渐近线为，设，由消去得，则，有，由，得为线段中点，点，而点在双曲线：上，于是，整理得，又，所以的面积.19．【答案】(1)(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）3；【分析】（1）根据给定条件，可得动圆圆心到定点的距离与到定直线的距离相等，利用抛物线的定义求解方程作答.（2）（ⅰ）设直线的方程，与曲线的方程联立，设出，用分别表示点的纵坐标，再计算，作答.（ⅱ）由（ⅰ）求出直线的方程，直线的方程，并联立求出交点的轨迹即可求解作答.【详解】（1）依题意，动圆圆心到定点的距离与到定直线的距离相等，因此动圆圆心的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以动圆圆心轨迹的方程为.（2）（ⅰ）设，，，，因为过点，显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，，由消去x并整理，得，于是，直线上任意点，有，而，于是，又，因此直线的方程为，由消去x并整