第二章-连续时间系统的时域分析

第二章连续时间系统的时域分析122.1引言连续时间系统数学模型建立：线性时不变系统的数学模型，即n阶常系数线性微分方程，后面对线性时不变系统的讨论就是从此方程入手。系统分析：求响应——常系数线性微分方程的求解方法，并从产生响应的激励的角度将系统响应划分为零状态响应和零输入响应。“信号与系统”中求解的响应主要是零状态响应。基于输入-输出系统分析法，系统的零状态响应求解是通过建立激励信号与典型信号的关系，对于线性时不变系统这种关系在相应的响应中也是存在的，因而只需对典型信号的响应应用这种关系即可求得所求信号的响应。基于第一章信号的脉冲分解，将单位冲激信号作为典型信号，所得响应称为冲激响应。任意激励信号与冲激响应的卷积即为系统的零状态响应。3时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。系统数学模型的时域表示连续时间系统的时域分析4系统分析过程经典法:高等数学中的一般常系数线性微分方程求解法；卷积积分法:任意激励分解为冲激信号之和，利用冲激信号的系统响应——单位冲激响应，采用分解的逆过程——组合，得到信号的响应。2.2系统微分方程的建立与求解

5（1）元件端口的电压与电流约束关系电网络的两个约束特性：C（2）各电路的电流、电压约束关系（即电路定律KVL、KCL）6例题­——列写系统方程求下图所示并联电路的端电压与激励间的关系。

7解答：电阻电感电容根据KCL，得到代入上面元件伏安关系，并化简有这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。8说明——不同的物理系统可能有相同的数学模型如图示机械系统，机械位移系统，其质量为m的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦系数为f，外加牵引力为，其外加牵引力与刚体运动速度间的关系可以推导出为这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以用高阶微分方程表示。机械量电量

机电类比法9

n阶线性时不变系统的模型一个线性系统，其激励信号与响应信号之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为n阶常系数线性微分方程。阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。提示：本课程大量对系统的分析问题就是从这个方程开始的。101.

经典时域分析方法:求解微分方程2.卷积法:系统完全响应=零输入响应+零状态响应求解齐次微分方程得到零输入响应利用卷积积分可求出零状态响应模型求解——求响应11一、经典时域分析方法

微分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成

齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定

特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定12一、经典时域分析方法

齐次解yh(t)的形式(1)特征根是不等实根(2)特征根是等实根(3)特征根是成对共轭复根13一、经典时域分析方法

常用激励信号对应的特解形式P46表2-214[例]

已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程

初始条件y(0)=1,y'(0)=2,

输入信号x(t)=e-t

u(t)，求系统的完全响应y(t)。特征根为齐次解yh(t)解:(1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t)特征方程为t>015[例]

已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程

初始条件y(0)=1,y'(0)=2,

输入信号x(t)=e-t

u(t)，求系统的完全响应y(t)。解:(2)求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=x(t)的特解yp(t)由输入x(t)的形式，设方程的特解为yp(t)=Ce-t将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。t>016[例]

已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程

初始条件y(0)=1,y'(0)=2,

输入信号x(t)=e-t

u(t)，求系统的完全响应y(t)。解:

(3)求方程的全解解得171)

若初始条件不变，输入信号x(t)=sint

u(t)，则系统的完全响应y(t)=？2)

若输入信号不变，初始条件y(0)=0,y'(0)=1,则系统的完全响应y(t)=？讨论18经典法不足之处若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。19响应区间：t≥0+分析

2.3起始点的跳变(初始条件的确定）

起始状态（0-状态）：激励加入之前瞬间的状态。初始条件（0+状态/导出的起始状态）：激励加入：t=0时刻

由于用经典法求解微分方程时，是考虑了激励作用以后的解，时间范围是所以要利用确定系数Ai,而不是利用。20换路定律：原理：利用系统内部储能的连续性，即电容上电荷的连续性和电感中磁链的连续性。条件：电路中无冲激电流（或阶跃电压）强迫作用于电容电路中无冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于电感起始点的跳变iL(0-)=iL(0+),vc(0-)=vc(0+)21[例]如图所示，已知R1=1Ω,R2=3/2Ω,e2(t)=4V,e1(t)=2V,L=1/4H,C=1F,t<0时开关S处于1的位置而且电路已经达到稳态；当t=0时，S由1转向2。建立i(t)的微分方程并求解i(t)在t>0时的变化。2SR11iC(t)iL(t)e2(t)

e1(t)CR2i(t)+解：(1)由元件的约束及互联的约束，得方程组：22[例]如图所示，已知R1=1Ω,R2=3/2Ω,e2(t)=4V,e1(t)=2V,L=1/4H,C=1F,t<0时开关S处于1的位置而且电路已经达到稳态；当t=0时，S由1转向2。建立i(t)的微分方程，并求解i(t)在t>0时的变化。（2）求齐次解：特征方程：a2+7a+10=0→特征根：a1=-2,a1=-5解：

齐次解（3）求特解：t>0时，

e2(t)=4V,设rp(t)=B代入方程得：

B=8/5（4）完全响应：23（5）初始条件：

换路前：

换路后：解：24代入完全响应式中得：联立解得：完全响应：[例]如图所示，已知R1=1Ω,R2=3/2Ω,e2(t)=4V,e1(t)=2V,L=1/4H,C=1F,t<0时开关S处于1的位置而且电路已经达到稳态；当t=0时，S由1转向2。建立i(t)的微分方程，并求解i(t)在t>0时的变化。解：25当系统用微分方程表示时，系统的到状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含及其各阶导数项。如果包含，则状态发生了跳变，为了确定

、等状态值（初始条件），可用冲击函数匹配法。冲激函数匹配法确定初始条件原理：微分方程两端δ(t)及其各阶导数平衡相等，从高往低配平。26[例]已知r(0-)，求r(0+)。解：方法一：（直观分析法）Δu(t)——表示0-到0+相对单位跳变函数27[例]

已知r(0-)，求r(0+)。解：方法一：28已知r(0-)，求r(0+)。则[例]

解：方法二：（待定系数法）方程右端含δ’(t)则代入方程得：29[例]描述LTIS的微分方程为；r”(t)+7r’(t)+10r(t)=e”(t)+6e’(t)+4e(t)输入e(t)如图，已知：用冲激函数匹配法求r(0+)和r’(0+)。解：将e(t)代入微分方程，t≥0得：方程右端的冲激函数项最高阶次是δ’(t)，因而有

30[例]描述LTIS的微分方程为；r”(t)+7r’(t)+10r(t)=e”(t)+6e’(t)+4e(t)输入e(t)如图，已知：用冲激函数匹配法求r(0+)和r’(0+)。解：代入微分方程，得：31求解微分方程（经典方法）的流程示意图将元件约束、互联约束应用于电系统列写微分方程联立方程化为一元髙阶微分方程齐次解Ae-at(系数A待定)特解查表完全解＝齐次解＋特解(系数A待定)系统响应(系数A已定的完全解)换路后0＋时刻的初始值换路前0－的时刻起始值32系统完全响应=零输入响应+零状态响应自由响应+强迫响应暂态响应+稳态响应自由响应：也叫固有响应，由系统本身特性决定的，和外加激励形式无关。（对应于齐次解）强迫响应：形式取决于外加激励。（对应于特解）暂态响应：激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t增加，它将消失。稳态响应：完全响应-暂态响应分量=稳态响应分量。2.4零输入响应和零状态响应33例2-7在一定条件下，可以将原始储能看作是激励源。系统完全响应可以看作：

外加激励源+起始储能共同作用的结果系统完全响应=零状态响应+零输入响应

(线性系统具有叠加性)342、零输入线性，系统的零输入响应必须对

所有的初始状态呈现线性特性。1、具有可分解性3、零状态线性，系统的零状态响应必须对所有的输入信号呈现线性特性。

判断一个系统是否为线性系统，应从三个方面来判断：对系统线性的进一步认识35线性系统非线性系统非线性系统线性系统零状态响应非线性不满足可分解性[例]

判断下列输出响应所对应的系统是否为线性系统？（其中y(0)为系统的初始状态，x(t)为系统的输入激励，y(t)为系统的输出响应）。361．在判断可分解性时，应考察系统的完全响应y(t)是否可以表示为两部分之和，其中一部分只与系统的初始状态有关，而另一部分只与系统的输入激励有关。2．在判断系统的零输入响应yzi(t)是否具有线性时，应以系统的初始状态为自变量（如上述例题中y(0))，而不能以其它的变量（如t等）作为自变量。3．在判断系统的零状态响应yzs(t)是否具有线性时，应以系统的输入激励为自变量(如上述例题中x(t))，而不能以其它的变量（如t等）作为自变量。判断系统是否线性注意问题37例:已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为时，其完全响应为；当激励为2时，其完全响应为。求：(1)初始条件不变，当激励为时的完全响应；(2)初始条件增大1倍，当激励为0.5时的完全响应

。解：(1)设零输入响应为，零状态响应为，则有解得381.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。

数学模型(齐次方程）:

求解方法：根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式

再由初始条件确定待定系数。零输入响应求解

由于激励信号e(t)=0，所以系统在起始时刻不会产生跳变。所以39解:系统的特征方程为[例]

已知某线性时不变系统的动态方程式为:y"(t)+5y'(t)+6y(t)=4x(t),t>0

系统的初始状态为y(0-)=1，y'(0-)=3，求系统的零输入响应yzi(t)。系统的特征根为y(0-)=yzi(0-)=K1+K2=1y'(0-)=y'zi(0-)=-2K1-3K2=3解得：K1=6，K2=-540[例]

已知某线性时不变系统的动态方程式为:

y"(t)+4y'(t)+4y(t)=2x'(t)+3x(t),t>0

系统的初始状态为y(0-)=2，y'(0-)=-1，求系统的零输入响应yzi(t)。解:系统的特征方程为系统的特征根为（两相等实根）y(0-)=yzi(0-)=K1=1;y'(0-)=y'

zi(0-)=-2K1+K2=3解得K1=2,K2=341[例]

已知某线性时不变系统的动态方程式为：

y"(t)+2y'(t)+5y(t)=4x'(t)+3x(t),t>0

系统的初始状态为y(0-)=1，y'(0-)=3，求系统的零输入响应yzi(t)。解:系统的特征方程为系统的特征根为y(0-)=yzi(0-)=K1=1y'(0-)=y'zi(0-)=-K1+2K2=3解得K1=1，K2=2422.系统的零状态响应求解系统的零状态响应yzs

(t)方法：

1)直接求解初始状态为零的微分方程。

2)卷积法：利用信号分解和线性时不变系统的特性求解

当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励e(t)产生的响应称为系统的零状态响应，用yzs

(t)表示。零状态响应求解其中系数Azsk由跳变量

来确定。43：确定全响应的系数：确定零输入响应的系数：确定零状态响应的系数44卷积法求解系统零状态响应yzs

(t)的思路1)

将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合；2)求出单位冲激信号作用在系统上的响应

——冲激响应；3)

利用线性时不变系统的特性，即可求出任意信号x(t)激励下系统的零状态响应yzs

(t)

。45卷积法求解系统零状态响应yzs

(t)推导由时不变特性由均匀特性由积分特性46[例]

已知某LTI系统的动态方程式为：y'(t)+3y(t)=2x(t)

系统的冲激响应h(t)=2e-3t

u(t),x(t)=3u(t),

试求系统的零状态响应yzs(t)。解：472.5冲激响应与阶跃响应连续系统的冲激响应定义

冲激平衡法求系统的冲激响应连续系统的阶跃响应48一、连续系统的冲激响应定义

则n阶连续时间LTI系统的冲激响应h(t)满足：定义：系统在单位冲激信号δ(t)作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。数学模型：49由于t>0+后,方程右端为零,h(t)的形式冲激响应形式与齐次解的形式相同。故

n>m

时n=m时,为使方程两边平衡,h(t)应含有项，即如：即：50n

m时,为使方程两边平衡,h(t)应含有冲激及其高阶导数，即h(t)的形式51h(t)中待定系数的求解：方法一：冲激函数匹配法求0+确定系数K,A方法二：奇异函数项平衡法确定系数K,An>mn

m52解：将e(t)→

(t)， r(t)→h(t)，所以求特征根

冲激响应求待定系数:求0+法,奇异函数相平衡法例：求系统的冲激响应53求0+定系数

∴，∴54根据系数平衡，得用奇异函数项相平衡法求待定系数：将h(t)代入微分方程，使方程两边平衡，确定系数Ki

，

Aj55[例2]已知某线性时不变系统的动态方程式为

试求系统的冲激响应。解：当x(t)=d(t)时，y(t)=h(t)，即动态方程式的特征根s=-6,且n=m,故h(t)的形式为解得A=-16,B=3561)由系统的特征根来确定u(t)前的指数形式。2)由动态方程右边d(t)的最高阶导数与方程左边h(t)的最高阶导数确定d(j)(t)项。小结57三、连续系统的阶跃响应求解方法:求解微分方程(除了齐次解外，还有特解项)2)

由LTI,利用冲激响应与阶跃响应的关系58卷积的定义：将信号分解为冲激信号之和→借助系统的冲激响应h(t)→

求解系统对任意激励信号的零状态响应。卷积的原理：2.6卷积59二、卷积的计算由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化．卷积积分中积分限的确定是非常关键的。借助于阶跃函数u(t)确定积分限；60[例]

已知某LTI系统的动态方程式为：y'(t)+3y(t)=2x(t)

系统的冲激响应h(t)=2e-3t

u(t),x(t)=3u(t),

试求系统的零状态响应yzs(t)。解：61三、卷积的图解说明用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为方便准确，用解析式法作容易出错，最好将两种方法结合起来。

5.不断改变平移量t，计算f1(t)f2(t-

t)的积分。演示62

x(t)0t12h(t)-1/210t1

例

已知信号x(t)与h(t)如下图所示，求

解：

01-2-1/211tt-2

1）当时，演示632）当时，-1/211tt-2-1/211tt-23）当，即当时4）当，即当时，-1/211tt-264-1/211tt-25）当，即时，-1/213/223t065四、对卷积的若干讨论

积分上下限和卷积结果区间的确定1、积分上下限2、卷积结果区间

下限，上限f1(t)[A,B]f1(t)-11f2(t)[C,D]+f2(t)03g(t)[A+C,B+D]g(t)-1466c)0

<

t

1d)t>1y(t)=0a)-

<t

-1b)-1

<

t

0y(t)=0[例]

计算y(t)=p1(t)*p1(t)。67

练习1：u(t)*u(t)

练习2：计算y(t)=x(t)*h(t)。=r(t)68§2.7卷积的性质一、卷积的代数性质1．交换律

2．分配律（系统并联）3．结合律（系统级联）卷积的代数性质与乘法运算的性质类似69系统并联系统并联，框图表示：结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。70系统级联系统级联，框图表示：结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。71补充：卷积的性质1、平移特性

已知x1(t)*x2(t)=y(t)

则x1(t-

t1)*x2(t-t2)=y(t-

t1

-

t2)证明：72补充：卷积的性质2、展缩特性已知