高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理一导学案新人教A版必修5

1.1.2余弦定理(一)教学目标1.驾驭余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．教学过程一、创设情景老师首先提出问题：让学生通过观看《1.1.2余弦定理（一）》课件“课题引入—实际情景”部分，与大家共享自己对余弦定理的了解。通过举例说明和相互沟通，做好老师对学生的活动的梳理引导，并赐予主动评价。二、自主学习1．a2＝__________________________________________，b2＝__________________________________________，c2＝__________________________________________.2．cos____＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cos____＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；cos____＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).提示：1．b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC2．ABC三、合作探究探究点1：余弦定理的推导问题1依据勾股定理，若△ABC中，∠C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcosC．①试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？提示：当a＝b＝c时，∠C＝60°，a2＋b2－2abcosC＝c2＋c2－2c·ccos60°＝c2，即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcosC.问题2在c2＝a2＋b2－2abcosC中，abcosC能说明为哪两个向量的数量积？你能由此证明思索1的猜想吗？提示：abcosC＝|eq\o(CB,\s\up6(→))||eq\o(CA,\s\up6(→))|coseq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→)).∴a2＋b2－2abcosC＝eq\o(CB,\s\up6(→))2＋eq\o(CA,\s\up6(→))2－2eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＝c2.猜想得证．例1已知△ABC，BC＝a，AC＝b和角C，求解c.解如图，设eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))，知c＝a－b，则|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cosC.所以c2＝a2＋b2－2abcosC.名师点评：所谓证明，就是在新旧学问间架起一座桥梁．桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要视察公式两边的结构特征，联系已经学过的学问，看有没有相像的地方．探究点2：相宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题问题1视察学问点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？提示：每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角．故假如已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形．问题2视察学问点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？提示：每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故假如已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形．例2在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形．(角度精确到1°，边长精确到1cm)解依据余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA＝602＋342－2×60×34×cos41°≈1676.78，所以a≈41(cm)．由正弦定理得，sinC＝eq\f(csinA,a)≈eq\f(34×sin41°,41)≈0.5440.因为c不是三角形中最大的边，所以C为锐角，利用计算器可得C≈33°，所以B＝180°－(A＋C)≈180°－(41°＋33°)＝106°.名师点评：已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角．例3在△ABC中，已知a＝134.6cm，b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形．(角度精确到1′)解∵cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(87.82＋161.72－134.62,2×87.8×161.7)≈0.5543，∴A≈56°20′.∵cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(134.62＋161.72－87.82,2×134.6×161.7)≈0.8398，∴B≈32°53′.∴C＝180°－(A＋B)≈180°－(56°20′＋32°53′)＝90°47′.名师点评：已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(b2＋a2－c2,2ba)求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理．四、当堂检测1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－eq\f(3,5)，则三角形的另一边长为()A．52B．2eq\r(13)C．16D．42．在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，则△ABC的最小角为()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,12)3．假如等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A.eq\f(5,18)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(7,8)提示：1．B2.B3.D五、课堂小结本节课我们学习过哪些学问内容?提示：1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的随意一角．2．余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(1)假如一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．(2)假如一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．(3)假如一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．六、课例点评本节课教学过程以“解三角形”为主题，以“提出问题—确定方案—探究解决”为主线，从解三角形完备性动身，提出问题，引发学生思索，引导和组织学生主动探究，学生完整经验从解三角形中自然发觉余弦定理的过程，并对余弦定理的内涵和外延做了肯定的探讨。通过对旧学问应用中提炼出新学问，从而新旧学问融为一体，使学生建立完整的学问系统。在学问建立的过程中是螺旋式的上升，符合学生的实际，学生对数形结合，转化与化归等数学思想方法有了进一步的体验和相识。本节课的教学目标明确，重点突出，教学设计总体思路清楚，难点突破自然流畅。学生已经学习了三角函数、平面对量、正弦定理等有关内容，已能解决一些简洁的边角关系，在此基础上探求余弦定理，并要求学生正确理解定理的结构特征，正确解决三角形＂边角边＂，＂边边边＂的问题，通过定理的应用，完善了解三角形体系。本节课的难点是余弦定理的推导，在教学设计上本节课对学生和问题进行了合理的设疑，正确的引