数学学案：课堂导学排序不等式VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一，利用排序不等式中的乱序解决相关问题【例1】正实数a1，a2，…,an的任一排列为a1′，a2′,…,an′,求证:++…+≥n。证明:设a1≤a2≤…≤an，则≥≥…≥,其反序和为++…+=n,原不等式的左边乱序和，因此有++…+≥n.温馨提示运用排序不等式时，要特别注意每组数的大小顺序.二，利用排序不等式中反序和顺序解决相关问题【例2】a，b，c∈R+,求证:an(a2—bc）+bn(b2—ac)+cn(c2—ab）≥0.证明:设a≥b≥c，要证原不等式，需证an+2+bn+2+cn+2≥anbc+bnca+cnab。又an+1≥bn+1≥cn+1an+2+bn+2+cn+2≥an+1b+bn+1c+cn+1·a。又ab≥ac≥bc，an≥bn≥cnan+1b+bn+1c+cn+1a≥anbc+bnac+cnab因此，原不等式成立.温馨提示注意在一切和数中,最大和数所对应的情况只能是唯一一种情况,即最大和数是顺序和。三，排序不等式的应用【例3】a,b,c∈R+，求证:a+b+c≤++≤++.证明:不妨设a≥b≥c〉0，则≥≥,a2≥b2≥c2,则a2·+b2·+c2·≤++,a2·+b2·+c2·≤++,两式相加得a+b+c≤++。又a3≥b3≥c3，≥≥〉0，∴++≥++=++,++≥++=++.两式相加,得++≤++。即不等式成立。温馨提示排序不等式中注意排序原理中顺序和，乱序和的各种形式和条件.各个击破类题演练1a，b,c∈R+，求证:≥a+b+c.证明:设a≥b≥c，则ab≥ac≥bc，≥≥，于是ab×+ac×+bc×≥ab×+ac×+bc×=a+b+c,即≥a+b+c。变式提升1a，b，c∈R+，求证:a+b+c≤。证明:设a≥b≥c,则a2≥b2≥c2，ab≥ac≥bc。又a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c又a3≥b3≥c3且a≥b≥c得a3c+b3a+c3≤a4+b4+c4。所以abc(a+b+c）≤a4+b4+c4,即a+b+c≤.类题演练2a1,a2,…，an∈R+,b1,b2,…,bn是a1,a2，…，an的任一排列。求证:a1b1—1+a2b—1+…+anbn-1≥n.证明:设a1≥a2≥…≥an，由不等式的单调性知an-1≥an-1-1≥…≥a1—1。由排序原理得a1b1-1+a2b2-1+…+anbn—1≥a1a1-1+…+anan—1=n变式提升2a1,a2,…,an为正数，且b1，b2,…，bn是它的一个排列。求证：a1p+q+a2p+q+…+anp+q≥a1pb1q+…+anpbnq(p,q为正数）.证明：设a1p≥a2p≥…≥anp,a1q≥a2q≥…≥anq,由排序原理得a1p·a1q+a2p·a2q+…+anp·anq≥a1p·b1q+a2p·b2q+…+anp·bnq,即a1p+q+a2p+q+…+anp+q≥a1p·b1q+a2p·b2q+…+anp·bnq.类题演练3已知a，b，c∈R+,求证:++≥a10+b10+c10。证明:不妨设a≥b≥c〉0,则≥≥>0,且a12≥b12≥c12〉0,∴++≥++=++≥a10+b10+c10。变式提升3设a1,a2，…,an是n个正数的一个排列，求证：+++…+≤++…+。证明：设b1,b2，…,bn是a1,a2，…，an的一个排列,且b1〈b2〈…<bn,c1,c2,…,cn是a1,a2,