2025年中考数学思想方法复习系列 【猜想归纳】数式规律中的猜想归纳思想（原卷版）

数式规律中的猜想归纳思想知识方法精讲规律型：数字的变化类探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．2.猜想归纳思想归纳猜想类问题也是探索规律型问题，这类问题一般给出一组具有某种有规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。考查学生的归纳、概括、类比能力。有利于培养学生思维的深刻性和创造性。

解决归纳猜想类问题的基本思路是“观察→归纳→猜想→证明(验证)”，具体做法：

（1）认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系；

（2）根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论；

（3）结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性。归纳猜想类问题可以分成四大类：

（1）数式归纳猜想题

这类题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论。找出题目中规律，即不变的和变化的，变化的部分与序号的关系是解这类题的关键。

（2）图形归纳猜想题

此类题通常给出一组图形的排列(或操作得到一系列的图形)探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系。其解题关键是找出相邻两个图形之间的位置关系和数量关系。（3）结论归纳猜想题

结论归纳猜想题常考数值结果、数量关系及变化情况。发现或归纳出周期性或规律性变化，是解题的关键。（4）类比归纳猜想题

类比归纳猜想题通常是指由两类对象的具有某些相同或相似的性质，和其中一类对象的某些已知的性质，推断出另一类对象也具有这些性质的一种题型，有时也指两个对象在研究方法、学习过程上类比，考查类比归纳推理能力。一．选择题（共8小题）1．（2021秋•天桥区期末）已知，，则的值为A． B． C．1010 D．10112．（2021秋•迁安市期末）如图，某“学子餐厅”把密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了餐厅网络．则他输入的密码A．28140 B．110908 C．280930 D．2809083．（2021秋•鼓楼区校级期末）有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，，，9，7，继续操作下去，从数串2，9，7开始操作第2022以后所产生的那个新数串的所有数之和是A．20228 B．10128 C．5018 D．25094．（2021秋•长寿区期末）观察：世界上著名的莱布尼茨三角形，如图所示：请仔细观察排列规律，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是A． B． C． D．5．（2021秋•嵩县期末）计算的值为A．1 B．0 C．2021 D．6．（2021秋•费县期末）已知，，，都是不等于0的有理数，若，则等于1或；若，则等于2或或0；若，则所有可能等于的值的绝对值之和等于A．0 B．110 C．210 D．2207．（2021•云南模拟）组按规律排列的多项式：，，，，，其中第个式子是A． B． C． D．8．（2021•任城区二模）记，令，则为，，，，这列数的“凯森和”．已知，，的“凯森和”为2004，那么18，，，的“凯森和”为A．2018 B．2019 C．2020 D．2021二．填空题（共14小题）9．（2021秋•邵阳县期末）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，，则第2022次输出的结果为．10．（2021秋•青神县期末）根据下列各式的规律，在横线处填空：，，，，．11．（2021秋•鲁甸县期末）一列关于的单项式：，，，，，按上述规律，第个单项式为．12．（2021秋•石景山区期末）一组按规律排列的代数式：，，，，，则第5个式子是；第2022个式子是．13．（2021秋•新邵县期末）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的的值为2，结果输出的是1，返回进行第2次运算则输出的结果是6，第3次运算则输出的结果是3，，则第2021次输出的结果是．14．（2021秋•成都期末）小海在学习之余喜欢做智力闯关游戏，如图所示的游戏中，各正方形中的四个数之间都具有同一种规律，按此规律得出的值为．15．（2021秋•泗洪县期末）为了保密，许多情况下都要采用密码进行交流，这时就要有破译密码的“钥匙”．英语字母表中字母顺序是按以下顺序排列的：，如果规定又接在的后面，使26个字母排成一个圈．代数式“”代表把一个字母换成字母圈中从它开始逆时针移动2位的字母，例如：密码“”表示“”，翻译成汉语就是“我”，又如密码“”表示“”，翻译成汉语就是“钢笔”，此时代数式“”就是破译此密码的“钥匙”，如果密码“”的钥匙是“”，则此密码翻译成汉语就是．16．（2021秋•房山区期末）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，，0，且任意相邻4个台阶上数的和都相等．（1）第5个台阶上的数是；（2）若第个出现在第2022个台阶上，则的值为．17．（2021秋•海珠区期末）观察下面三行数：1，，9，，25，，；，，7，，23，，；，8，，32，，72，；那么取每行数的第10个数，则这三个数的和为．18．（2021秋•成华区期末）已知，，，，，（即当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，，按此规律，．19．（2021秋•汕尾期末）在2022年迎新联欢会上，数学老师和同学们做了一个游戏．她在，，三个盘子里分别放了一些小球，小球数依次为，，，记为，，．游戏规则如下：三个盘子中的小球数，则从小球最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个，记为一次操作；次操作后的小球数记为，，．若，5，，则，．20．（2021秋•庆阳期末）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，按照以上规律，写出第个等式：．（用含的代数式表示）21．（2021秋•七星关区期末）观察下列等式：①；②；③．计算：的结果为．22．（2021秋•唐县期末）我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律：杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．例如：，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；，它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1，系数分别为1，2，1，系数和为4；，它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；．则的展开式中系数和为．三．解答题（共8小题）23．（2021秋•思明区校级期末）观察下面等式：；；；；根据你观察到的规律，解决下列问题：（1）写出第个等式，并证明；（2）计算：．24．（2021秋•中山市期末）仔细观察下列三组数：第一组：1，，9，，25，第二组：0，，8，，24，第三组：0，10，，34，，根据它们的规律，解答下列问题：（1）取每组数的第10个数，计算它们的和；（2）取每组数的第个数，它们的和能否是，说明理由．25．（2021秋•任城区期末）观察下列等式，探究其中的规律并回答问题：，，，．（1）第4个等式中正整数的值是；（2）第5个等式是：；（3）第个等式是：．（其中是正整数）26．（2021秋•苏州期末）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：请解答下列问题：（1）按以上规律写出：第个等式为正整数）；（2）求的值；（3）探究计算：．27．（2021•安徽模拟）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第4个等式：；（2）写出你猜想的第个等式：（用含的式子表示），并证明；（3）应用：计算的值．28．（2021•德州模拟）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依次类推，排在第位的数称为第项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，，，．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示．如：数列1，3，5，7，为等差数列，其中，，公差为．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，的公差为，第5项是．（2）如果一个数列，，，，，是等差数列，且公差为，那么根据定义可得到：，，，，，．所以，，，由此，请你填空完成等差数列的通项公式：．（3）是不是等差数列，，的项？如果是，是第几项？（4）如果一个数列，，，，，是等差数列，且公差为，前项的和记为，请用含，，的代数式表示，．29．（2021秋•石景山区期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律．特例，特例，特例，特例，特例（填写运算结果）．（2）观察、归纳，得出猜想．如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：．（3）证明你的猜想．（4）应用运算规律．①化简：；②若，均为正整数），则的值为．30．（2020•海