2025年中考数学思想方法复习系列 【分类讨论】方程（组）和函数中的分类讨论（解析版）

方程（组）和函数中的分类讨论知识方法精讲1．含绝对值符号的一元一次方程解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．例如：解方程|x|＝2解：去掉绝对值符号x＝2或﹣x＝2方程的解为x1＝2或x2＝﹣2．2．一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；（5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．3．一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．4．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．5．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．6．函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．7．动点问题的函数图象函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．8．一次函数的定义（1）一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．（2）注意：①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．9．一次函数的性质一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．10．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．11．一次函数图象与几何变换直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）12．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．13．二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．14．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．15．坐标与图形变化-平移（1）平移变换与坐标变化①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）16.分类讨论思想每个HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"数学思想，称之为分类讨论思想。一．选择题（共5小题）1．（2021秋•黔西南州期末）如图，数轴上的点和点表示的数分别是0和10，是线段上一动点．点沿以每秒2个单位长度的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动的时间为秒．在点运动的过程中，当时，则点运动的时间的值为A．或 B．3或7 C．或或或 D．3或或7或【考点】一元一次方程的应用；数轴【分析】分与两种情况进行讨论，根据列方程，求解即可．【解答】解：①当时，动点所表示的数是，，，，或，解得或；②当时，动点所表示的数是，，，，或，解得或．综上所述，运动时间的值为或或或．故选：．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据点位置的不同正确进行分类讨论，进而列出方程是解题的关键．2．（2020秋•抚顺期末）关于的方程有实数根，则的取值范围是A． B． C． D．【考点】一元二次方程的定义；根的判别式【分析】由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令△，即可求出的取值范围，要注意，．再令方程为一元一次方程，进行解答．【解答】解：当方程为一元二次方程时，，即．关于的方程有实数根，△，解得；，当方程为一元一次方程时，且，则，综上，时方程有实数根．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，注意要分类讨论，对一元一次方程和一元二次方程分别解答．3．（2021秋•金安区期中）如图，在矩形中，，，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，设，时间为，则与之间的函数图象大致为A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象【分析】利用分类讨论的思想方法分四种情况讨论解答：①，②，③，④；依据的取值范围画出对应的图形，求出对应的函数解析式，根据解析式的大致图象即可得出结论．【解答】解：①当时，此时，点在上，点在上，由题意得：，．．，此时函数的图象是以和为端点的线段；②当时，此时点在上，点在上，如图，由题意得：，．，．，此时函数的图象为开口向下，对称轴为直线的抛物线的一段；③当时，此时点，均在线段上，此时，函数图象为轴上以和为端点的线段；④当时，此时点在线段上，点在线段上，如图，由题意得：，．．．，当时，．此时的函数的图象是抛物线上以和为端点的一段．综上，符合上述特征的函数图象为，故选：．【点评】本题主要考查了动点问题函数的图形，利用分类讨论的方法求出相应的函数的解析式是解题的关键．4．（2021春•江门期末）如图，等腰直角三角形的边和矩形的边在轴上，，，．将矩形沿轴正方向平移个单位，所得矩形与公共部分的面积记为．将看作的函数，当自变量在下列哪个范围取值时，是的一次函数A． B． C． D．或【考点】一次函数的定义；等腰直角三角形；坐标与图形变化平移【分析】分，，，，，讨论即可得出结果．【解答】解：，，，当矩形在范围内移动时，，当矩形在范围内移动时，，当矩形在范围内移动时，，当矩形在范围内移动时，，当矩形在范围内移动时，，当矩形在时范围内移动时，，综上所述，矩形在或范围内移动时，是的一次函数，故选：．【点评】本题考查了图形的平移、一次函数的定义，抓住一次函数的定义分类讨论是解决本题的关键．5．（2021秋•市中区期末）定义，图象与轴有两个交点的函数叫做关于直线的对称函数，它与轴负半轴交点记为，与轴正半轴交点记为．例如，如图：直线，关于直线的对称函数与该直线交于点，当直线与关于直线的对称函数有两个交点时，则的取值范围是A． B． C． D．【考点】一次函数的性质；两条直线相交或平行问题；一次函数图象与几何变换【分析】分两种情况讨论；列出关于的方程，求得的值，结合图象即可求得的取值范围．【解答】解：令，解得或，故点、的坐标分别为、，函数与轴负半轴交点为，与轴正半轴交点记，则；从图象看，时，，故点．当直线与关于的对称函数有两个交点时，当时，点，将点的坐标代入得：，解得；，当时，，解得，．又，．综上所述：的取值范围是．故选：．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．二．填空题（共4小题）6．（2021秋•昌江区校级期中）若关于的方程有唯一解，则的取值范围是．【考点】含绝对值符号的一元一次方程【分析】分类讨论确定，再由题意求的范围即可．【解答】解：当时，，当时，，当时，，，有唯一解，，故答案为：．【点评】本题考查含绝对值符号的一元一次方程，根据绝对值的性质，分类讨论确定的取值范围是解题的关键．7．（2021秋•利津县期中）已知函数是常数）的图象与轴只有一个交点，则．【考点】抛物线与轴的交点【分析】此题要分两种情况进行讨论：（1）当时，此函数为一次函数，图象与轴只有一个交点；（2）当时，此函数为二次函数，当△时，图象与轴只有一个交点，分别计算即可．【解答】解：（1）当时，直线与轴只有一个交点，则；（2）当时，图象与轴只有一个交点则，，，，故答案为：．【点评】此题主要考查了抛物线与轴交点，关键是注意分类讨论，不要漏解．8．（2020秋•江门期末）若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为或或1．【考点】抛物线与轴的交点【分析】分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与轴只有一个交点时，据此求解可得．【解答】解：当，即时，函数解析式为，与轴只有一个交点；当，即时，根据题意知，，整理，得：，解得：或；综上，的值为或或1．故答案为：或或1．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标，令，即，解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数，，是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系，△决定抛物线与轴的交点个数：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．9．（2021•德州模拟）若函数的图象与轴只有一个交点，那么的值为0或2或．【考点】一次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点【分析】当时，函数为一次函数与轴有一个交点，当时，△时，抛物线与轴只有一个交点．【解答】解：当时，函数为，其图象与轴只有一个交点．当时，△，即．解得：．当，或时，函数的图象与轴只有一个交点．故答案为：0或2或．【点评】本题主要考查的是抛物线与轴的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．三．解答题（共16小题）10．（2021秋•梅里斯区期末）如图，在数轴上，点表示数，点表示数，、满足．（1）点表示的数为．点表示的数为．（2）数轴上有一个点，且，则点表示的点为．（3）、都是数轴上的点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，设点、同时出发，运动时间为秒．①点、出发几秒后相遇？②点、出发几秒后相距4个单位长度？【考点】非负数的性质：绝对值；数轴；一元一次方程的应用【分析】（1）根据绝对值的非负性，可求出，的值；（2）分点在线段上和线段的延长线上两种情况讨论即可求解；（3）①设点，出发秒后相遇．列方程求解即可；②点，出发秒后相距3个单位长度，分两种情况讨论即可求解【解答】解：（1），，，，．故答案为：；1；（2）设数轴上点表示的数为．，，即．，点不可能在的延长线上，则点可能在线段上和线段的延长线上．①当点在线段上时，则有，得，解得；②当点在线段的延长线上时，则有，得，解得．故当时，或，故答案为：或6；（3）①设点，出发秒后相遇，依题意，得，解得，答：点，出发秒后相遇；②设点，出发秒后相距4个单位长度，当点在点左边时，，解得，当点在点右边时，，解得，答：点，出发2秒或秒后相距4个单位长度．【点评】本题考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键．11．（2021秋•重庆期末）已知：如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为秒秒）．（1）则度，度（用含的代数式表示）；（2）在运动过程中，当达到时，求的值；（3）在旋转过程中是否存在这样的，使得，如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由．【考点】角的计算；一元一次方程的应用【分析】（1）根据题意进行求解即可；（2）分两种情况进行讨论：①当与重合前；②当与重合后，列出相应的方程求解即可；（3）分两种情况进行讨论：①当与重合前；②当与重合后，列出相应的方程求解即可．【解答】解：（1）由题意得：，，故答案为：，；（2）①当与重合前，有：，解得：，②当与重合后，有：，解得：，故的值为11秒或29秒；（3）①当与重合前，有：，解得：，②当与重合后，有：，解得：，故的值为15秒或30秒．【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意，找到等量关系列出方程．12．（2021秋•重庆期末）已知数轴上有，，三点，分别表示数，，，并且满足，与互为相反数，两只小蜗牛甲、乙分别从，两点同时沿数轴相向而行，甲的速度为2个单位长度秒，乙的速度为3个单位长度秒．（1）求，，的值；（2）运动多少秒时，甲、乙在数轴上相遇？设相遇点为点，请求出点所表示的数；（3）设点在数轴上表示的数为，且点满足．若甲运动到点时（此时甲、乙还没有相遇）立即掉头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所表示的数；若不能，请说明理由．【考点】数轴；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；一元一次方程的应用【分析】（1）首先由非负数的性质求得，；然后由相反数的定义求得；（2）令运动秒时，甲、乙在数轴上相遇．则有等量关系是：，解方程即可；（3）由于甲运动到点时，甲乙未相遇，则分和两种情况讨论即可求解．【解答】解：（1），，，解得，．又与互为相反数，；（2）设运动秒时，甲、乙在数轴上相遇．则依题意得：，解得，则表示的数为：；（3）由于甲运动到点时，甲乙未相遇，则：①当时，由，得，解得，即点在数轴上所表示的数是．设甲、乙还能在数轴上相遇，相遇点所表示的数是．则依题意，得，，解得．即甲、乙还能在数轴上相遇，相遇点在数轴上所表示的数是，②当时，由，得，解得（不合题意舍去）．综上所述，甲、乙还能在数轴上相遇，相遇点在数轴上所表示的数是．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．本题在解答第二问注意分类思想的运用．13．（2020秋•巴中期末）如图，点、在数轴上表示的数分别是、，其中、满足，点与点之间的距离表示为．（1）5；（2）若点从点出发向右运动，在运动过程中，当、、三点中有一点是以另两点为端点的线段的中点时，点表示的数是；（3）点、是数轴上两动点，点以每秒3个单位长度的速度从点出发，点以每秒2个单位长度的速度从点出发，若点、同时出发，运动时间为秒，当运动多少秒时，点、两点间的距离为12个单位长度．【考点】一元一次方程的应用；数轴；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值【分析】（1）根据非负数的性质可得，，从而可求的长；（2）分两种情况进行讨论：①点是的中点；②点是的中点，从而可求解；（3）分四种情况进行讨论：①、同时向左运动；②、同时向右运动；③、相向运动；④向左运动，向右运动；【解答】解：（1），，，解得：，，，故答案为：5；（2）①点是的中点时，有：，，点的位置为：；②点是的中点时，有：，点的位置为；故答案为：0.5或8；（3）①当、同时向左运动时，有：，解得：；②当、同时向右运动时，有：，解得：；③当、相向运动时，有：，解得：；④当向左运动，向右运动时，有：，解得：，综上所述：当、同时向左运动7秒时，当、同时向右运动17秒时，当、相向运动3.4秒时，当向左运动，向右运动1.4秒时，、两点间的距离为12个单位长度．【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，数轴，绝对值，非负数的性质：偶次方，解答的关键是理解清楚题意，分类讨论各种情况．14．（2021秋•济宁月考）为节约用水，某市居民生活用水实行按级收费，居民用水价格（含污水处理费）按用水量分为三级，如表是某市目前实行的水费收费标准：级别用水量（单位：立方米）水价（含污水处理费）第一级不超过17立方米部分3.4元立方米第二级超过17立方米至30立方米部分5.32元立方米第三极超过30立方米部分7元立方米（1）若某用户用水量为16立方米，则该用户需交水费54.4元；若用水量为27立方米，则该用户需交水费元．（2）若用水量为立方米，则请用含的代数式表示需交的水费．（3）十月份，小王、小胡两家用水情况如下：①小王家用水量比小胡家少；②两家用水量达到的级别不同，小王家的用水量在第二级；③两家用水量总共60立方米；④水费共270.72元．请根据以上信息，算一算：小王、小胡两家用水量分别是多少立方米？【考点】有理数的混合运算；列代数式；代数式求值；一元一次方程的应用【分析】（1）由，，根据总价单价数量建立式子求出其解即可；（2）由条件可以得出需交的水费第一级17立方米的水费第二级13立方米的水费超过30立方米部分的水费，列出代数式化简即可；（3）设小江家的用水量是立方米，则小北家的用水量是立方米，分情况讨论：当和，由小江家的水费小北家的水费元建立方程求出其解，进一步求解．【解答】解：（1）（元；（元．故若某用户用水量为15立方米，则该用户需交水费51元；若用水量为27立方米，则该用户需交水费111元．故答案为：54.4；111；（2）元．故需交的水费是元；（3）设小王家的用水量是立方米，则小胡家的用水量是立方米，根据题意得：当时，，解得，所以．故小王家的用水量是20立方米，小胡家的用水量是40立方米．【点评】本题考查了列代数式，列一元一次方程解实际问题的运用，分类讨论思想的运用，解答时根据总费用各部分费用之和建立方程是关键．15．（2021秋•瑞安市月考）甲乙两家店，在双十一期间的优惠活动方案如下表：甲乙一次性购买不足200元打标价的9折无优惠一次性购买满200元不满500元打标价的8折共减30元一次性购买满500元不满1000元打标价的7折共减元（1）当天在甲乙两店分别购买标价300元的商品，问：共支付多少元？（2）已知两次在乙店购买标价均为400元的商品，发现比在该店一次性购买这两件商品要多支付30元．①求的值．②若小明当天在甲乙两店各购买一件商品，两件商品总标价合计700元，且在甲店购买的商品标价小于乙店，实际共支付605元，问小明在甲乙两店购买的商品标价分别是多少？【考点】一元一次方程的应用【分析】（1）根据甲乙两家店的优惠活动方案分别求得消费总额，然后求和即可；（2）①根据题意列出方程，并解答；②设小明在甲店购买的商品售价是元，在乙店购买的商品售价是元，需要对的取值范围进行分类讨论．【解答】解：（1）（元．答：共支付510元；（2）①根据题意，列得方程：．解得；②设小明在甲店购买的商品售价是元，在乙店购买的商品售价是元，当，时，，此时，即．当，时，，此时，即．答：小明在甲店购买的商品售价50元，乙店650元；或在甲店购买的商品售价325元，乙店375元．【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是小明当天在甲乙两店各购买一件商品可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．16．（2021秋•黔西南州月考）甲、乙两地相距，一辆小轿车和一辆货车分别沿同一条路线从甲地出发驶往乙地．已知货车的速度为，小轿车的速度为，货车先出发后小轿车再出发．（1）小轿车出发多长时间后追上货车？（2）在两车的行驶过程中，小轿车行驶多长时间后与货车相距？【考点】一元一次方程的应用【分析】（1）小轿车追上货车则两车的路程相等，设时间为未知数列方程求解即可；（2）小轿车出发后与货车相距，在整个运动过程中存在三种情况：小轿车在追上货车之前；小轿车超过货车且未到地之前；小轿车到达地后在原地等货车相距；根据三种情况利用两车路程之间的关系列方程即可求得．【解答】解：（1）设小轿车出发小时追上货车，由题意得：，解得．故小轿车出发2小时追上货车．（2）小轿车出发后小时与货车相距，存在以下三种情况：①小轿车出发后在追上货车之前，两车相距，则有：，解得；②小轿车超过甲车且未到地之前，两车相距，则有：，解得；③小轿车到达地后在原地等货车相距，则有：，解得．故小轿车出发小时、小时、小时与货车相距．【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，行程问题为很常见的一元一次方程应用题型，关键在于理解清楚题目中路程的等量关系，才能列出方程求解．17．（2021秋•平阳县期中）2021年十一国庆期间，鳌江银泰商场打出促销广告，如下表所示：优惠条件一次性购物不超过200元一次性购物超过200元，但不超过600元一次性购物超过600元优惠办法没有优惠全部按九折优惠其中600元扔按九折优惠，超过600元部分按八折优惠用代数式表示（所填结果需化简）（1）设一次性购买的物品原价为元，当原价超过200元，但不超过600元时，实际付款为元；当原价超过600元时，实际付款为元．（2）若甲购物时一次性付款580元，则所需物品的原价是多少元？（3）若乙分两次购物，两次所购物品的原价之和为1200元（第二次所购物品的原价高于第一次），两次实际付款共1068元，则乙两次购物时，所需物品的原价分别是多少元？【考点】一元一次方程的应用；列代数式【分析】（1）根据给出的优惠办法，用含的代数式表示出实际付款金额即可；（2）设甲所购物品的原价是元，先求出购买原价为580元商品时实际付款金额，比较后可得出，结合（1）的结论即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）由第二次所购物品的原价高于第一次，可得出第二次所购物品的原价超过600元且第一次所购物品的原价低于600元，设乙第一次所购物品的原价是元，则第二次所购物品的原价是元，分、两种情况列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）当时，实际付款元；当时，实际付款元．故答案为：；．（2）甲一次性付了580元元．甲购物享受了600元按9折优惠，超过部分8折优惠．设甲所购物物品原价为元，根据题意，得元，解得：．所需物品的原价为650元．（3）因为第二次购物物品原价高于第一次，故第二次所购物品的原价超过600元，第一次所购物品原价低于600元．设第二次所购物品原价为元，则第一次所购物品的原价为元，①若第一次所购物品原价不超过200元，则：，解得，此时，不符合题意，舍去．②若第一次所购物品原价超过200元但不超过600元，则，解得，，符合题意．乙两次购物原价分别为480元和720元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数以及代数式求值，解题的关键是：（1）根据优惠政策，列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）分、两种情况列出关于的一元一次方程．18．（2021秋•新洲区期中）已知数轴上、两点对应的数分别为、，且．（1）求点、两点对应的有理数是、；、两点之间的距离是．（2）若点到点的距离刚好是6，求点所表示的数应该是多少？（3）若点所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，经过多少秒时，到的距离刚好等于到的距离的2倍？（4）若点所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向右运动，若运动的时间为秒，的值不随时间的变化而改变，求的值．【考点】数轴；非负数的性质：绝对值；列代数式；一元一次方程的应用【分析】（1）两个非负数的和为0，则这两个数分别为0，据此可求，的值，从而可求、的距离；（2）令点所表示的数为，结合（1）中的值，可列式求解；（3）设经过秒时，到的距离刚好等于到的距离的2倍，据题意列方程求解即可；（4）根据题意列出相应的式子求解即可．【解答】解：（1），，，解得：，，对应的有理数为，对应的有理数为3，、两点的距离为：，故答案为：，3，4；（2）令点所表示的数为，依题意得：，解得：或，则点所表示的数应该是5或；（3）设经过秒时，到的距离刚好等于到的距离的2倍，依题意得：，整理得：，当点在的右侧时，则，有，解得：，当点在、之间时，则，有，解得：；当点在的左侧时，则，有，解得：（不符合题意舍去），综上所述：经过0.5秒或秒时，到的距离刚好等于到的距离的2倍；（4）由题意得：，，，的值不随时间的变化而改变，，解得：．【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意，明确两个非负数的和为0，则这两个数分别为0；对点的位置进行讨论．19．（2021秋•徐汇区校级月考）已知常数为实数，讨论关于的方程的实数根的个数情况．【考点】根的判别式【分析】分类讨论：当，即时，方程变为一元一次方程，所以有一个根；当，即时，先计算△，△，原方程有两个不相等的实数根；△，原方程有两个相等的实数根；△，原方程没有实数根；分别可求出对应的的值或取值范围，最后综合表述即可．【解答】解：当，即时，方程变为：，解得．当，即时，△，若，即时，原方程有两个不相等的实数根；若，即时，原方程有两个相等的实数根；若，即时，原方程没有实数根．综上所述得：当时，原方程没有实数根；当时，原方程有两个相等的实数根；当且时，原方程有两个不相等的实数根；当时，方程有一个实数根．【点评】本题考查了一元二次方程，，，为常数）根的判别式．当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．20．（2021秋•秦都区月考）作为世界苹果最佳优生区，洛川苹果备受市场青睐！苹果产业已成为县城经济的发展和农民增收致富奔小康的主导产业．小李想在洛川县某果园购买一些苹果，经了解，该果园苹果的定价为5元斤，如果一次性购买10斤以上，超过10斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果斤，付款金额为元，求出与之间的函数关系式；（2）若小李想在该果园购买130元的苹果送给朋友，请你算一算，小李一共能购买多少斤苹果？【考点】函数关系式【分析】（1）利用分类讨论的思想依据题意付款金额单价数量解答即可；（2）将代入函数解析式中计算对应的的值即可．【解答】解：（1）由题意得：当时，，当时，．（2）令，则，解得：．答：小李一共能购买30斤苹果．【点评】本题主要考查了函数的关系式，利用分类讨论的方法依据题意列出函数关系式是解题的关键．21．（2021秋•铁西区月考）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．（1）求点的坐标；（2）点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为．①求线段的长（用含的代数式表示）；②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出的值；（3）过点作轴于点，点在线段上且不与点重合，点在线段上，，连接，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．【考点】一次函数综合题【分析】（1）联立方程组：，解得：，即可求解；（2）①点的横坐标为，由轴，得点、三点横坐标都为，点坐标为，得；②，先表示出，，三点坐标，分两种情况第一种情形：点是的中点时，第二种情形：点是的中点时，根据中点坐标公式即可求解；（3）在上取点，使得，连接，先证，，，当最小，即、、三点共线时，最小，即可求解．【解答】解：（1）直线与直线交于点，联立方程组：，解得：，点的坐标为；（2）①点的横坐标为，轴，点、三点横坐标都为，当时，，，点坐标为，；②当时，，点坐标为，而点坐标为，第一种情形：点是的中点时，，解得：；第二种情形：点是的中点时，，解得：；综上，或；（3）存在最小值，在上取点，使得，连接，，，，，，，点坐标为，垂直平分，，，，，，，，，，，当最小，即、、三点共线时，最小，此时最小值．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式的运用，全等三角形的性质与判定，最值问题，解题关键是利用全等三角形的性质把的值转化为的值．22．（2021秋•洪洞县期中）如图，在平面直角坐标系中，直线和直线交于轴上的点，且分别交轴于点，．（1）求的面积；（2）判断的形状，并说明理由；（3）已知点为射线上一动点，过点作于点，连结，如图．是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】一次函数综合题【分析】（1）由题意可求出点、、的坐标，从而得出、的长度；（2）由坐标可知，，，利用勾股定理的逆定理即可判断；（3）分当点在线段上和点在线段的延长线上，两种情形，分别画出图形，证明，利用相似三角形对应边成比例即可解决问题．【解答】解：（1）由题意得，，，令，得，令，得，，，，；（2）是直角三角形，理由如下：由（1）知，，，，，，，，，，，是直角三角形；（3）存在，，，，，，，，，，为等腰三角形，，分