2025年中考数学思想方法复习系列 【数学模型】建立函数模型解决实际问题（原卷版）

建立函数模型解决实际问题知识方法精讲1．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．2．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．3．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．4．二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．5．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．6．根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．7．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．一．选择题（共1小题）1．（2021秋•梁溪区校级期中）如图，在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分（如图，画2条直线，最多能把白纸分成4部分（如图，画3条直线，最多能把白纸分成7部分（如图，当在一张白纸上画15条直线，最多能把白纸分成的部分是A．120 B．121 C．122 D．123二．填空题（共2小题）2．（2021秋•鹿城区校级期中）如图，在中，已知，，，是线段上的一点，以为圆心，为半径的半圆交边于点，交的延长线于点，射线交于点，则的最大值为．3．（2021秋•蜀山区校级月考）如图，是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为，，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为，小球滚动的区域（空白区域）面积为．则关于的函数关系式为：（化简为一般式）．三．解答题（共17小题）4．（2021秋•泗水县期中）某商店以每件80元的价格购进一批商品，现以单价100元销售，每月可售出300件．经市场调查发现：每件商品销售单价每上涨1元，该商品平均每月的销售量就减少10件，设每件商品销售单价上涨了元．（1）若在顾客得实惠的前提下，当每件商品销售单价上涨多少元时，该商店每月的销售利润为6210元？（2）写出月销售该商品的利润（元与每件商品销售单价上涨（元之间的函数关系式；当销售单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？5．（2021秋•禅城区校级期中）在中，它的边，高．（1）如图1，正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．问正方形的边长是多少？（2）如图2，点、分别在，上，且，点为上一点，连接、，则当时，的面积最大值．6．（2021秋•郾城区期中）下面是小丽同学根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行的探究过程．（1）函数的自变量的取值范围是．（2）列表011.5234244.2542442表格中的值为．（3）如图，在平面直角坐标系中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；（4）对于上面的函数，下列四个结论：①函数图象关于轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当时，随的增大而减小；④函数图象与轴有2个公共点．所有正确结论的序号是：．（5）结合函数图象，解决问题：关于的方程有个不相等的实数根．7．某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元；“神州行”不缴月租费，每通话付费0.6元．若一个月内通话，两种方式的费用分别为元和元．（1）写出、与之间的函数关系式；（2）一个月内通话多少分钟，两种移动通讯费用相同；（3）某人估计一个月内通话，应选择哪种移动通讯合算些．8．（2021秋•肃州区期末）喜迎元旦，某商店销售一种进价为50元件的商品，售价为60元件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．（1）假设设每件商品的售价上涨元为正整数），每星期销售该商品的利润为元，求与之间的函数关系式．（2）每件商品的售价上涨多少元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润？此时，该商品的定价为多少元？获得的最大利润为多少？9．（2021秋•黔西南州期末）某服装批发市场销售一种衬衫，每件衬衫的进货价为50元，规定每件的售价不低于进货价．经市场调查，每月的销售量（件与每件的售价（元满足一次函数关系，部分数据如表：售价（元件）556065销售量（件700600500（1）求出与之间的函数关系式；（不需要求自变量的取值范围）（2）物价部门规定，该衬衫每件的利润不允许高于进货价的，设销售这种衬衫每月的总利润为（元，求与之间的函数关系式，当每件衬衫的售价定为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？10．我国是世界上淡水资源匮乏国家之一，北方地区的缺水现象更为严重，有些地方甚至连人畜饮水都得不到保障，为了节约用水，不少城市作出了对用水大户限制用水的规定．北方某市规定：每一个用水大户，月用水量不超过规定标准吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：月份用水量（吨交费总数（元7140264895152（1）求出该市规定标准用水量的值；（2）写出交费总数（元与用水量（吨的函数关系式．11．（2021秋•前进区期末）小明一家利用元旦三天驾车到某景点旅游．小汽车出发前油箱有油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量与行驶时间之间的关系．如图所示．根据图象回答下列问题：（1）小汽车行驶后加油，中途加油；（2）求加油前油箱余油量与行驶时间的函数关系式；（3）如果小汽车在行驶过程中耗油量速度不变，加油站距景点，车速为，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．12．（2021秋•任城区期末）杆秤是我国传统的计重工具，如图，秤钩上所挂的不同重量的物体使得秤砣到秤纽的水平距离不同．称重时，秤钩所挂物重为（斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据，且是的一次函数．（斤00.751.002.253.25（厘米）1247注：秤杆上秤砣在秤纽左侧时，水平距离（厘米）为正，在右侧时为负．（1）根据题意，完成上表；（2）请求出与的关系式；（3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？13．（2021秋•锦江区校级期末）元旦节期间，某天小王和小明都乘车从成都到重庆，成都、重庆两地相距约为300千米，小王先乘车从成都出发，小明坐动车先以80千米小时速度追赶小王．如图，线段表示小王离成都的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示小明离成都的距离（千米）与（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：（1）小明到达重庆后，小王距重庆还剩多少千米？（2）求线段和对应的函数解析式；（3）求小明从成都出发后多长时间与小王相遇．14．（2021秋•武汉期末）个体户小陈新进一种时令水果，成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来40天内的日销售量与时间（天的关系如表：时间（天1351036日销售量9490867624未来40天内，前20天每天的价格（元与时间（天的函数关系式为且为整数），后20天每天的价格（元与时间（天的函数关系式为且为整数）．（1）直接写出与时间（天之间的关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，个体户小陈决定每销售水果就捐赠元利润且为整数）给贫困户，通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天的增大而增大，求前20天中个体户小陈共捐赠给贫困户多少钱？15．（2021•青岛）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米与小钢球运动时间（秒之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米与它的运动时间（秒之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出与之间的函数关系式；（2）求出与之间的函数关系式；（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？16．（2021•广西模拟）新冠疫情期间，某网店销售的消毒用紫外线灯很畅销，该网店店主结合店铺数据发现，日销量（件是售价（元件）的一次函数，其售价、日销售量、日销售纯利润（元的四组对应值如表：售价（元件）150160170180日销售量（件200180160140日销售纯利润（元8000880092009200另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元．注：日销售纯利润日销售量（售价进价）每日固定成本（1）①求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②该商品进价是元件，当售价是元件时，日销售纯利润最大，最大纯利润是元．由于疫情期间，每件紫外线灯的进价提高了元，且每日固定成本增加了100元，但该店主为响应政府号召，落实防疫用品限价规定，按售价不高于170元件销售，若此时的日销售纯利润最高为7500元，求的值．17．（2021秋•朝阳区期末）如图，某矩形花园一边靠墙，墙长，另外三边用长为的篱笆围成，其中一边开有一扇宽为的门（不包括篱笆）．设矩形花园垂直于墙的一边长为，面积为．（1）的长为（用含的代数式表示）．（2）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围．（3）求花园面积的最大值．18．小明大学毕业后积极响应政府号召回乡创业，准备经营水果生意，他在批发市场了解到某种水果的批发单价与批发量有如下关系：批发量批发单价（元65（1）写出批发该种水果的资金金额（元与批发量