2025年中考数学思想方法复习系列 【数学模型】建立方程模型解决实际问题（原卷版）

建立方程模型解决实际问题知识方法精讲1．一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；（5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．2．二元一次方程组的应用（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．（二）设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．3．一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．4．分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．一．选择题（共1小题）1．（2020•绵阳模拟）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按图2方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是A． B． C． D．二．解答题（共19小题）2．（2020秋•石狮市期末）如图，将一块直角三角板按如图所示放置，点，在数轴上，，点在点右边，点表示的数是．（1）直接填空：点表示的数是；（2）将三角板沿数轴正方向移动至三角板的位置，点，，的对应点分别是点，，．①连结，若恰好将三角板的面积分成的两部分，求这时点表示的数；②设三角板的移动速度为每秒2个单位长度，点为线段的中点，点在线段上，且．设三角板移动的时间为（秒．试探索：是否存在某一时刻，使点与点表示的两个数互为相反数？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．3．（2021秋•碑林区校级期中）【知识准备】：数轴上、两点对应的数分别为、，则、两点之间的距离表示为：．【问题探究】：数轴上、两点对应的数分别为、，且满足．（1）求得、两点之间的距离是；（2）若在数轴上有一点，满足，求点表示的数；（3）若、两点在数轴上运动，点从出发以2个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时，点从出发以3个单位长度秒的速度向左匀速运动．经过秒，、相距2个单位长度；（4）原点在数轴上表示0，点在数轴上表示3，若、两点在数轴上以2个单位长度秒的速度同时向右匀速运动，与此同时，、以3个单位长度秒的速度在数轴上向左匀速运动，在这个过程中，有一段时间，、两点都运动在线段上，则这段时间的时长是秒．4．（2021春•农安县期末）长春消夏灯会节将在长春农博园举办．承办方计划在现场安装小彩灯和大彩灯．已知：安装5个小彩灯和4个大彩灯共需150元；安装7个小彩灯和6个大彩灯共需220元．（1）安装1个小彩灯和1个大彩灯各需多少元．（2）若承办方安装小彩灯和大彩灯的数量共300个，费用不超过4350元，则最多安装大彩灯多少个？5．（2019秋•长乐区期末）已知两条直线，，，点，在直线上，点在点的左边，点，在直线上，且满足．（1）如图①，求证：；（2）点，在线段上，点在点的左边且满足，且平分；（Ⅰ）如图②，当时，求的度数；（Ⅱ）如图③，当时，求的度数．6．（2021春•婺城区校级期中）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图所示，（单位：（1）列出方程（组，求出图甲中与的值．（2）在试生产阶段，若将张标准板材用裁法一裁剪，张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．①两种裁法共产生型板材张，型板材张（用、的代数式表示）；②当时，所裁得的型板材和型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）7．（2021•临海市一模）【发现问题】小聪发现图1所示矩形甲与图2所示矩形乙的周长与面积满足关系：．【提出问题】对于任意一个矩形，是否一定存在矩形，使得成立？【解决问题】（1）对于图2所示的矩形乙，是否存在矩形丙（可设两条邻边长分别为和，使得成立．若存在，求出矩形丙的两条邻边长；若不存在，请说明理由；（2）矩形两条邻边长分别为和1，若一定存在矩形，使得成立，求的取值范围；（3）请你回答小聪提出来的问题．若一定存在，请说明理由；若不一定存在，请直接写出矩形两条邻边长，满足什么条件时一定存在矩形．8．（2020秋•扶风县期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？9．（2021春•济阳区期末）国务院总理李克强表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．响应国家号召，成都某社区拟建、两类地摊摊位，已知每个类摊位占地面积比类多2平方米，建类摊位需40元平方米，类30元平方米，用60平方米建类摊位的个数恰好是同样面积建类摊位个数的．（1）求每个、类摊位占地面积各为多少平方米？（2）若该社区拟建、两种摊位共90个，且类摊位数量要多于22个，建造总费用不超过10850元，则共有几种建造方案？（3）在（2）的条件下，哪种方案总费用最少？最少费用为多少元？10．（2021秋•集贤县期末）如图是宽为20米，长为32米的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，且互相垂直），把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的总面积为570平方米，问：道路宽为多少米？11．（2021•奎屯市二模）甲商品的进价为每件20元，商场将其售价从原来的每件40元进行两次调价．已知该商品现价为每件32.4元，（1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若商场希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在现价的基础上还应如何调整？12．（2021•湖州）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有，两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：购票方式甲乙丙可游玩景点和门票价格100元人80元人160元人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？13．（2014春•太康县校级月考）某商店在销售西服时，按每套进价的标价，后来为吸引消费者，按标价的八折销售，此时每套西服仍可获利120元，求西服的进价为多少元？（1）建立一元一次方程模型并解答上述问题；（2）解答后请思考以下问题：①在建立一元一次方程的模型解决问题过程中，你认为最关键的是什么？②解一元一次方程的算法，步骤有哪些？③用算术法解决实际问题与建立方程模型解决实际问题，这两种方法有什么不同？你说说哪种方法更优越？14．（2021秋•丛台区校级期末）黄冈小河中学七年级学生在5名教师的带领下去赤壁公园游玩，公园的门票为每人30元．现有两种优惠方案，甲方案：带队教师免费，学生按8折收费；乙方案：师生都7.5折收费．（1）若有名学生，则甲方案师生共需元，乙方案师生共需元（用含代数式表示）．（2）当为何值时，两种方案收费一样？（3）你能帮老师建议一下选择哪种方案优惠？15．（2021秋•双辽市期末）某工厂车间有28个工人，生产零件和零件，每人每天可生产零件18个或零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个零件配两个零件，且每天生产的零件和零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个零件可获利10元，每个零件可获利5元．（1）求该工厂有多少工人生产零件？（2）因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分零件供商场零售使用，现从生产零件的工人中调出多少名工人生产零件，才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元？16．（2021•江州区模拟）某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入种型号种型号第一周3台5台1800元第二周4台10台3100元（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）（1）求、两种型号的电风扇的销售单价；（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．敌我相距，得知敌军前以的速度逃走，现我军以的速度追击敌军，多久可以追上？用二元一次方程组解决实际问题：入世后，国内各汽车业展开价格大战，汽车的价格在大幅度下降，有些型号的汽车供不应求，某汽车产业接受了一份订单，要在规定的日期内每天生产35辆，则差10辆完成任务，如果每天生产40辆，则可以提前半天完成任务，该订单要生产多少量汽车？规定日期是多少天？19．（2021秋•绿园区期末）学校生物小组有一块长，宽的矩形试验田，为了方便管理，准