同步优化设计2024年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量运算的坐标表示及应用课后篇巩固提升含解析北师大版选择性必修第一册

第三章空间向量与立体几何§3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示3.2空间向量运算的坐标表示及应用课后篇巩固提升合格考达标练1.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且AB=2a,则点B的坐标为()A.(-7,10,24) B.(7,-10,-24)C.(-6,8,24) D.(-5,6,24)答案D解析∵a=(-3,4,12),且AB=2a,∴AB=(-6,8,24),∵A(1,-2,0),∴点B的坐标是(-5,6,24),故选D.2.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为()A.-2 B.-143 C.143 D答案D解析由题意知,a-λb=(-2+λ,1-2λ,3-λ),因为a⊥(a-λb),所以a·(a-λb)=(4-2λ)+(1-2λ)+(9-3λ)=14-7λ=0,解得λ=2.3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),则|3a+b|=()A.15 B.4 C.5 D.17答案D4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上随意一点,则直线OP与AM所成的角为()A.45° B.60°C.90° D.不能确定答案C解析建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,A1P=p,易得AM=(-2,0,1),OP=(1,p-1,2),而AM·OP=-2+0+2=0,所以AM⊥OP,即所以直线OP与AM所成的角为90°.故选C.5.已知A(0,0,-x),B(1,2,2),C(x,2,2)三点,点M在平面ABC内,O是平面ABC外一点,且OM=xOA+2xOB+4OC,则AB与AC的夹角为(A.π6 B.π4 C.π3答案C解析由A,B,C,M四点共面可知x+2x+4=1,∴x=-1,∴A(0,0,1),C(-1,2,2),∴AB=(1,2,1),AC=(-1,2,1),∴cos<AB,AC>=AB·AC|AB故选C.6.已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=-2,则实数x=.

答案-8解析由已知得c+a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以(c+a)·2b=4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8.7.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=14,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为.

答案120°解析由题得a+b=(-1,-2,-3),所以|a+b|=14.因为(a+b)·c=7,所以a+b与c夹角的余弦值为12,即夹角为60°因为a=(1,2,3)与a+b=(-1,-2,-3)方向相反,所以可知a与c的夹角为120°.8.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:(1)a,b,c;(2)a+c与b+c所成角的余弦值.解(1)因为a∥b,所以x-2=4y=1-1,解得x=2,y=-4,这时a=(2,4,1),b又因为b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,所以c=(3,-2,2).(2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),所以a+c与b+c所成角的余弦值cosθ=5-12+3389.如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,O是AC与BD的交点,PO=1,M是PC的中点.设AB=a,AD=b,AP=c.(1)用向量a,b,c表示BM;(2)在如图所示的空间直角坐标系中,求BM的坐标.解(1)∵BM=∴BM=AD+12(AP-AC)=AD+12AP(2)a=AB=(1,0,0),b=AD=(0,1,0).∵A(0,0,0),O12,12,0,P12,∴c=AP=12,12∴BM=-12a+12b+12c=-12×(1,0,0)+12×(0,1,0)+12×12,1等级考提升练10.已知a+b=(2,2,23),a-b=(0,2,0),则cos<a,b>等于()A.13 B.1C.63 D.答案C11.已知两点A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x的值等于()A.19 B.-87C.87 D.答案C解析AB=(1-x,2x-3,3-3x),|AB|2=(1-x)2+(2x-3)2+(3-3x)2=14x2-32x+19=14x-872+57,当且仅当x=87时,12.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则AC与AB的夹角是(A.30° B.45° C.60° D.90°答案C13.(多选题)下列各组向量中共面的有()A.a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5)B.a=(1,2,-1),b=(0,2,-4),c=(0,-1,2)C.a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1)D.a=(1,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)答案ABC解析选项A中,设a=xb+yc,则1=3x+4y,2=0+2y,3=2x+5y,解得x=-1,y=1,故存在实数x=-1,y=1使得a=-b+c,因此a,b,选项D中,设a=xb+yc,则x+y=1,x=1,y=1,明显14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列计算结果肯定等于0的是()A.ADB.BC.DC·D.B答案C解析如图,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设DA,DC,DD1的长度分别为a,b,c,则A(a,0,0),B(a,b,0),C(0,b,0),D(0,0,0),B1(a,b,c),C1(0,b,c),D1(0,0,c),∴AD1=(-a,0,c),B1C=(-a,0,-c),BD1=(-a,-b,c),AC=(-a,b,0),DC=(0,b∴AD1·B1C=a2-c2,当a≠c时,AD1·B1C≠0;BD1·AC=a2-b2,当a≠b时15.已知空间三点A(0,2,3),B(2,5,2),C(-2,3,6),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为.

答案65解析由题意可得AB=(2,3,-1),AC=(-2,1,3),|AB|=4+9+1=14,|AC|=4+1+9=14,所以cos<AB,AC>=2×(-2)则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为S=14×14×316.已知点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),O(0,0,0),点Q在直线OP上运动,当QA·QB取得最小值时,点Q的坐标为答案4解析设OQ=λOP=(λ,λ,2λ),则Q(λ,λ,2λ),故QA=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=(2-λ,1-λ,2-2λ),所以QA·QB=6λ2-16λ+10=6当λ=43时,QA·此时点Q的坐标为4317.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以AB和AC(2)若|a|=3,且a分别与AB,AC垂直,求向量a解(1)由题中条件可知,AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),所以cos<AB,AC>=于是sin<AB,AC>=故以AB和S=|AB||AC|sin<AB,AC>=14×32=(2)设a=(x,y,z),由题意得x解得x故a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).新情境创新练18.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).(1)若DB∥AC,DC∥(2)是否存在实数α,β,使得AC=αAB+βBC成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.解(1)设D(x,y,z),则DB=(-x,1-y,-z),AC=(-1,0,2),DC=(-x,-y