2025版高考物理一轮复习第4章曲线运动万有引力与航天第4节万有引力与航天教案

PAGE14-第4节万有引力与航天一、开普勒行星运动定律1．开普勒第肯定律全部行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。2．开普勒其次定律对随意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。3．开普勒第三定律全部行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：eq\f(a3,T2)＝k。二、万有引力定律1．内容(1)自然界中任何两个物体都相互吸引。(2)引力的方向在它们的连线上。(3)引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。2．表达式F＝Geq\f(m1m2,r2)，其中G为引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由卡文迪许扭秤试验测定。3．适用条件(1)两个质点之间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时物体可视为质点。(2)对质量分布匀称的球体，r为两球心间的距离。三、宇宙速度1．三种宇宙速度比较宇宙速度数值(km/s)意义第一宇宙速度7.9地球卫星最小放射速度(最大环绕速度)其次宇宙速度11.2物体摆脱地球引力束缚的最小放射速度(脱离速度)第三宇宙速度16.7物体摆脱太阳引力束缚的最小放射速度(逃逸速度)2.第一宇宙速度的计算方法(1)由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(GM,R))。(2)由mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR)。一、思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)1．地面上的物体所受地球的引力方向肯定指向地心。 (√)2．两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。 (×)3．开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中k值与中心天体质量无关。 (×)4．第一宇宙速度与地球的质量有关。 (√)5．地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。 (×)二、走进教材1．(教科版必修2P44T2改编)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，依据开普勒行星运动定律可知()A．太阳位于木星运行轨道的中心B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积C[太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B错误；同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同，D错误；由开普勒第三定律得eq\f(r\o\al(3,火),T\o\al(2,火))＝eq\f(r\o\al(3,木),T\o\al(2,木))，故eq\f(T\o\al(2,火),T\o\al(2,木))＝eq\f(r\o\al(3,火),r\o\al(3,木))，C正确。]2．(人教版必修2P43T2改编)若地球表面处的重力加速度为g，而物体在距地面3R(R为地球半径)处，由于地球作用而产生的加速度为g′，则eq\f(g′,g)为()A．1 B．eq\f(1,9)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,16)D[依据万有引力等于重力，列出等式：eq\f(GMm,r2)＝mg，g＝eq\f(GM,r2)，其中M是地球的质量，r应当是物体在某位置到球心的距离。eq\f(g′,g)＝eq\f(\f(1,4R2),\f(1,R2))＝eq\f(1,16)，故D正确。]3．(人教版必修2P48T3改编)若取地球的第一宇宙速度为8km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，这颗行星的“第一宇宙速度”约为()A．2km/s B．4km/sC．16km/s D．32km/sC[设地球质量M，某星球质量6M，地球半径r，某星球半径1.5r，由万有引力供应向心力做匀速圆周运动得：Geq\f(Mm,r2)＝eq\f(mv2,r)，解得：v＝eq\r(\f(GM,r))，分别带入地球和某星球的各物理量得：v地球＝eq\r(\f(GM,r))，v星球＝eq\r(\f(6GM,1.5r))＝2eq\r(\f(GM,r))＝2v地球＝16km/s，故C正确。]开普勒定律的理解和应用eq\o([依题组训练])1．对于开普勒行星运动定律的理解，下列说法正确的是()A．开普勒通过自己长期观测，记录了大量数据，通过对数据探讨总结得出了开普勒行星运动定律B．依据开普勒第肯定律，行星围绕太阳运动的轨迹是圆，太阳处于圆心位置C．依据开普勒其次定律，行星距离太阳越近，其运动速度越大；距离太阳越远，其运动速度越小D．依据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比C[第谷进行了长期观测，记录了大量数据，开普勒通过对数据探讨总结得出了开普勒行星运动定律，选项A错误；行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，选项B错误；依据开普勒其次定律，行星距离太阳越近，其运动速度越大，距离太阳越远，其运动速度越小，选项C正确；依据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动轨道的半长轴的三次方跟它公转周期的二次方成正比，选项D错误。]2．(2024·山东等级考一模)2019年10月28日发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同始终线，此时是视察天王星的最佳时间。已知日地距离为R0，天王星和地球的公转周期分别为T和T0，则天王星与太阳的距离为()A．eq\r(3,\f(T2,T\o\al(2,0)))R0 B．eq\r(\f(T3,T\o\al(3,0)))R0C．eq\r(3,\f(T\o\al(2,0),T2))R0 D．eq\r(\f(T\o\al(3,0),T3))R0A[由开普勒第三定律可知：eq\f(R3,T2)＝eq\f(R\o\al(3,0),T\o\al(2,0))，所以R＝eq\r(3,\f(T2,T\o\al(2,0)))R0。]3.(多选)如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的有()A．TA>TB B．EkA>EkBC．SA＝SB D．eq\f(R\o\al(3,A),T\o\al(2,A))＝eq\f(R\o\al(3,B),T\o\al(2,B))AD[依据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r知，轨道半径越大，周期越大，所以TA>TB，故A正确；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)知，v＝eq\r(\f(GM,r))，所以vB>vA，又因为A、B质量相等，所以EkB>EkA，故B错误；依据开普勒其次定律可知，同一卫星与地心连线在单位时间内扫过的面积相等，故C错误；由开普勒第三定律知D正确。]应用开普勒行星运动定律的三点留意(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。(3)开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。万有引力定律的理解及应用eq\o([讲典例示法])1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是供应物体随地球自转的向心力F向，如图所示。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在两极上：Geq\f(Mm,R2)＝mg2。2．星体表面上的重力加速度(1)在地球表面旁边的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝eq\f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq\f(GM,R＋h2)。3．估算天体质量和密度的两种方法(1)“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。①由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq\f(gR2,G)。②天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。(2)“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。①由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得M＝eq\f(4π2r3,GT2)。②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。eq\o([典例示法])(多选)(2024·辽宁新高考适应性考试)“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽视月球自转的影响。下列选项正确的是()A．月球平均密度为eq\f(3v2,4πGR2)B．月球平均密度为eq\f(3v2r,4πGR3)C．月球表面重力加速度为eq\f(v2,R)D．月球表面重力加速度为eq\f(v2r,R2)BD[依据万有引力定律和牛顿其次定律可得eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)，又M＝eq\f(4,3)πR3·ρ，解得ρ＝eq\f(3v2r,4πGR3)，A错误，B正确；eq\f(GMm,R2)＝mg，联立可得g＝eq\f(v2r,R2)，C错误，D正确。故选BD。]估算天体质量和密度的“四点”留意(1)利用万有引力供应天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。(2)区分天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面旁边的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝eq\f(4,3)πR3中的“R”只能是中心天体的半径。(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24h，公转周期为365天等。(4)关注黄金代换式GM＝gR2的应用。eq\o([跟进训练])万有引力定律的简洁应用1．(2024·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的eq\f(1,10)，半径约为地球半径的eq\f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为()A．0.2 B．0.4C．2.0 D．2.5B[由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面上时，受到的万有引力大小为F地＝Geq\f(M地m,R\o\al(2,地))，质量为m的物体在火星表面上时，受到的万有引力大小为F火＝Geq\f(M火m,R\o\al(2,火))，二者的比值eq\f(F火,F地)＝eq\f(M火R\o\al(2,地),M地R\o\al(2,火))＝0.4，B正确，A、C、D错误。]与重力加速度有关的计算2．(广东卓越联盟2025届高三年级第一次调研)2020年6月23日，我国北斗“收官之星”正式放射，最终一颗全球组网卫星胜利入轨，将对我国通讯、经济等各个领域的发展起到极大的推动作用。下面为其运载火箭上天过程的部分数据，若火箭离地高度在200km以内其速度v与离地高度h近似呈现正比关系，则其加速度的改变趋势为()h/kmv/(km/s)17.250.655.512.2861.222.4770.462.7675.922.83129.513.61154.155.80193.017.03A．恒定 B．增大C．减小 D．条件不足，无法推断B[由题意可得关系v＝kh，取微元进一步可得Δv＝kΔh，取极短的时间Δt，有eq\f(Δv,Δt)＝keq\f(Δh,Δt)，即a＝kv，所以加速度随速度的增大而增大，选B。]天体质量和密度的估算3.如图所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道。若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕一周飞行时间为T，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度的表达式正确的是()A．M＝eq\f(4π2R2,GT2)，ρ＝eq\f(3π,GT2)B．M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq\f(3πR＋h2,GT2R3)C．M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq\f(3πR＋h3,GT2R3)D．M＝eq\f(4π2T2R＋h3,G)，ρ＝eq\f(3πT2R＋h3,GR3)C[设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M，“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力供应，Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)，解得M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2)。又土星体积V＝eq\f(4,3)πR3，所以ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(3πR＋h3,GT2R3)，故C正确，A、B、D错误。]宇宙速度及卫星运行参数的分析计算eq\o([讲典例示法])1．宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v发＝7.9km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。(2)7.9km/s<v发<11.2km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。(3)11.2km/s≤v发<16.7km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。(4)v发≥16.7km/s，卫星将摆脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。2．物理量随轨道半径改变的规律3．同步卫星的六个“肯定”eq\o([典例示法])(多选)在星球表面放射探测器，当放射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当放射速度达到eq\r(2)v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球。已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1，下列说法正确的有()A．探测器的质量越大，脱离星球所须要的放射速度越大B．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大C．探测器分别脱离两星球所须要的放射速度相等D．探测器脱离星球的过程中，势能渐渐增大BD[探测器在星球表面做匀速圆周运动时，由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，得v＝eq\r(\f(GM,R))，则摆脱星球引力时的放射速度eq\r(2)v＝eq\r(\f(2GM,R))，与探测器的质量无关，选项A错误；设火星的质量为M，半径为R，则地球的质量为10M，半径为2R，地球对探测器的引力F1＝Geq\f(10Mm,2R2)＝eq\f(5GMm,2R2)，比火星对探测器的引力F2＝Geq\f(Mm,R2)大，选项B正确；探测器脱离地球时的放射速度v1＝eq\r(\f(2G·10M,2R))＝eq\r(\f(10GM,R))，脱离火星时的放射速度v2＝eq\r(\f(2GM,R))，v2<v1，选项C错误；探测器脱离星球的过程中克服引力做功，势能渐渐增大，选项D正确。]eq\o([跟进训练])宇宙速度的相识1．(多选)下列关于三种宇宙速度的说法正确的是()A．第一宇宙速度v1＝7.9km/s，其次宇宙速度v2＝11.2km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2B．美国放射的“凤凰号”火星探测卫星，其放射速度大于第三宇宙速度C．其次宇宙速度是使物体可以摆脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小放射速度D．第一宇宙速度7.9km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度CD[依据v＝eq\r(\f(GM,r))可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的运行速度越小，v1＝7.9km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，卫星在其他圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，选项A错误，D正确；美国放射的“凤凰号”火星探测卫星，仍在太阳的引力范围内，所以其放射速度小于第三宇宙速度，选项B错误；其次宇宙速度是使物体摆脱地球引力束缚，成为一颗绕太阳运行的人造行星的最小放射速度，选项C正确。]卫星运行参量的分析与计算2．第45颗北斗导航卫星属于地球静止轨道卫星，该卫星与此前放射的倾斜地球同步轨道卫星(代号为P，周期与地球自转周期相同)、中圆地球轨道卫星(代号为Q)和地球同步轨道卫星(代号为S)进行组网，若这三种不同类型的卫星的轨道都是圆轨道，已知中圆地球轨道卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，下列说法正确的是()A．P和S绕地球运动的向心加速度大小相等B．这三种不同类型轨道卫星的线速度大小有可能相同C．这三种不同类型轨道卫星的周期有可能相同D．P和S绕地球运动的向心力大小肯定相等A[由Geq\f(Mm,r2)＝ma可知，P和S绕地球运动的向心加速度大小相等，A正确；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可得v＝eq\r(\f(GM,r))，中圆地球轨道卫星的线速度大于同步卫星的线速度，B错误；由于中圆地球轨道卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，由开普勒第三定律可知，中圆地球轨道卫星的周期小于同步卫星的周期，C错误；由于P和S的质量不肯定相等，所以P和S绕地球运动的向心力大小不肯定相等，D错误。]近地卫星、同步卫星与赤道上物体的比较3．地球赤道上有一物体随地球自转，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面旁边做圆周运动的人造卫星(高度忽视)，所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3。地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则()A．F1＝F2>F3 B．a1＝a2＝g>a3C．v1＝v2＝v>v3 D．ω1＝ω3<ω2D[地球同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，即ω1＝ω3，依据关系式v＝ωr和a＝ω2r可知，v1<v3，a1<a3；绕地球表面旁边做圆周运动的人造卫星和地球同步卫星，它们受到地球的万有引力供应向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝mω2r＝eq\f(mv2,r)＝ma可得v＝eq\r(\f(GM,r))，a＝Geq\f(M,r2)，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，可见，轨道半径大的线速度、向心加速度和角速度均小，即v2>v3，a2>a3，ω2>ω3；绕地球表面旁边做圆周运动的人造卫星(高度忽视)的线速度就是第一宇宙速度，即v2＝v，其向心加速度等于重力加速度，即a2＝g。综上可知v＝v2>v3>v1，g＝a2>a3>a1，ω2>ω3＝ω1，又因为F＝ma，所以F2>F3>F1，D项正确。]宇宙航天中的STSE问题航天科技的发展在增加民族自信、展示国威军威、实现可持续发展战略等方面产生了巨大的影响。结合最新的科技成果考查物理学相关学问是近几年高考的热点。高考中以这类热门素材命题，旨在引导学生理解科学、技术、社会、环境的关系，渐渐形成良好的科学看法与社会责任。北斗导航系统[示例1]2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星放射中心用长征三号乙运载火箭，胜利放射第55颗北斗导航卫星。如图所示，是导航系统中倾斜地球同步轨道卫星的运行轨道面与地球赤道面有夹角，运行周期等于地球的自转周期。倾斜地球同步轨道卫星正常运行，则下列说法正确的是()A．此卫星相对地面静止B．假如有人站在地球赤道的地面上，此人的向心加速度比此卫星的向心加速度大C．此卫星的放射速度小于地球的第一宇宙速度D．此卫星轨道正下方某处的人用望远镜观测，可能会一天看到两次此卫星D[倾斜地球同步轨道卫星相对地面有运动，而地球同步轨道卫星相对于地球静止，选项A错误；赤道上的人的角速度与同步卫星的角速度相同，但运动半径较小，依据a＝ω2r可知，赤道上的人的向心加速度小于此卫星的向心加速度，选项B错误；地球的第一宇宙速度是地球上放射卫星的最小速度，选项C错误；如题图所示，地球同步轨道与倾斜同步轨道有两个交点，由于地球的自转，交点位置正下方的人用望远镜观测，一天能看到两次此卫星，选项D正确。]地月拉格朗日点与中继卫星“鹊桥”[示例2](2024·武汉调研)2018年6月14日，中继卫星“鹊桥”顺当进入以地月拉格朗日L2点为中心的Halo轨道；2019年1月3日，嫦娥四号探测器胜利登陆月球。至此，我国实现了人类历史上首次月球背面软着陆和巡察探测，首次实现了月球背面同地球的中继通信。同学们进行了如下探讨：甲：嫦娥四号的放射速度必需达到第三宇宙速度；乙：嫦娥四号在月面着陆过程中，假如关闭发动机，其加速度肯定为9.8m/s2；丙：“鹊桥”在Halo轨道上运动时，只受到地球和月球对它的万有引力；丁：Halo轨道的半径足够大，才能实现地面测控站与嫦娥四号之间的中继通信。上述看法正确的是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁D[嫦娥四号探测器胜利登陆月球，但仍旧随着月球环绕地球运行，因此其放射速度小于其次宇宙速度，A错误；嫦娥四号在月面着陆过程中，假如关闭发动机，其加速度应近似等于月球表面的重力加速度，B错误；“鹊桥”在Halo轨道上运动时，除受地球、月球的万有引力的作用外，还受到自身的动力作用，C错误；由题图可知，Halo轨道的半径足够大，才能使其放射的信号到达地球，以实现中继通信，D正确。]引力波的发觉[示例3]2024年诺贝尔物理学奖颁给LIGO科学合作组织的三位主要成员，以表彰他们对引力波探讨的卓越贡献。在物理学中，引力波是指时空弯曲中的涟漪，通过波的形式从辐射源向外传播，并以引力辐射的形式传输能量。2015年9月，LIGO科学合作组织胜利探测到来自于13亿年前两个黑洞合并时产生的引力波信号。假设两黑洞合并前绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，不计其他天体的影响，下列推断正确的是()A．合并前两黑洞间的万有引力越来越小B．合并前两黑洞旋转的周期越来越大C．合并前两黑洞旋转的线速度越来越大D．合并前后两黑洞的总质量保持不变C[设两个黑洞的质量分别为M1、M2，合并前两者的距离为L，M1绕它们连线的某一点运动的轨道半径为R1，M2的轨道半径为R2，它们之间的万有引力供应向心力，它们具有相同的周期，万有引力F＝Geq\f(M1M2,L2)，两黑洞合并前M1、M2都不变，而L越来越小，故万有引力越来越大，A项错误；依据Geq\f(M1M2,L2)＝M1eq\f(4π2,T2)R1＝M2eq\f(4π2,T2)R2，解得M1＝eq\