2021年中考数学模拟试题分类汇编之二次函数综合压轴（解析版）

2021年中考数学模拟试题分类汇编之二次函数综合压轴

一、解答题

1.（2021•江苏无锡市•九年级一模）如图，已知抛物线），=*+4依-3与x轴交于4、

B两点（A在8的左侧），与丁轴交于点C,过点3的直线/与抛物线另一个交点为O,

与y轴交于点E,且DE=2EB,点4的坐标（一6,0）.

（2）若尸是抛物线上的一点，尸的横坐标为根过点尸作轴，垂足

为"，直线PH与/交于点

①若CM将VC"尸的面积分为h2两部分，求点P的坐标；

②当机=—2时，直线P”上是否存在一点。，使NQDB=45。?如果存在，求出点。

的坐标；如果不存在，请说明理由

【答案】⑴y=-x2+x-3；（2）0（-3,--）；②存在，（―2,-1）或（—2,3）

443

【分析】

（1）把点A的坐标（F0）代入抛物线y=a?+4or-3,得36«—24/一3=0,求出

a=-f即可求出抛物线的函数表达式；

4

ONDF

（2）①如图1,过点。作于点N,由DN//OE,W—=—=2,则

BOBE

ON=2OB=4,得点。的坐标为（-4,-3）,由。（-4,-3）和点3（2,。）可得03的函数

关系式为y=1了一1,点P的竺标为（机,1川2+加一3）,点M的坐标为（也]〃?-1）,

242

则尸”=一（!加2+〃[-3）,点若CM将ACT/Q的面积分为1:2两部分，

42

得M佬=(或黑=<，点尸的坐标为(m二加2+团-3)，可得方程

HM2PM24

-(—m2+/«-3)=-3(—ni-1)-(im2+/n-3)=-—(―/n-1),求出tn并检验即可求解：

42422

②第一种情况如图2,将点。绕点B逆时针旋转45。得U，DD与直线PH交于点。，

构造K型全等△BDRW9BS，得RD=BS=3,/?H=DS=6,得点。的坐标(T6),

由。。两点坐标得直线的函数关系式，由点。的横坐标为-2得点。的坐标；第

二种情况如图3,将点。绕点3顺时针旋转45。得£T,DD与直线PH交于点、Q，构

造K型全等△BDS三Z)BR,得RD=BS=3,RB=DS=6,得点。的坐标(5,-6),

由DD两点坐标得直线DD的函数关系式，由点。的横坐标为-2得点Q的坐标.

【详解】

解：(1)把点A的坐标(-6。代入抛物线y=o?+4o¥—3,

得痴一24.-3=0,求出。=一，

4

••・抛物线的函数表达式为y=-x2+x-3,

4

(2)①当产0时，一%2+x—3=0>解得：％——6,x>=2,

4

如图1,过点。作。N_LA3于点N,

•：DNIIOE,

.ONDE_

••---=------=2,

BOBE

:.ON=2OB=4,

•・•点。的坐标为（-4,一3）,

设直线DB的函数关系式为y=kx+b,

试卷第2页，总177页

2攵+8=0

把。（-4,-3）和点仇2,0）代入得《

-4k+b=-3

k=—,b-—\>

2

DB的函数关系式为y=—1»

•••点P的坐标为(丸，〃/+加一3),

4

「•点M的坐标为(肛;加一1),

PH=-(—nr+in—3)MH=-(—/n-1),

4t2

\-CM将ACHP的面积分为1:2两部分，

.PM1.HM1

•-----=—或----=一,

HM2PM2

3

:.PH=3HM或PH=-HM,

2

解得利=0或2（都不合题意舍去），m=一3或2（2不合题意舍去）,

•・•点2的坐标为（一3,-?）；

4

②分两种情况，

第•种情形，如图2,将点。绕点8顺时针旋转45。得），DD与直线PH交于点Q，

..Riy=BS=3,RB=DS=6,

二点。的坐标(T，6),

设DD的函数关系式为y=履+匕，

把0(-4,-3)和。(-1,6)两点坐标代入

—k+b=6

得4,

[-4k+b=-3

求得左=3,b=9,

・・・直线DD的函数关系式为y=3%+9,

•・•点。的横坐标为-2,

•••点。的坐标为(-2,3)；

第一种情形，如图3,将点。绕点△逆时针旋转45。得£T,即与直线尸H交于点Q,

•••点。的坐标(5,-6),

设。。的函数关系式为丁=履+6,

把£>(-4,-3)和。(5,-6)两点坐标代入

5k+b=-6

得《，

\-4k^b=-3

113

求得々=一上，b=-—,

试卷第4页，总177页

i13

•・・直线DD的函数关系式为y=g*,

•・•点。的横坐标为一2，

.••点。的坐标为（-Z-蓝）.

综上所述：点。的坐标为（-2,-日）或（-2,3）.

【点睛】

本题考查了二次函数，一次函数的待定系数法，K型全等等知识，解决本题的关键是利

用45。构造K型全等.

2.（2021•山东济南市•九年级二模）如图，已知二次函数），=标+历（#0）的图象与

x轴交于4（1,0）、B（4,0）i与y轴交于点C,直线y=--X+2经过3,。两

点，

（1）求二次函数的解析式；

（2）设点。是抛物线上一点，当。在直线5c的下方时，ABC。的面积为4,求点。

的坐标；

（3）过（2）中的点。作QE〃）轴，交x轴于点E.点M是抛物线x轴上方的一个动

点，是否存在以E、M、N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与ABOC

相似？如果存在，求出满足条件的M的坐标；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）丁=3/一_|工+2；（2）。（2,-1）；（3）存在，点“坐标为3+6,

或(2-立堂卜(^15+屈)或［?,3+如、

【分析】

(1)求出点C坐标，将4、B、。坐标代入抛物线，即可求解.

(2)设出直线8C平移后的函数，令直线与抛物线函数相等，/等于零，求出。坐标

即可.

(3)利用△A/ENS-BC,得到两种情况NME2N0CB,NMEN=NOBC；利用

由2EMN2,tan?EMN得到M的横坐标的方程，解方程即可.

2

【详解】

(1)由题意知：直线y=-gx+2经过B,。两点

二将x=0代入直线，解得y=2

/.C(0,2)

由题意知：4(1,0),8(4,0),C(0,2)代入抛物线，

\a+b+c=0

可得］16。+4Z?+c=0

fc=2

解得4,b=--,c=2

22

・•・抛物线解析式为)，=gf-|x+2.

(2)由题意知：设直线BC平移后的函数为y=-gx+2+m

•・,直线8c平移后与抛物线有唯一公共点Q,

125c1

..—x-x+2=—x+2+/w

222

化简得2x-m=0

2

D=〃・4ac=4・4仓*(-m)=0

即相=一2

・••直线平移后的函数为y=--x

2

试卷第6页，总177页

1

-x+2=-—x

22

解得x-2,y=-l

i5、

（3）设点M的坐标为--nt+2,

IZL）

•••以E,M,N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与ABOC相似,

:.AMEN=/OBC,

过点M作MH_Lx轴于”，

..NEHM=90。=/BOC，

.△EHMsABOC，

EHOB

--w+2,EH=|m-2|

・・・。8=4,OC=2.

.tan^EMN=--—=2

,*1)5c

—nV——m+2

22

:.m=3+£或m=2—&»

当/w=3+>/3时，—/n2——/??+2=——

222

:.M3+瓜

当m=2—a时,—m2-—m+2=^^-»

222

2-V2,—

2

②当△NEMs^OBC时，

|/n-2|

tanNEMN=--!—―!——

同①的方法得,125c2»

-nv——m+2

22

?.m=或/«=

2

2=3+V17,

或上夜当或隹声

即满足条件的点M坐标为,5+后或

21।2

fl-V17

2

试卷第8页，总177页

【点睛】

本题主要考查了一次函数平移与二次函数的综合问题，以及一次函数平移与二次函数的

交点问题，正确掌握一次函数平移与二次函数的综合问题，以及一次函数平移与二次函

数的交点问题的解法是解题的关键.

3.(2021•广东广州市•九年级一模)如图①，抛物线-+c经讨点A(4,3)

对称轴是直线x=2.顶点为8.抛物线与轴交于点C,连接AC,过点A作AD_Lx

轴于点。，点E是线段AC上的动点(点E不与A、。两点重合).

(1)求抛物线的函数解析式和顶点区的坐标；

(2)若直线跳:将四边形AC8分成面积比为1：3的两个四边形，求点E的坐标；

(3)如图②，连接OE,作矩形DEFG,在点E的运动过程中，是否存在点G落在

轴上的同时点尸也恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说

明理由.

IQ|94

【答案】(1)y=——x2+x+3(2,4)：(2)(―»3)或(七，3)：(3)存在，—

4t553

【分析】

-1X42+4^+C=3

4\b=\

(1)由题意得出〈b.，解得｛C，得出抛物线的函数表达式为：

--------=2c=3

2x(-4)

y=+X+3=~U-2)2+4,即可得出顶点B的坐标为(2,4)：

44

(2)求出。(0,3),设点£的坐标为(根,3),求出直线砧的函数表达式为：

y=—tx+丝与，则点M的坐标为(4帆-6,0),由题意得出oc=3,AC=4,

m-2m-2

OM=4/z?-6，CE=m,则/形ACW=12,s梯形区加=殁色，分两种情况求出山的

值即可;

⑶过点尸作FN4C于M则版〃CG,设点F的坐标为：3,-*+43)’

则N/=3—(一1/+4+3)='/一〃，NC=-a,证=/XOGa4sA),得出

44

NENF

NE=OD=AC=4,贝ij4f=NC=-a,证AENFs^DAE,得出一=—,求出

ADAE

44

a=——或0,当。=0时，点E与点A重合，舍去，得出AE=NC=-4=Q,即可得

33

出结论.

【详解】

解：(1)♦・•抛物线y=——f+法+。经过点A(4,3),对称轴是直线x=2,

4

--x42+4b+c=3

4b=\

bc，解得：，

----------r=2c=3

2x(--)

4

・•・抛物线的函数表达式为：)-%+，+3,

二•顶点5的坐标为(2,4)；

(2)vyx2+x+3,

4

."=0时，y=3,

则C点的坐标为(0,3),

•・・A(4,3),

ACHOD,

,:AD_Lx,

二四边形ACOD是矩形,

设点E的坐标为(肛3),直线BE的函数表达式为：>=依+",直线班:交x轴于点M,

如图1所示:

试卷第10页，总177页

图1

2k+n=4

mk+〃=3

m-2

直线BE的函数表达式为：丁二二工+如《，

m-2rn-2

—1-6

令丁=----x+------=0,则上=4/〃-6,

m-2m-2

点M的坐标为(4/«-6,0),

•・•直线BE将四边形ACOD分成面积比为1:3的两部分，

•・•点M在线段。。上，点MK与点。重合，

・・・C(0,3),A(4,3),M(4〃L6,0),E(m,3),

OC=3,AC=4,OM=4^2-6,CE=m,

S矩％con=℃,AC=3x4=12,

S梯形改珈=:(OM+EC)OC=:(4m—6+"，)x3=^^，

Z/z

分两种情况：

q.15川-18

①梯…即2_1,

3矩形/tcoo4-4

8

解得：加二工,

•••点E的坐标为：g,3）；

C215机一18

②27,即3

-

3矩形ACOD4IO4

解得：m=—

12

二•点E的坐标为：（1，3）；

综上所述，点E的坐标为：g,3）或（5，3）；

（3）存在点G落在>轴上的同时点尸恰好落在抛物线上；理由如下:

由题意得：满足条件的矩形OEPG在直线AC的下方，

过点尸作EN_LAC于N,则N///CG,如图2所示：

设点F的坐标为：（。，一：/+4+3）,

4

则可r=3_（__-a2+a+3）=—a2-a,NC=—a»

44

•・•四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形，

:.ZDAE="EF=NN=期,EF=DG,EF//DG,AC//OD,

^NEF=NODG,^EMC=ZDGO,

'.'NF//CG,

:.ZEMC=ZEFN,

:.ZEFN=ZDGO,

在MFN和ADGO中，

NNEF=NODG

EF=DG,

/EFN=ZDGO

AEFN=ADGO(ASA),

..NE=OD=AC=4,

..AC-CE=NE-CE,即AE=NC=—a,

ZDAE=ZDEF=NN=90°,

:.ZNEF+NEFN=骄,ZNEF+ZDEA=90°,

:./EFN=/DEA,

NENF^^DAE,

，些="，即4

ADAE旷二^

3

整理得：-«2+«=o,

4

4

解得：Q=-"J或。，

试卷第12页，总177页

当。=0时，点E与点A重合，

/.a=0舍去，

八4

AE=NC=—ci——,

3

4

・•・当点G落在）'轴上的同时点尸恰好落在抛物线上，此时AE的长为不.

3

【点睛】

本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、二次函数的性质、一次函数

解析式的求法、坐标与图形性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似

三角形的判定与性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，属于中考压轴题型.

4.（2021•广东深圳市•九年级二模）如图1,抛物线丁=/+陵+。与工轴交于点

人（一3,0）、B,与），轴交于点C（0,-3>

（2）在抛物线上求点P,使Sg=2S.BC。，求点P的坐标;

（3）如图2,直线），=戈+3交抛物线于第一象限的点M,若N是抛物线y=x2+bx+c

上一点，旦/MAN=NOCB,求点N的坐标.

【答案】⑴y=x2+2x-3；(2)(-2,-3)或(3,12)；(3)'卜,/或(3,12)

【分析】

(1)直接将A、。两点坐标带入到解析式中，解方程组，可以求得抛物线解析式；

(2)过P作BC的平行线与抛物线相交，此平行线上任意一点与5和C两点所构成的

三角形面积均等于3,由AMBC面积为3,可以求得M点坐标，再由直线8c解析式，

可以求得直线PM的解析式，联立直线PM与抛物线解析式，即可解决；

(3)利用△BCO,可以求得tanZBCO,从而得到tanNMAN,接联立抛物线与直线厂:+3,

可以求得交点A、M坐标，则N的位置可以分为在4M上方和AM下方，利用M为直

角顶点，AM为直角边，构造一线三等角相似，从而求得直线AN的解析式，联立AN

与抛物线解析式，从而求得交点N的坐标.

【详解】

解：(1)将C(0,-3)代入到抛物线解析式中得，c=-3,

将8(-3,0)代入到抛物线解析式中得，9-38-3=0,

：.b=2t

・•・抛物线解析式为：产？+2x-3；

(2)令尸0,则］2+2X-3=0,

解得刘=-3,X2=i>

：.B(1,0),

・1八3

:,SABCO=—OB・OC=-,

22

,**SABC尸2sGBCO,

••SABCP=3»

如图1,过尸作交4轴于M,连接MC,则S.MBLSA8b=3,

试卷第14页，总177页

.」MB・0C=3,

2

:・MB=2,

：.M(-1,0),

设直线BC为产kix-3,

代入点8(1,0)得，h=3,

J直线BC为：y=3x-3f

则直线PM设为：y=3x+b,

代入点M(-1,0)得，b=3,

・•・直线PM为：y=3x+3,

y=3x4-3

联立《

y=x2+2x-3

=3X2二-2

解得

7.=12.%=一3

:・P(3,12)或(-2,一3)；

(3)•・•直线尸x+3交抛物线于第一象限的点M,

y=x+3

・•・联立，

[y=x2+2x-3

X=-3X=2

解得2

y=0、%=5

・M(-3,0),M(2,5),

在RthOBC中，tanNOCB=---=—,

OC3

1

：.um/MAN=lan/OCB=-，

3

①如图2,当N在AM下方时，过A作)，轴平行线，过M作x轴平行线，两线交于点G

过M作MQrAM交4N于Q,过。作y轴平行线交GM于H,

：.ZAGM=ZMHQ=90Q,

/.NAMG+NGAM=90°,

又AM_LMQ,

/.NAMQ=90°,

:.NAMG+N”M0=9O。,

：.ZGAM=ZHMQf

又ZAGM=ZMHQ=9Q0,

:・/\AGMs丛MHQ,

.MHHQ_MQ

tan?MAN

•石一~GM~~AM3

VA(-3,0),M(2,5),

・・・AG=5,GM=5,

5

：.MH=HQ=-,

“J,

33

设直线AQ为：y=k2(A+3),

代入点Q,得22=-t

13

:.直线AQ为y=万x+］，

13

y=­x+—

联立《22

y=x2+2x-3

化简得，2?+3x-9=0,

试卷第16页，总177页

3

解得尸一或一3(舍去)，

2

39

当户一时，y=—,

24

39

**»N(一,一),

24

②当％在AM上方时，

同理可得，N(3,12),

39

•*»N(一,一)或(3,12).

24

【点睛】

此题考查的是二次函数综合题，考查了面积问题和角的存在性问题，面积问题，通过构

平行线转化，角的存在性问题，利用已知点构造一线三等角相似来求解，数形结合，一

定要注意分类讨论.

5.(2021•广东广州市•九年级一模)如图，抛物线)，=/+法过点4(1,0)、点

B(-5,0),点尸是抛物线上x轴下方部分的一个动点，连接过点A作AQ_LPA

交抛物线于点。，作直线PQ.

(1)求抛物线解析式；

(2)若点尸的坐标为(-3,-8),求点。坐标；

(3)判断在点尸运动过程中，直线尸。是否过定点？若存在定点，则求出定点坐标;

若不存在，请说明理由.

1113

【答案】(1)y=x+4x—5；(2)Q(—■—)；(3)过定点，定点坐标为(—5,1).

【分析】

（1）根据点A8的坐标，利用待定系数法即可得:

（2）如图（见解析），设点。的坐标为。（m，〃/+45）,先根据相似三角形的判定

可得APAE〜再根据相似三角形的性质可得空=空，从而可得加的值，

AEPE

由此可得出点。的坐标；

（3）如图（见解析），设直线PQ解析式为〉=。氏+4，P（xp,yp）,Q（xQ,yQ）f先根

据二次函数与一次函数的联立、一元二次方程根与系数的关系可得小+々=〃-4,

xPxQ=-5-qf再根据相似三角形的判定与性质可得竺=竺，由此可得〃+4=0

AEPE

或4-5〃-1=0,然后据此分两种情况讨论即可得出答案.

【详解】

解：（1）・・•抛物线y=/+以+c过点A（I,O）、点趴一5,0）,

*\+b+c=0

・•125-58+。=0'

8=4

解得〈「，

c=-5

则抛物线的解析式为y=x2+4x-5：

（2）如图，设。（外加？+4m一5）,过点P作尸E_LA8于点E,过点。作Q尸，48于

点F,

/.ZAEP=ZAFQ=90°,QF=m2+4m-5,AF=l—tn»

•.•点P的坐标为(-3,-8),

••・PE=8,AF=l-(-3)=4,

试卷第18页，总177页

VAQLPAt

：.ZPAQ=90°,

...NQ4E+NQA斤=90。，

•・•ZAQF+NQAF=180°-ZAFQ=90°,

・•・NPAE=ZAQF,

ZPAE=ZAQF

在/VVIE和"Q/中，・

ZAEP=ZAFQ=90°

/.^PAE,

.QFAFm2+4in-5\-m

••---=----,即------------=-----,

AEPE48

解得〃2=-1■或帆=1（此时，点。与点A重合，不符题意，舍去），

2

力11叶2/11?,f1013

当机=--时，tn+4w-5=----+4x---------5=c一,

212；12；4

・・・Q（-我）；

乙r*

（3）点尸运动过程中，直线尸。过定点（-5,1）,求解过程如下：

设直线PQ解析式为〉=*+9，产（%,力），。（勺，＞0）,

贝|J%=Pa=吸+4，

VP（xpiyp）,。（%,%）是直线尸。与抛物线丁=/+4］一5的交点，

:.XP，XQ是方程f+4x-5=px+q,即炉+（4-〃）工一5-4=0的两个实数根,

：.xp+xQ=p-4txPxQ=-5-q,

如图，过点P作尸石_LAB于点E，过点。作。尸，AB于点E

则AE=l_x°,PE=-yP,AF=l-xQ,QF=yQ,

同(2)可证：LPAE^LAQF.

・QFAFnn%」一总

・・--=----，即------=------，

AEPE\-xp-yp

A(1-Xp)(l-xQ)=-yPyQ=~(pxp+q}(pxQ+q),

22

整理得：1+(W-l)(xP+xG)+(p+l)XpXQ+q=0,

・・・1+(〃4-1)(〃-4)+(〃2+1)1-5-4)+d=0,

，(P+4)(夕一5〃-1)=0,

解得p+q=0或=0,

①当〃+4=0,即〃=一夕时，

直线PQ解析式为〉=〃比一〃，

当x=l时，y=p-p=0t

此时直线尸。过定点(1,0),即经过点A,与题意不符，舍去；

②当夕一5p—1=0,即q=5p+l时，

直线P。解析式为丁=〃氏+5〃+1,

当”二—5时，y=-5p+5p+\=\,

此时直线PQ过定点(一5,1),

综上，在点尸运动过程中，直线尸。过定点(-5,1).

【点睛】

本题考查了二次函数与一次函数的综合、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是

试卷第20页，总177页

题(3),利用相似三角形的判定与性质得出p+4=0或夕—5〃-1=0是解题关键.

6.(2021•吉林长春市•九年级一模)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数

y=-x2-2x+a2-}(。工0,且。为常数)的图象记为G.

a

(1)当点。在图象G上时，求。的值.

(2)当图象G的对称轴与直线x=-2之间的部分的函数值y随x增大而减小时(直线

工=一2与对称轴不重合)，求。的取值范围.

(3)当图象G的部分的图象的最低点到x轴的距离是.r<2“部分图象的最低点

到x轴的距离的2倍时，求。的值.

(4)以点A(0,-l)为对称中心，以|44为边长作正方形，使该正方形的边与坐标轴平

行或垂直.若图象G与该正方形的某条边只有两个交点，且两个交点之间的距离为同，

直接写出。的值.

【答案】(1)±1;(2)当—2或。>0;(3)。=5+\/26或〃=-1+5/2；(4)U=—

4

-U

或。二一

4

【分析】

(1)把原点0(0,0)代入)=,/-2%+42-1即可求解；

a

(2)分4〉0和a<0两种情况讨论，根据抛物线的对称轴以及二次函数的性质即可求

解；

(3)根据图象G的4之4々部分的图象有最低点，知a〉0.分别求得图象G的

部分和xv2a部分的最低点的坐标，再根据题意列方程求解即可；

(4)如解图，G与正方形某边有两个交点，只可能与BE或CD相交出两个交点，分a>0

和avO两种情况讨论，根据一元二次方程的根与系数的关系求解.

【详解】

解：(1)•・•点。在图象G上，

——2x+a?-1=0»即a?—1=0.

a

解得％=1,a2=-1.

的值为±1.

（2）抛物线了=一/一2X+〃2-I的对称轴是直线x=

a

当。＞0时，抛物线开口向上，

.•.当。＞0时，直线工一。与直线x=-2之间的部分的函数值），随A增人而减小.

当。＜0时，抛物线开口向下，

・•・当。V-2时，直线4=。与直线x=一2之间的部分的函数值y随%增大而减小.

，当。＜一2或。＞0时，直线与直线x=-2之间的部分的函数值y随x增大而减

小.

（3）•・•图象G的xN4a部分的图象有最低点，

，。＞0.

图象G的xN4a部分的图象有最低点的坐标为（4〃，/+8。一1）.

而xv2a部分图象的最低点的坐标为（〃，a2-a-Y）.

®a2+8。-1=2（/一。一1）

解得4=5+V26,a2=5—V26（舍去）.

②/+8。-1=-2（/

q=—1+五，4=-1-立（舍去）.

③当图象G的％之4。部分的图象最低点与xv勿部分图象的最低点均在x轴下方，不

符合题意.

综上所述，。的值为a=5+或4=一1+J5.

（4）取正方形四个顶点分别为B8E,

B、E的纵坐标为-1+2同，

C、O的纵坐标为一1一2同，

G与正方形某边有两个交点，只可能与3E或8相交出两个交点,

试卷第22页，总177页

当。>0时，B、七纵坐标为一1+2〃可得:

a

整理得：x2-2ax-^a3-2a2=0»

i2

设方程的两根为王、x2,则七-±=2〃，xix2=a-2a1-x2=a,

2

-/J=/，贝iJ&+x2）-=/，

解得：a=~；

4

当与CO边相交时，C、。边纵坐标为一1-2跖

—1—2a=-—2x+。2—1,且％]—%2=。，

a

无解；

当"0时，6、£纵坐标为一1一2«,

—1~2cl=-x2-2x+a""一[且x-%=〃，

a

解得：a=一~-.

4

当与C。边相交时，C、。纵坐标为一l+2a,

1>,

-1+2a=—x--2x+a,且看一%=。，

a

无解.

综上：a=—或。=—.

44

【点睛】

本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象与性质、待定系数法求解析式、解一

元二次方程、分类讨论等知识；熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键.

7.（2021•天津九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线），=-2/+/+3的

4

对称轴是直线X=2,与x轴相交于A,8两点（点A在点8的左侧），与）'轴交于点C.

(I)求抛物线的解析式及顶点坐标；

(IDM为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN_Lx轴于点N,交5c于

点。，连接CM,当线段CM=C。时，求点M的坐标；

(IH)以原点。为圆心，A。长为半径作。。，点P为。。上的一点，连接8尸，CP,

求2PC+3PB的最小值.

【答案】(1)、=-：(x-2)2+4,抛物线的顶点坐标为(2,4)；(H)点M的坐标为(2,4)；

(III)2PC+3PB的最小值为2病.

【分析】

(1)根据对称轴公式可求得抛物线的解析式，再写出顶点坐标即可

(2)先写出A、B、C的坐标再写出直线BC的解析式，利用两点之间的距离公式列方

程即可求解；

⑶先证明△尸OGS.COP,再由当6,p,G三点共线时，尸8十?G的值最小，最

小值即为BG的值，利用勾股定理即可

【详解】

b-1

(I)Vx-.......=2,a=—,

2a4

:・b=l.

・•・抛物线的解析式为丁=-：/+x+3.

4

:.y=--x2+x+3=-—(X-2)2+4,

44

・•・抛物线的顶点坐标为(2,4)；

(II)连接CM,过点。作CE_LMN于点E，

Vy=~x2+x+3,令x=0,贝i」y=3,

4

・•・C(0,3).

1)

令y=0,即——x~+x+3=0,

4

试卷第24页，总177页

解得Xj=6,x2=-2.

：.A(-2,0),3(6,0).

设直线BC的解析式为y=依+b,

将8(6,0),C(0,3)代入)，=履+6,

⑹:+6=0k=--

得修，解得2,

b=3

:.直线BC的解析式为y=-;x+3.

•・•点M在抛物线上，点。在5C上，MNJLx轴，

工设点M的坐标为(机,一；加2+根+3),点O坐标为w,-^m+3

・qm1，o(1八123

4I2J42

'：CM=CD,OC=EN=3,

：.MD=2ED=2x3—(一；加+3)]=相,

I3

又•:MD=——m2+—m,

42

13八

/.—m2+—m=m即m(m-T)=0,

42f

解得帆=2或帆=0(不合题意，舍去)，

:.机=2,

当m=2时，y=——x22+2+3=4,

4

，点M的坐标为(2,4).

(III)如图，连接OP,在OC上截取OG，

使得变二丝二2

OPOC3

连接PG,BG,此时OG=g,G(O,g

・.OGOP

/P0G=4C0P,

'~OP~~OC

A^POG^LCOP.

2PC+3PB=3-PC+PB=3(PB+PG).

3

，当5,P,G三点共线时，PB+PG的值最小，最小值即为BG的值.

。'2

•••BG=NOG?+OB?=J+6=^Y-^

・•・2PC+3尸8的最小值为2屈.

【点睛】

本题考查抛物线解析式及顶点坐标、有抛物线的对称轴，相似三角形、最值问题、勾股

定理，一元二次方程，熟练进行等角的转换是关键

8.（2021•山东淄博市•九年级二模）如图（1）,抛物线》=-炉+加:+c,与x轴交于点

4（5,0）、点C（&,0）,且王，占满足%+%2=2,%・42=-3,与）'轴交于点

B.£（机0）是x轴上一动点，过点七.作石P_Lx轴于点七，交抛物线于点尸.

（1）求抛物线解析式.

（2）如图（2）,直线样交直线A3于点£），连接尸8.

①点E在线段OA上运动，若△尸3。是等腰三角形时，求点E的坐标；

②点£在大轴的正半轴上运动，若NPBD+NCBO=45。，请求出川的值.

试卷第26页，总177页

（3）如图（3）,点Q是直线所上的一动点，连接CQ,将线段C。绕点Q逆时针旋

转120。，得到线段。尸，当机=1时，请直接写出P尸的最小值.

7

【答案】（1）丁=一12+21+3；（2）①（2,0）,（1,0）,（3-应,0）；②相=§或帆=5；

（3）2+8

【分析】

（1）一元二次方程根与系数的关系，求得4c的值，进而即可得到答案；

（2）①先求出NPO8=45。，再分三种情况：a）当PB=PD时，b）当时，c）当

时,分别求出结果，即可；②分两种情况：。）当点P在工轴上方时，b）当点

。在上轴下方时，分别求出机的值，即可；

（3）在尸E上取一点M,使得加（1,点~）,连接CM,AM,可证明△CMQs^CAE,

3

从而得点。在直线EP上运动时，点尸在过点A的特定直线上运动，当且仅当PFJ_GF

时，P尸取得最小值，进而即可求解.

【详解】

解：（1）.・•抛物线yn-d+bx+c与x轴交于点/4（5,0）、点。（々,0）,且X],W满

足X+%=2,x,=-3,

•,bc.

•・%+W=--=2,-x2=—=-3,

/.h=2,c=3,

••・抛物线表达式为：y=-x2+2x+J；

（2）①•・・OA=O3=3,

：.ZOAB=45°t

又・・・PE_Lx轴，

・•・ZADE=ZOAB=45°,

・•・NPDB=45。,

a）当P3:PD时，NPBD=NPDB=45。,则NBPD=90°,

・・.8P〃工轴，

・・・丁夕=）%=3，即：-X2+2X+3=3＞解得：m2或0（舍去），

・•.*2,0),

h)当P/V8。时，贝|JNP8Q=9O°,

，直线8P的解析式为：y=x+3,

，联立《y=x+3

,解得:A=1或0(舍去),

[y=-X2+2X+3

:.七2。，。)，

c)当PD=BO时，过点8作BFJ_P。，则△8FD是等腰直角三角形,

：.PD=BD=y/2BF,

：-41x=-x2+2x+3-(-x+3),解得：户3-0或0(舍去)，

•••£(3-60)，

综上所述：E的坐标为(2,0),(1,0),(3-72,0)；

@VC(-1,0),8(0,3)

・•・直线C8的解析式为：y=3x+3,

a)当点P在x轴上方时，如图2,

VZOBA=45°fNP8D+NC8g5。，

：.BP±CBt

，直线3P的解析式为：y=--x+3t

3

i7

—m+3=-nv+2m+3,解得：一或加=0(舍去);

33

b)当点P在x轴下方时，设5P交k轴于点N,

•・・NO8A=45°,即：ZPBD+ZOBN=45°

又•・,/PBD+/CBO=45。,

：.NOBN=NCBO,

":NBOC二NBON=90。,OB=OB,

；•△BOCABON，

：.ON=OC=\,即：N(l,0),

试卷第28页，总177页

・•・由待定系数法可得，直线3尸的解析式为：）=3x+3,

联立一根2+2根+3=-3m+3，解得：机=5或阳=0（舍去）,

7

综上所述：，〃二一或5：

3

(3)当机=1时，E(l,0),P(L4),

VA(3,0),C(・l,0),

：.CE-AE-2,

在PE上取一点M,使得M（l,冬叵），连接CM,AM,

3

:.CM=2ME,

・・・NMCA二NMAG30。，CA二石CM，

...NCMA=120。，ZCA/E=ZA/WE=30°,

;线段CQ