同角三角函数的基本关系公开课课件

1.2.2同角三角函数的基本关系11、掌握同角三角函数的基本关系式_x001A_𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B_α+_x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_a=

1及_x001A_𝑠𝑖𝑛𝑎_x001B_𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_=𝑡𝑎𝑛𝑎的推导及运用.（重点）2.会利用角a终边所在象限，由角的一个三角函数值求其它三角函数值，（难点）2三角函数的定义A(1,0)xyOP(x,y)α的终边MT（1）

叫做的正弦，记作，即=MP（2）叫做的余弦，记作，即

=OM（3）叫做的正切，记作，即=AT3如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P，那么，正弦线MP和余弦线OM的长度有什么内在联系？由此能得到什么结论？POxyM1同角三角函数的基本关系4上述关系反映了角α的正弦和余弦之间的内在联系，根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？OxyPP5当根据三角函数定义,sinα，cosα，tanα满足什么关系？6同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于这个角的正切.同角三角函数的基本关系:“同角”二层含义:一是“角相同”,

二是“任意”一个角.7平方关系变形公式

8商数关系变形公式

9知识剖析:（1）_x001A_𝒔𝒊𝒏_x001B_𝟐_x001B_𝒂是_x001A_（𝒔𝒊𝒏𝒂）_x001B_𝟐_x001B_的简写，读作“𝒔𝒊𝒏𝒂的平方”，不能将_x001A_𝒔𝒊𝒏_x001B_𝟐_x001B_𝒂写成_x001A_𝒔𝒊𝒏𝒂_x001B_𝟐_x001B_

，前者是𝒂的正弦的平方，后者是𝒂

的平方的正弦，两者是不同的，应弄清它们的区别，并能正确书写；（2）注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是角相同，二是对“任意”一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立，如_x001A_𝒔𝒊𝒏_x001B_𝟐_x001B_𝟐𝒂+_x001A_𝒄𝒐𝒔_x001B_𝟐_x001B_𝟐𝒂=𝟏，_x001A_𝒔𝒊𝒏𝟒𝒂_x001B_𝒄𝒐𝒔𝟒𝒂_x001B_=𝒕𝒂𝒏𝟒𝒂；（3）在三角函数的化简中，要注意公式的顺用、逆用、变形用；（4）注意常值代换，尤其是“𝟏=_x001A_𝒔𝒊𝒏_x001B_𝟐_x001B_𝒂+_x001A_𝒄𝒐𝒔_x001B_𝟐_x001B_𝒂”.

基本公式

10是否存在同时满足下列三个条件的角?不存在11三、【预习效果与检测】1、判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）对任意角𝑎，_x001A_𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B_3𝑎+_x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_3𝑎=1都成立.（）（2）对任意角𝑎,_x001A_𝑠𝑖𝑛_x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_𝑐𝑜𝑠_x001A_𝑎_x001B_2_x001B__x001B_=𝑡𝑎𝑛_x001A_𝑎_x001B_2_x001B_都成立.（）（3）因为_x001A_𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B__x001A_9_x001B_4_x001B_𝜋+_x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B__x001A_𝜋_x001B_4_x001B_=1，所以_x001A_𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B_𝑎+_x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝛽=1成立，其中𝑎，𝛽为任意角.（）2、下列各项中可能成立的一项是（）A、𝑠𝑖𝑛𝛼=_x001A_1_x001B_2_x001B_且𝑐𝑜𝑠𝛼=_x001A_1_x001B_2_x001B_B、𝑠𝑖𝑛𝛼=0且𝑐𝑜𝑠𝛼=−1C、𝑡𝑎𝑛𝛼=1且𝑐𝑜𝑠𝛼=−1D.𝛼在第二象限时，𝑡𝑎𝑛𝛼=−_x001A_𝑠𝑖𝑛𝛼_x001B_𝑐𝑜𝑠𝛼_x001B_3、已知𝑠𝑖𝑛𝛼=_x001A_3_x001B_5_x001B_，𝑐𝑜𝑠𝛼=_x001A_4_x001B_5_x001B_，𝑡𝑎𝑛𝛼=（

）A、_x001A_4_x001B_5_x001B_B、_x001A_3_x001B_4_x001B_C、_x001A_4_x001B_3_x001B_D._x001A__x001A__x001B_3_x001B__x001B_5_x001B_4、已知𝛼为锐角，𝑐𝑜𝑠𝛼=_x001A_2_x001B_3_x001B_，则𝑠𝑖𝑛𝛼=()×√×BB

12四、【疑难点拨】例1.已知𝑠𝑖𝑛𝛼=_x001A_1_x001B_3_x001B_，并且𝛼是第二象限角，求𝑐𝑜𝑠𝛼，𝑡𝑎𝑛𝛼的值.同角三角函数的基本关系式的灵活应用解:因为𝑠𝑖𝑛𝛼=_x001A_1_x001B_3_x001B_，并且𝜶是第二象限角所以𝒄𝒐𝒔𝒂<𝟎，𝒕𝒂𝒏𝒂<𝟎由_x001A_𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B_𝑎+_x001A_cos_x001B_2_x001B_𝑎=1，得_x001A_

𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎=1−_x001A_𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B_𝑎所以𝑐𝑜𝑠𝑎=−_x001A__x001B_1−_x001A_𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B_𝑎

_x001B_=−_x001A__x001B_1−_x001A_1_x001B_9_x001B__x001B_=−_x001A_2_x001A__x001B_2_x001B__x001B_3_x001B_由𝑡𝑎𝑛𝑎=_x001A_𝑠𝑖𝑛𝑎_x001B_𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_=_x001A__x001A_1_x001B_3_x001B__x001B_−_x001A_2_x001A__x001B_2_x001B__x001B_3_x001B__x001B_=−_x001A__x001A__x001B_2_x001B__x001B_4_x001B_方法点拨:如果已知正弦、余弦、正切中的一个具体值，且角所在的象限也已指定，那么只有一组结果.13例2.已知𝑠𝑖𝑛𝛼=−_x001A_3_x001B_5_x001B_，求𝑐𝑜𝑠𝛼，𝑡𝑎𝑛𝛼解:因为𝑠𝑖𝑛𝛼<0，𝑠𝑖𝑛𝛼≠−1，所以𝒂是第三或第四象限角.由_x001A_𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B_𝑎+_x001A_cos_x001B_2_x001B_𝑎=1，得_x001A_

𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎=1−_x001A_𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B_𝑎=1−_x001A__x001A_−_x001A_2_x001B_5_x001B__x001B__x001B_2_x001B_=_x001A_16_x001B_25_x001B_如果𝒂是第三象限角，那么𝒄𝒐𝒔𝜶<𝟎.于是

𝑐𝑜𝑠𝑎=−_x001A__x001B__x001A_16_x001B_25_x001B__x001B_=−_x001A_4_x001B_5_x001B_从而

𝑡𝑎𝑛𝑎=_x001A_𝑠𝑖𝑛𝛼_x001B_𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_=_x001A_−_x001A_3_x001B_5_x001B__x001B_×_x001A_−_x001A_5_x001B_4_x001B__x001B_=_x001A_3_x001B_4_x001B_如果𝒂是第四象限角，那么

𝑐𝑜𝑠𝑎=_x001A_4_x001B_5_x001B_，𝑡𝑎𝑛𝑎=−_x001A_3_x001B_4_x001B_方法点拨:如果已知正弦、余弦、正切中的一个具体值，但未指定角所在的象限，那么要按角所在的可能象限进行讨论，分别写出答案，这时一般有两组结果.14例3.已知𝑡𝑎𝑛𝛼=2，求下面各式的值；（1）_x001A_𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_𝑠𝑖𝑛𝑎−𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_；（2）_x001A_𝑠𝑖𝑛𝛼∙𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B__x001A_𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B_𝑎−_x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B_（3）4_x001A_𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B_𝑎−3𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠𝑎−5_x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎【合作探究】高考链接解:（1）方法一:（弦化切）因为𝑡𝑎𝑛𝑎=2，所以𝑐𝑜𝑠𝑎≠0.将分式分子分母同时除以𝒄𝒐𝒔𝒂，得原式=_x001A__x001A_𝑠𝑖𝑛𝑎_x001B_𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_+_x001A_𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B__x001B__x001A_𝑠𝑖𝑛𝑎_x001B_𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_−_x001A_𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B__x001B_=_x001A_𝑡𝑎𝑛𝑎+1_x001B_𝑡𝑎𝑛𝑎−1_x001B_，把𝑡𝑎𝑛𝑎=2代入原式=_x001A_2+1_x001B_2−1_x001B_=3方法二:（切化弦）因为𝑡𝑎𝑛𝑎=2，所以𝑐𝑜𝑠𝑎≠0.由𝑡𝑎𝑛𝑎=_x001A_𝑠𝑖𝑛𝑎_x001B_𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_=2，所以𝑠𝑖𝑛𝑎=2𝑐𝑜𝑠𝑎.代入原式=_x001A_2𝑐𝑜𝑠𝑎+𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_2𝑐𝑜𝑠𝑎−𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_=_x001A_3𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_=315解:（2）方法一:（弦化切）因为𝑡𝑎𝑛𝑎=2，所以𝑐𝑜𝑠𝑎≠0.将分式分子分母同时除以_x001A_𝒄𝒐𝒔_x001B_𝟐_x001B_𝒂，得原式=_x001A__x001A_𝑠𝑖𝑛𝑎∙𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B__x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B__x001B__x001A__x001A_𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B_𝑎_x001B__x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B_−_x001A__x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B__x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B__x001B_=_x001A_𝑡𝑎𝑛𝑎_x001B__x001A_𝑡𝑎𝑛_x001B_2_x001B_𝑎−1_x001B_，把𝑡𝑎𝑛𝑎=2代入原式=_x001A_2_x001B_4−1_x001B_=_x001A_2_x001B_3_x001B_方法二:（切化弦）因为𝑡𝑎𝑛𝑎=2，所以𝑐𝑜𝑠𝑎≠0.由𝑡𝑎𝑛𝑎=_x001A_𝑠𝑖𝑛𝑎_x001B_𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_=2，所以𝑠𝑖𝑛𝑎=2𝑐𝑜𝑠𝑎.代入原式=_x001A_2𝑐𝑜𝑠𝑎∙𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B__x001A_4𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎−_x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B_=_x001A_2_x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B_3_x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B_=_x001A_2_x001B_3_x001B_16解:（3）方法点拨:“1的代换”由_x001A_𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B_𝑎+

_x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎=1，得原式=_x001A_4_x001A_𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B_𝑎−3𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠𝑎−5_x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎

_x001B_1_x001B_

=_x001A_4_x001A_𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B_𝑎−3𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠𝑎−5_x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎

_x001B__x001A_𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B_𝑎+_x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B_将分式分子分母同时除以_x001A_𝒄𝒐𝒔_x001B_𝟐_x001B_𝒂，得

原式=_x001A__x001A_4_x001A_𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B_𝑎_x001B__x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B_−_x001A_3𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B__x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B_−_x001A_5_x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B__x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B__x001B__x001A__x001A_𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B_𝑎_x001B__x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B_+_x001A__x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B__x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B__x001B_

=_x001A_4_x001A_𝑡𝑎𝑛_x001B_2_x001B_𝑎−3𝑡𝑎𝑛𝑎−5_x001B__x001A_𝑡𝑎𝑛_x001B_2_x001B_𝑎+1_x001B_

，

把𝑡𝑎𝑛𝑎=2代入原式=_x001A_4×4−3×2−5_x001B_4+1_x001B_

=117变式训练:已知𝑡𝑎𝑛𝛼=3,求下列各式的值（1）_x001A_2𝑠𝑖𝑛𝛼−3𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_4𝑠𝑖𝑛𝑎−9𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_；（2）_x001A_2_x001A_𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B_𝑎−3_x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B_4_x001A_𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B_𝑎−9_x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B_解:（1）方法一:（弦化切）因为𝑡𝑎𝑛𝑎=3，所以𝑐𝑜𝑠𝑎≠0.将分式分子分母同时除以𝒄𝒐𝒔𝒂，得原式=_x001A_2_x001A_𝑠𝑖𝑛𝑎_x001B_𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_−3_x001A_𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B__x001B_4_x001A_𝑠𝑖𝑛𝑎_x001B_𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_−9_x001A_𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B__x001B_=_x001A_2𝑡𝑎𝑛𝑎−3_x001B_4𝑡𝑎𝑛𝑎−9_x001B_，把𝑡𝑎𝑛𝑎=3代入原式=_x001A_6−3_x001B_12−9_x001B_=1方法二:（切化弦）因为𝑡𝑎𝑛𝑎=3，所以𝑐𝑜𝑠𝑎≠0.由𝑡𝑎𝑛𝑎=_x001A_𝑠𝑖𝑛𝑎_x001B_𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_=3，所以𝑠𝑖𝑛𝑎=3𝑐𝑜𝑠𝑎.代入原式=_x001A_6𝑐𝑜𝑠𝑎−3𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_12𝑐𝑜𝑠𝑎−9𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_=_x001A_3𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_3𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_=118解:（2）方法一:（弦化切）因为𝑡𝑎𝑛𝑎=3，所以𝑐𝑜𝑠𝑎≠0.将分式分子分母同时除以_x001A_𝒄𝒐𝒔_x001B_𝟐_x001B_𝒂，得原式=_x001A__x001A_2_x001A_𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B_𝑎_x001B__x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B_−_x001A__x001A_3𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B__x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B__x001B__x001A__x001A_4𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B_𝑎_x001B__x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B_−_x001A__x001A_9𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B__x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B__x001B_=_x001A_2_x001A_𝑡𝑎𝑛_x001B_2_x001B_𝑎−3_x001B_4_x001A_𝑡𝑎𝑛_x001B_2_x001B_𝑎−9_x001B_，把𝑡𝑎𝑛𝑎=3代入原式=_x001A_2×9−3_x001B_4×9−9_x001B_=_x001A_5_x001B_9_x001B_方法二:（切化弦）因为𝑡𝑎𝑛𝑎=3，所以𝑐𝑜𝑠𝑎≠0.由𝑡𝑎𝑛𝑎=_x001A_𝑠𝑖𝑛𝑎_x001B_𝑐𝑜𝑠𝑎_x001B_=3，所以𝑠𝑖𝑛𝑎=3𝑐𝑜𝑠𝑎._x001A_即𝑠𝑖𝑛_x001B_2_x001B_𝑎=9_x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎，代入原式=_x001A_18_x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎−3_x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B__x001A_36𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎−_x001A_9𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B_=_x001A_15_x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B_27_x001A_𝑐𝑜𝑠_x001B_2_x001B_𝑎_x001B_=_x001A_5_x001B_9_x001B_19五、【