2025年中考数学思想方法复习系列 【新定义问题】三角形中的新定义问题（解析版）

三角形中的新定义问题知识方法精讲1．解新定义题型的方法：方法一:从定义知识的新情景问题入手这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力．因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。方法二：从数学理论应用探究问题入手对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法．即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤．方法三：从日常生活中的实际问题入手对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题，那么处理此类问题需要结合生活实际，再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。2．解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.3．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．4．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．5．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．6．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．7．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．8．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．9．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．10．相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．11．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）一．填空题（共5小题）1．（2021秋•花都区期末）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形的对角线、相交于点．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④点、分别在线段、上，且，则，其中正确的结论有①②④．（填写所有正确结论的序号）【考点】三角形综合题【分析】由“筝形”的性质可得，，可证是等边三角形，故①正确；由“”可证，可得，，由直角三角形的性质可得，故②正确；由面积关系可求，故③错误；延长到，使，连接，由“”可证，可得，由线段和差关系可得，故④正确，即可求解．【解答】解：四边形是“筝形”四边形，，，，是等边三角形，故①正确；，，，，，，，，，，，，故②正确；，，，，故③错误；延长到，使，连接，如图所示：，，又，，，，，，，，，，又，，，，，故④正确；故答案为：①②④．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．（2021秋•长宁区期末）定义：在中，点和点分别在边、边上，且，点、点之间距离与直线与直线间的距离之比称为关于的横纵比．已知，在中，，上的高长为3，关于的横纵比为，则．【考点】相似三角形的判定与性质【分析】先证明，由相似三角形的性质可求解．【解答】解：关于的横纵比为，设点、点之间距离为，直线与直线间的距离为，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解“横纵比”的定义并运用是解题的关键．3．（2021秋•赣州期中）规定：若，，，，则．例如，，则．已知，，则的最小值是．【考点】新定义，平面向量【分析】根据平面向量的新定义运算法则，列出关于的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即可．【解答】解：根据题意知：．所以当时，．即的最小值是．故答案是：．【点评】本题主要考查了平面向量，解题时，利用了配方法求得二次函数的最值．4．（2021秋•闵行区校级期中）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条优美线．已知中，，，点、在边上，且，为中点，过点的优美线交过点的优美线于，那么线段的长等于．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质【分析】作使得是的一条优美线，过点作于，根据，得，，列出比例式，代入数值计算即可求解．【解答】解：如图，，为的中点，，，，，，作使得是的一条优美线，过点作于，则，，，，，，，设，则，解得：，，，，又，即，解得：，，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形求出线段的长是解题的关键．5．（2021秋•邹城市期中）当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”，其中称为“奇妙角”．如果一个“奇妙三角形”的一个内角为，那么这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为，或，．【考点】三角形内角和定理【分析】分两种情况讨论：①当的角为“奇妙角”时，有另一个角为，由三角形的内角和可求得第三个内角为；②当的角不是“奇妙角”时，设另两个内角分别为，，且，由三角形的内角和可求解．【解答】解：由题意得：①当的角为“奇妙角”时，有另一个角为，第三个内角为；②当的角不是“奇妙角”时，设另两个内角分别为，，且，有，即，解得：，故．综上所述：这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为，或，．故答案为：，或，．【点评】本题主要考查三角形的内角和，解答的关键是对已知的角进行分类讨论．二．解答题（共15小题）6．（2021秋•鄞州区期末）【问题提出】如图1，中，线段的端点，分别在边和上，若位于上方的两条线段和之积等于下方的两条线段和之积，即，则称是的“友好分割”线段．（1）如图1，若是的“友好分割”线段，，，求的长；【发现证明】（2）如图2，中，点在边上，交于，交于，连结，求证：是的“友好分割”线段；【综合运用】（3）如图3，是的“友好分割”线段，连结并延长交的延长线于，过点画交的外接圆于点，连结，设，．①求关于的函数表达式；②连结，，当时，求的值．【考点】圆的综合题【分析】（1）设，利用“友好分割”线段的定义得到等积式，将已知条件代入等积式中化简求得，则，结论可得；（2）利用平行线分线段成比例定理，通过等量代换即可得出结论；（3）①过点作交于点，利用平行线分线段成比例定理，得到比例式，，将两个等式左右分别相乘，整理后将，代入即可得出结论；②利用①的结论可以得到；通过证明，利用相似三角形的性质得出结论．【解答】（1）解：设，是的“友好分割”线段，．，，．．，．．（2）证明：，．，．．．是的“友好分割”线段；（3）解：①是的“友好分割”线段，．．，．过点作交于点，如图，，，．．．，，．．关于的函数表达式为：；②连接，如图，，，．，．即．，．．．．，．．，．，．．即．是的“友好分割”线段，．．．．．，．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，圆周角定理及其推论，圆心角，弧，弦的关系定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，过点作交于点是解题的关键也是解决此类问题常添加的辅助线．7．（2021秋•石鼓区期末）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对，如图1，在中，，底角的邻对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1），若，则．（2）如图2，在中，，，，求的周长．【考点】解直角三角形【分析】（1）根据定义，要求的值，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点作，垂足为，根据，可得：，再利用等腰三角形的三线合一性质，求出即可解答，根据定义，，可得底边与腰相等，所以这个等腰三角形是等边三角形，从而得；（2）根据定义，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点作，垂足为，，所以设，，然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用，列出关于的方程即可解答．【解答】解：（1）如图：过点作，垂足为，，，，，，，，若，，，，，是等边三角形，，故答案为：，60；（2）过点作，垂足为，，，设，，，，，，，，，，（负值舍去），，，，的周长为36，答：的周长为36．【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质是解题的关键．8．（2021秋•丰台区期末）对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义：若点满足，则称为线段的“轴点”，其中，当时，称为线段的“远轴点”；当时，称为线段的“近轴点”．（1）如图1，点，的坐标分别为，，则在，，，中，线段的“轴点”是，；线段的“近轴点”是．（2）如图2，点的坐标为，点在轴正半轴上，．若为线段的“远轴点”，请直接写出点的横坐标的取值范围．【考点】坐标与图形性质【分析】（1）由题意可知、关于轴对称，则线段的“轴点”在轴上；（2）分两种情况：①当点在线段上方时，②当点在线段下方时，分别求为等边三角形时的值，即可确定的取值范围．【解答】解：（1），，、关于轴对称，，点在轴上，线段的“轴点”是，，当时，，，，是线段的“近轴点”，故答案为：，；；（2）如图1，，，，，，当点在轴上时，，当时，为线段的“远轴点”；如图2，当轴时，，，，，此时点是线段的“远轴点”，，，，，时为线段的“远轴点”；综上所述：或时为线段的“远轴点”，故答案为：或．【点评】本题考查坐标与图形，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质是解题的关键．9．（2020秋•南沙区期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．（1）如图①中，若和互为“兄弟三角形”，，．写出，和之间的数量关系，并证明．（2）如图②，和互为“兄弟三角形”，，，点、点均在外，连接、交于点，连接，求证：平分．（3）如图③，若，，试探究和的数量关系，并说明理由．【考点】三角形综合题【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到，进而得到，得到答案；（2）过点作于，于，证明，根据全等三角形的对应高相等得到，根据角平分线的判定定理证明结论；（3）延长至点，使，证明，得到，根据邻补角的定义证明即可．【解答】（1）解：，理由如下：和互为“兄弟三角形”，，，即，；（2）证明：如图②，过点作于，于，和互为“兄弟三角形”，，，即，在和中，，，，，，，，平分．（3），理由如下：如图③，延长至点，使，，为等边三角形，，，，，在和中，，，，，．【点评】本题考查的是“兄弟三角形”的定义、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，正确理解“兄弟三角形”的定义是解题的关键．10．（2021秋•余姚市月考）定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等，那么这两个三角形称为邻等三角形．例如：如图1，中，，，，则与是邻等三角形．（1）如图2，中，点是的中点，那么请判断与是否为邻等三角形，并说明理由．（2）如图3，以点为圆心，为半径的交轴于点，是的内接三角形，．①求的度数和的长；②点在上，若与是邻等三角形时，请直接写出点的坐标．【考点】圆的综合题【分析】（1）由点是的中点，得，，且是公共边，可证明结论；（2）①作，连接，，由题意可知是等腰直角三角形，从而得，作，在中，，，可得：，，在中，，可得：，，即可求得；②分类讨论：第一种情况：如图3，连接，，过点作于点，，作，，则，，在上截取，则，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可；第二种情况，如图4，过点作轴，，利用解直角三角形即可；第三种情况，如图5，，先求得，，再根据圆的对称性即可求得答案；第四种情况，如图6，，求出交轴的交点即可；第五种情况，如图7，，过点作轴于，在上取点，使，连接，设，则，运用勾股定理即可求得答案．【解答】解：（1）与是邻等三角形，理由如下：点是的中点，，，，与是邻等三角形．（2）①如图2，作，连接，，，，点的坐标是，，，，作，在中，，，，，在中，，，，；②第一种情况：如图3，连接，，过点作于点，，则与是邻等三角形，且，作，，则，，，，△是等边三角形，，，在上截取，则，，，设，则，，，在△中，，，，，，；第二种情况，如图4，过点作轴，，则与是邻等三角形，，，，，，，，；第三种情况，如图5，，则，，，根据圆的对称性可得：，；第四种情况，如图6，，则与是邻等三角形，此时，交轴于点，；第五种情况，如图7，，则，，作于，，，，，，由勾股定理可得：，，，，，，，过点作轴于，在上取点，使，连接，则，，设，则，，，在△中，，，，，；综上所述，与是邻等三角形时，点的坐标分别是：，，，，，，，，．【点评】本题主要考查了含直角三角形、等腰直角三角形性质和圆的性质，圆周角定理等，利用分类讨论和理解邻等三角形的定义是解答此题的关键．11．（2021秋•岳麓区校级月考）定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若是“近直角三角形”，，，则20；（2）如图1，在中，，，．若是的平分线，①求证：是“近直角三角形”；②在边上是否存在点（异于点，使得也是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连结交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的长．【考点】三角形综合题【分析】（1）不可能是或，当时，，，不成立；故，，，则，答案为20；（2）①如图1，设，，则，故是“近直角三角形”；②，则，即，即，解得：，即可求解；（3）①如图2所示，当时，通过证明，可得，即可求解；②如图3所示，当时，，则，则（圆的半径），点是的中点，则，在中，，由锐角三角函数可求，即可求解．【解答】解：（1）不可能是或，当时，，，不成立；故，，，则，故答案为20；（2）①如图1，设，，则，故是“近直角三角形”；②存在，理由：在边上是否存在点（异于点，使得是“近直角三角形”，，，则，则，则，即，即，解得：，则；（3）①如图2所示，连接，当时，又，，，是直径，，，，垂直平分，，，，，，，；②如图3所示，当时，又，，过点作交于点，交于点，则点是圆的圆心的中垂线与直径的交点），，，，，，，则，则，则（圆的半径），点是的中点，则，在中，，，，，，，，，，，综上所述：的长为或．【点评】本题是三角形综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．12．（2021秋•荔城区校级期中）概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念：（1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用：（2）如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的等角分割线．动手操作：（3）在中，若，是的等角分割线，请求出所有可能的的度数．【考点】三角形综合题【分析】（1）根据“等角三角形”的定义解答；（2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据“等角三角形”的定义证明；（3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．【解答】解：（1）与，与，与是“等角三角形”；（2）在中，，为角平分线，，，，，在中，，，，，，，，，为的等角分割线；（3）当是等腰三角形，如图2，时，，，当是等腰三角形，如图3，时，，，，当是等腰三角形，的情况不存在，当是等腰三角形，如图4，时，，，当是等腰三角形，如图5，时，，设，则，则，由题意得，，解得，，，，综上所述：的度数为或或或．【点评】本题是三角形综合题，考查了“等角三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．13．（2021秋•金安区校级期中）概念学习：已知，点为其内部一点，连接、、，在、和中，如果存在一个三角形，其内角与的三个内角分别相等，那么就称点为的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①内角分别为、、的三角形存在等角点真命题；②任意的三角形都存在等角点．（2）如图中，点是锐角三角形的等角点，若，探究图中么、、之间的数量关系，并说明理由．【考点】三角形综合题【分析】（1）①根据直角三角形的性质、三角形的等角点的概念判断；②根据等边三角形的性质判断；（2）延长交于，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：（1）①内角分别为、、的三角形存在等角点是真命题；②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；故答案为：①真命题；②假命题；（2），理由如下：如图，延长交于，是的外角，，，，，．【点评】本题考查的是三角形的等角点的定义、等边三角形的性质、三角形的外角性质，正确理解三角形的等角点的定义是解题的关键．14．（2021•安溪县模拟）在平面直角坐标系中，对于点、和图形，给出如下定义：若图形上存在一点，使，则称点为点关于图形的一个“直角联络点”．已知点，．（1）在点、中，点关于点的“直角联络点”是（直接写出符合条件的点）（2）点的坐标为，若点是点关于点的“直角联络点”，求．【考点】勾股定理的逆定理；坐标与图形性质【分析】（1）根据“直角联络点”的定义直接判断；（2）由题意知，则点为以为直径的圆与直线的交点，求出点的坐标和圆的半径即可解决问题．【解答】解：（1）点关于点的“直角联络点”是，故答案为：；（2）点是点关于点的“直角联络点”，，点为以为直径的圆与直线的交点，，，设直线与的交点为，直线与轴的交点为，过点作于点，则直线的解析式为，点的坐标为，即点为圆心，，，，同理，点为关于的直角联络点，，综上所述，或．【点评】本题是新定义题，主要考查了圆周角定理，勾股定理等知识，读懂题意，画出辅助圆是解题的关键．15．（2021•临海市一模）在三角形中，一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差．（1）概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差为两直角边的平方和与斜边的平方的差；在底边长为2的等腰三角形中，底角的勾股差为；（2）性质探究：如图1，是的中线，，，，，记中的勾股差为，中的勾股差为；①求，的值（用含，，，的代数式表示）；②试说明与互为相反数；（3）性质应用：如图2，在四边形中，点与分别是与的中点，连接，，，若，且，，求的值．【考点】四边形综合题【分析】（1）依据勾股差的定义即可得到直角的勾股差等于两直角边的平方和与斜边的平方的差；依据定义即可得出结论；（2）①依据勾股差的定义可得：，；②证明即可；（3）依据勾股差的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及（2）中得出的结论计算即可．【解答】解：（1）一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差，直角的勾股差为两直角边的平方和与斜边的平方的差．等腰三角形的底角的勾股差为腰的平方底边的平方另一腰的平方．等腰三角形的两个腰相等，等腰三角形的底角的勾股差为底边的平方．故答案为：两直角边的平方和与斜边的平方的差；4；（2）①是的中线，，．依据勾股差的定义可得：，；②过点作于点，如图，在中，由勾股定理得：，同理可得：，．．，，．．由（1）知：，，．与互为相反数．（3），设，．是的中点，，．．点与分别是与的中点，，．点与分别是与的中点，利用（2）中的结论可得：，．，．，．．．解得：．．【点评】本题是四边形的综合题，主要考查了新定义的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，相反数的意义，三角形中线的性质，灵活运用探究中的性质和理解并熟练应用新定义是解题的关键．16．（2021秋•南昌期中）【概念学习】如图1，2，已知，点为其内部一点，连接、、，在、、中，如果存在一个三角形，其内角与的三个内角分别相等，那么就称点为的等角点．【理解应用】（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①等边三角形存在等角点：假命题；②等腰直角三角形存在等角点：；③内角分别为、、的三角形存在等角点：；④任意的三角形都存在等角点：；【深入理解】（2）如图1，点是锐角的等角点，且与的三个内角分别相等，已知：若，，求的度数；（3）如图2，点是锐角的等角点，若，探究、、之间的数量关系，并说明理由．【考点】三角形综合题【分析】（1）根据点为的等角点的定义判断即可；（2）分两种情形：当时，．当时，分别求解即可；（3）结论：．利用三角形内角和定理，解决问题即可．【解答】解：（1）①等边三角形存在等角点，是假命题；②等腰直角三角形存在等角点，是假命题；③内角分别为、、的三角形存在等角点，是真命题；④任意的三角形都存在等角点，是假命题．故答案为：假命题，假命题，真命题，假命题；（2）当时，．当时，，，综上所述，满足条件的或；（3）结论：．理由：，，．【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形内角和定理，点为的等角点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．17．（2021秋•诸暨市期中）定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”．如图1在中，若，则是“和谐三角形”．（1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是真命题（填“真”或“假”．（2）若中，，，，，且，若是“和谐三角形”，求．【考点】勾股定理；等边三角形的性质【分析】（1）当为等边三角形时，可得，即可得出结论；（2）由是“和谐三角形”，分情况讨论可得结论．【解答】解：（1）当为等边三角形时，，，等边三角形一定是“和谐三角形“，故答案为：真；（2），，，，，当时，则（舍去），当时，则，，，，，．【点评】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理等知识，读懂新定义，运用分类讨论思想是解题的关键．18．（2021秋•大田县期中）在平面直角坐标系中，将三点，，的“矩面积”记为，定义如下：，，中任意两点横坐标差的最大值称为“水平底”，任意两点纵坐标差的最大值称为“铅垂高”，“水平底”与“铅垂高”的乘积即为点，，的“矩面积”，即．例如：点，，，它们的“水平底”为5，“铅垂高”为4，“矩面积”．解决以下问题：（1）已知点，，，求，，的“矩面积”；（2）已知点，，，且，，的“矩面积”为12，求的值；（3）已知点，，，若，且，，的“矩面积”为25，求的值．【考点】三角形综合题【分析】（1）根据定义即可得出答案