2024-2025学年北京市东城区第五中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市东城区第五中学高三上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=−1,0,1，若A∪B=−1,0,1,2,3，则集合B可以是(

)A.⌀ B.−1,0,1 C.2,3,4 D.1,2,32.若直线ax−y−a+1=0与直线x−ay+3a−3=0平行，则实数a的值为(

)A.0 B.−1 C.1 D.−1或13.设曲线C是双曲线，则“C的方程为x2−y24=1”是“A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知函数f(x)=sinx+3cosx，设a=fA.c>b>a B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b5.已知两点A(−2,0)，B(0,2)，点C是圆x2+y2−4x+4y+6=0上任意一点，则A.8 B.6 C.3+2 6.已知抛物线C：y2=12x的焦点为F，准线为l，点A在C上，过A点作准线的垂线交准线于B，若∠FAB=2π3，则A.23 B.43 C.7.中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如下图所示的“曲池”，其高为3，AA1⊥底面，底面扇环所对的圆心角为π2，AD⌢长度为BC⌢长度的3A.9π2 B.5π C.11π2D.6π8.在直角三角形▵ABC中，∠A=90∘,AB=2,AC=4，点P在▵ABC斜边BC的中线AD上，则PB⋅A.[−5,0] B.[−3,0] C.[0,3] D.[0,5]9.金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度ℎ与其来摘后时间t(天)满足的函数解析式为ℎ=mlnt+aa>0.若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%；若采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.现在金针菇失去的新鲜度为60%，则采摘后的天数为(

)(A.1.5 B.1.8 C.2.0 D.2.110.已知定点A3,0，B0,4，若点C在圆O:x2+yA.210 B.6 C.2+2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.复数z=21+i的共轭复数z=

12.已知ABCD为正方形，若椭圆M与双曲线N都以A、B为焦点，且图象都过C、D点，则椭圆M的离心率为

，双曲线N的离心率为

．13.在△ABC中，AB=43,∠B=π4，点D在边BC上，∠ADC=2π3,CD=2，则AD=14.已知函数fx=ex−t，gx=−x+e，ℎx=maxfx,gx，其中maxa,b表示a，b中最大的数．若t=1，则15.已知函数fx=2①过点A0,2存在1条直线与曲线y=f②过点B2,10存在2条直线与曲线y=f③过点C−1,2存在3条直线与曲线y=f④过点D1,t存在3条直线与曲线y=fx相切时，t的取值范围是其中，正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A(1)求证：AB⊥A(2)求点B1到平面A(3)求二面角D−CA117.设fx=Asinωxcosφ+AcosωxsinφA>0,0<ω<π

(1)求A，φ；(2)再从以下三个条件中任选其一，使函数fx唯一确定，并求f条件①：MN=5条件②：OM=条件③：f5218.自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注.选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作.“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到.不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz的“基础分”如表1所示．跳跃动作4T4S4F4Lz基础分9.59.711.011.5表1选手表演完，得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”.表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”．4T12.0411.224.759.069.9711.6310.984S10.9810.5711.324.859.5112.07

4F13.695.5014.0212.92

4Lz13.5414.2311.218.3811.87

表2假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立．(1)从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率；(2)若该选手在本赛季中，计划完成4T，4S，4F这三个动作，且每个动作只完成一次.将这三个动作中成功的跳跃个数记为X，求X的分布列和数学期望E(X)；(3)在本赛季中，从四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz中选出三个，使得该选手这三个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称．19.已知函数fx=eax(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点2,f2(2)求y=f(x)的单调区间；(3)当x1<x2且x1⋅20.设椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0，且离心率为32，过点(1)求椭圆M的方程；(2)已知点T1,1，直线AT和直线BT分别与y轴交于C，D，与x轴交于E，F，若3S△CDT=21.设正整数数列an满足an+1(1)若a6=1，请写出(2)记集合M=an∣n∈N∗，且a(3)存在常数T，对于∀n∈N∗都有an+T=a参考答案1.D

2.B

3.A

4.B

5.D

6.B

7.D

8.A

9.B

10.A

11.1+i/i+1

12.2

13.414.e

；

；

；

；−∞,−115.①②③

16.(1)在▵ABC中，因为AC=4，AB=3，BC=5，所以AB⊥AC．在直三棱柱ABC−A所以AA1⊥平面ABC.又因为AA1∩AC=A，所以AB⊥所以AB⊥A(2)由(1)可知，AA1⊥平面ABC，所以A又AB⊥AC，如图，建立空间直角坐标系A−xyz，则D2,32,0，设n=x,y,z是平面由{n⇀⋅CD令x=3，则n=设点B1到平面A1CD的距离为d.所以d=A所以点B1到平面A1CD(3)因为AB⊥平面A1所以平面A1AC的一个法向量是设二面角D−CA1−A由图可知，二面角D−CA1−A为锐角，所以二面角D−C

17.(1)fx由图象可知，A=2，所以fx因为fx=2sin所以1=2sinφ，所以又0<φ<π2，解得综上所述，A=2，φ=π(2)选择条件①：因为MN=5⇔所以T2故fx令−π2+2kπ≤有−2+6k≤x≤1+6k，k∈Z，所以fx单调递增区间为−2+6k,1+6k，k∈Z选择条件②：因为OM=所以2=2sinω+π由0<ω<π2，解得故fx令−π2+2kπ≤有−2+6k≤x≤1+6k，k∈Z，所以fx单调递增区间为−2+6k,1+6k，k∈Z选择条件③：因为f5由0<ω<π2，解得故fx令−π2+2kπ≤有−2+6k≤x≤1+6k，k∈Z，所以fx单调递增区间为−2+6k,1+6k，k∈Z

18.(1)根据题中数据，该选手上一赛季7个4T动作中，有5个跳跃为“成功”，所以从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，这次跳跃“成功”的概率可以估计为5(2)同(1)，从该选手上一赛季所有4S，4F动作中分别任选一次，这次跳跃“成功”的概率分别可以估计为23X的所有可能取值为0，1，2，3．P所以随机变量X的分布列为：X0123P15375所以E(3)由表格可知，4T动作成功的概率为57，失败的概率为2

4S动作成功的概率为23，失败的概率为14F动作成功的概率为34，失败的概率为14Lz动作成功的概率为35，失败的概率为2由34>57>23

19.(1)当a=2时，fx=e而f2=e故曲线y=fx在点2,f2处的切线方程为y−e(2)fx的定义域为−∞,0∪0,+∞，且f′x=当x变化时，f′x与fx−∞,00,11f′−−0+f单调递减单调递减极小值单调递增所以fx的单调递增区间为1a,+∞；单调递减区间为−∞,0(3)当x1<x2且令gx=fx设ℎx=ax−1所以当x∈−∞,0时，ℎ′x<0；当x∈所以ℎx在−∞,0上单调递减，在(从而ℎx>ℎ0所以gx的单调递增区间为−∞,0和(当0<x1<x2当x1<x2<0综上，当x1<x2且

20.(1)当直线AB经过椭圆中心O时，AB=2a=4，得a=2又e=ca=3所以M:x(2)①当直线AB的方程为y=0时，显然A(−2,0)，B2,0直线AT的方程为y=x3+直线BT的方程为y=−x+2，所以D0,2此时点E与点A重合，点F与点B重合，易知3S②设直线AB:x=my+4，Ax1x▵=64m2−48m2+4>0，即my1+yx1+x3直线AT:y−1=y1令x=0，C0,−y令y=0，E−x则3即x也即−4−3则24m+84=0，m=−72，斜率为综上，直线AB的斜率为0或−2

21.(1)①a6=1，a5=2，a4②a6=1，a5=2，a4③a6=1，a5=2，a4所以a1所有可能的取值：a1=6，(2)设数列an中最小数为ak①当t为偶数时，ak+1=t②当t为奇数时，ak+1=t+5∴t≤5∴