2025版新教材高考数学一轮复习课时质量评价60事件的独立性条件概率与全概率公式含解析新人教A版VIP

PAGE课时质量评价(六十)(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1．某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪耀．已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为eq\f(1,2)，两次闭合后都出现红灯的概率为eq\f(1,5)，则在第一次闭合后出现红灯的条件下其次次闭合后出现红灯的概率为()A．eq\f(1,10)B．eq\f(1,5)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,2)C解析：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事务A，“其次次闭合后出现红灯”为事务B．由题意可得P(A)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,5)，则在第一次闭合后出现红灯的条件下其次次闭合出现红灯的概率是P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(1,5),\f(1,2))＝eq\f(2,5).2．(2024·石家庄二中高三教学质量检测)据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19.现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能接着连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为()A．eq\f(6,7)B．eq\f(3,35)C．eq\f(11,35)D．0.19A解析：设“连续熬夜48小时未诱发心脏病”记为事务A，“接着连续熬夜24小时未诱发心脏病”记为事务B．由题意得，P(A)＝1－0.055＝0.945，P(AB)＝1－0.19＝0.81，所以他还能接着连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(0.81,0.945)＝eq\f(6,7).故选A．3．(2024·宜宾市第四中学高三一模)两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为eq\f(5,6)，eq\f(3,4)，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,12)D．eq\f(1,6)B解析：记“两个零件中恰有一个一等品”的事务为A，“仅第一个实习生加工一等品”为事务A1，“仅其次个实习生加工一等品”为事务A2，则P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,6)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,3).故选B．4．(2024·南昌市高三三模)甲、乙两人进行象棋竞赛，实行五局三胜制(不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，竞赛结束)．依据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场竞赛中，取胜的概率为0.5.受心理方面的影响，前一场的竞赛结果会对甲的下一场竞赛产生影响．假如甲在某一场竞赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1，则甲以3∶1取得成功的概率为()A．0.162B．0.18C．0.168D．0.174D解析：设“甲在第一、二、三、四局竞赛中获胜”分别为事务A1，A2，A3，A4.由题意得，甲要以3∶1取得成功可能是A1A2eq\x\to(A)3A4，A1eq\x\to(A)2A3A4，eq\x\to(A)1A2A3A4，所以甲以3∶1取得成功的概率p＝P(A1A2eq\x\to(A)3A4)＋P(A1eq\x\to(A)2A3A4)＋P(eq\x\to(A)1A2A3A4)＝0.5×0.6×0.3×0.6＋0.5×0.4×0.5×0.6＋0.5×0.4×0.5×0.6＝0.174.故选D．5．首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备．他们购买该机床设备的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有一家购买该机床设备的概率是()A．eq\f(23,24)B．eq\f(5,24)C．eq\f(11,24)D．eq\f(1,24)C解析：设“甲企业购买该机床设备”为事务A，“乙企业购买该机床设备”为事务B，“丙企业购买该机床设备”为事务C，则P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,4)，则P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(C))＝1－P(C)＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).设“三家企业中恰有一家购买该机床设备”为事务D，则P(D)＝P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)Beq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)C)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,24).6．(2024·西安市高三月考)某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与其次关的过关率分别为eq\f(2,3)，eq\f(3,4).只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参与该节目，则该选手能进入第三关的概率为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,6)D．eq\f(1,12)C解析：设Ai＝“第i次通过第一关”，Bi＝“第i次通过其次关”，其中i＝1,2.由题意知选手能进入第三关的事务为A1B1＋eq\x\to(A)1A2B1＋A1eq\x\to(B)1B2＋eq\x\to(A)1A2eq\x\to(B)1B2，所以选手能进入第三关的概率P(A1B1＋eq\x\to(A)1A2B1＋A1eq\x\to(B)1B2＋eq\x\to(A)1A2eq\x\to(B)1B2)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(5,6).故选C．7．(2024·福州市高三模拟)概率论起源于博弈嬉戏.17世纪，曾有一个“赌金安排”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈嬉戏，每局竞赛都能分出输赢，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但竞赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．问这96枚金币的赌金该如何安排？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的学问，合理地给出了赌金安排方案．该安排方案是()A．甲48枚，乙48枚 B．甲64枚，乙32枚C．甲72枚，乙24枚 D．甲80枚，乙16枚C解析：依据题意，甲、乙两人每局获胜的概率均为eq\f(1,2)，假设两人接着进行竞赛，甲获得96枚金币的概率p1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，乙获得96枚金币的概率p2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，则甲应当获得96×eq\f(3,4)＝72(枚)金币；乙应当获得96×eq\f(1,4)＝24(枚)金币．故选C．8．已知事务A，B，C相互独立，假如P(AB)＝eq\f(1,6)，P(eq\x\to(B)C)＝eq\f(1,8)，P(ABeq\x\to(C))＝eq\f(1,8)，则P(B)＝________，P(eq\x\to(A)B)＝________.eq\f(1,2)eq\f(1,3)解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(P(A)·P(B)＝\f(1,6)，①,P(\x\to(B))·P(C)＝\f(1,8)，②,P(A)·P(B)·P(\x\to(C))＝\f(1,8).③))由③÷①得P(eq\x\to(C))＝eq\f(3,4)，所以P(C)＝1－P(eq\x\to(C))＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4).将P(C)＝eq\f(1,4)代入②得P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)，所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2).由①可得P(A)＝eq\f(1,3)，所以P(eq\x\to(A)B)＝P(eq\x\to(A))·P(B)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3).9．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6.若三人都击中，飞机必定被击落．求飞机被击落的概率．解：设B＝{飞机被击落}，Ai＝{飞机被i个人击中}，i＝1,2,3，则B＝A1B＋A2B＋A3B．依题意得，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1.由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)．为求P(Ai)，设H甲＝{飞机被甲击中}，H乙＝{飞机被乙击中}，H丙＝{飞机被丙击中}．可求得P(A1)＝P(H甲eq\x\to(H)乙eq\x\to(H)丙＋eq\x\to(H)甲H乙eq\x\to(H)丙＋eq\x\to(H)甲eq\x\to(H)乙H丙)，P(A2)＝P(H甲H乙eq\x\to(H)丙＋H甲eq\x\to(H)乙H丙＋eq\x\to(H)甲H乙H丙)，P(A3)＝P(H甲H乙H丙)．将数据代入计算得P(A1)＝0.36，P(A2)＝0.41，P(A3)＝0.14.于是P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458.即飞机被击落的概率为0.458.B组新高考培优练10．(2024·太原五中高三月考)在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳动时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,9)C．eq\f(4,9)D．eq\f(8,27)A解析：若顺时针方向跳的概率为p，则逆时针方向跳的概率为2p，可得p＋2p＝3p＝1，解得p＝eq\f(1,3)，即顺时针方向跳的概率为eq\f(1,3)，逆时针方向跳的概率为eq\f(2,3).若青蛙在A叶上，则跳3次之后停在A叶上，满意3次逆时针或者3次顺时针．①若先按逆时针起先，即A→B→C→A，则对应的概率为eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)；②若先按顺时针起先，即A→C→B→A，则对应的概率为eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27).所以，所求概率为eq\f(8,27)＋eq\f(1,27)＝eq\f(1,3).故选A．11．(多选题)下列各对事务中，M，N是相互独立事务的有()A．掷1枚质地匀称的骰子一次，事务M＝“出现的点数为奇数”，事务N＝“出现的点数为偶数”B．袋中有5个红球、5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事务M＝“第一次摸到红球”，事务N＝“其次次摸到红球”C．分别抛掷2枚相同的硬币，事务M＝“第一枚为正面”，事务N＝“两枚结果相同”D．一枚硬币掷两次，事务M＝“第一次为正面”，事务N＝“其次次为反面”CD解析：在选项A中，P(MN)＝0，所以M，N不相互独立．在选项B中，M，N可能同时发生，不是相互独立事务．在选项C中，P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(1,2)，P(MN)＝eq\f(1,4)，P(MN)＝P(M)·P(N)，因此M，N是相互独立事务．在选项D中，第一次是否为正面对其次次的结果不影响，因此M，N是相互独立事务．故选CD．12．(多选题)(2024·三亚市华侨学校模拟)甲箱中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A1，A2，A3表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事务；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事务，则下列结论正确的是()A．P(B)＝eq\f(2,5)B．P(B|A1)＝eq\f(5,11)C．事务B与事务A1相互独立D．A1，A2，A3两两互斥BD解析：因为每次取一球，所以A1，A2，A3是两两互斥的事务，故D正确；因为P(A1)＝eq\f(5,10)，P(A2)＝eq\f(2,10)，P(A3)＝eq\f(3,10)，所以P(B|A1)＝eq\f(P(BA1),P(A1))＝eq\f(\f(5,10)×\f(5,11),\f(5,10))＝eq\f(5,11)，故B正确；同理，P(B|A2)＝eq\f(P(BA2),P(A2))＝eq\f(\f(2,10)×\f(4,11),\f(2,10))＝eq\f(4,11)，P(B|A3)＝eq\f(P(BA3),P(A3))＝eq\f(\f(3,10)×\f(4,11),\f(3,10))＝eq\f(4,11)，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝eq\f(5,10)×eq\f(5,11)＋eq\f(2,10)×eq\f(4,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(4,11)＝eq\f(9,22)，故A，C错误．故选BD．13．(多选题)从甲袋中摸出一个红球的概率是eq\f(1,3)，从乙袋中摸出一个红球的概率是eq\f(1,2).从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是()A．2个球都是红球的概率为eq\f(1,6)B．2个球不都是红球的概率为eq\f(1,3)C．至少有1个红球的概率为eq\f(2,3)D．2个球中恰有1个红球的概率为eq\f(1,2)ACD解析：设“从甲袋中摸出一个红球”为事务A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事务A2，则P(A1)＝eq\f(1,3)，P(A2)＝eq\f(1,2)，且A1，A2独立；在选项A中，2个球都是红球为A1A2，其概率为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，A正确；在选项B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事务，其概率为eq\f(5,6)，B错误；在选项C中，2个球中至少有1个红球的概率为1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)，C正确；在选项D中，2个球中恰有1个红球的概率为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，D正确．故选ACD．14．(2024·百师联盟练习五山东卷)某学校装有两套相互独立的平安系统A，B．若系统A和B至少有一套能正常运行，则认为校内处于平安防卫状态．已知系统A，B在随意时刻发生故障的概率分别是eq\f(1,9)，m，要求校内在随意时刻处在平安防卫状态下的概率不小于eq\f(89,90)，则m的最大值是()A．eq\f(1,8)B．eq\f(1,9)C．eq\f(1,10)D．eq\f(1,11)C解析：因为系统A，B在随意时刻发生故障的概率分别为eq\f(1,9)，m，所以校内处在平安防卫状态的概率为1－eq\f(1,9)m，则有1－eq\f(1,9)m≥eq\f(89,90)，得m≤eq\f(1,10).故选C．15．质检部门对某工厂甲车间生产的8个零件质量进行检测，零件质量(单位：克)分布的茎叶图如图所示，零件质量不超过20克的为合格．质检部门从中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，检测即可通过；若至少3件合格，检测即为良好，则甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率为()A．eq\f(17,53)B．eq\f(53,70)C．eq\f(1,105)D．eq\f(3,140)A解析：设事务A表示“2件合格，2件不合格”；事务B表示“3件合格，1件不合格”；事务C表示“4件全合格”，事务D表示“检测通过”，事务E表示“检测良好”，则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,4),C\o\al(4,8))＋eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,4),C\o\al(4,8))＋eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,8))＝eq\f(53,70).所以P(E|D)＝eq\f(P(ED),P(D))＝eq\f(P(B)＋P(C),P(D))＝eq\f(\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,4),C\o\al(4,8))＋\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,8)),\f(53,70))＝eq\f(17,53).16．某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参与某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种状况．规定一名运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、丙出线的概率分别为eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(3,5)，他们出线与未出线是相互独立的．(1)求在这次选拔赛