2024北京丰台高一（上）期中数学（A卷）（教师版）

第1页/共1页2024北京丰台高一（上）期中数学（A卷）考试时间：120分钟第I卷（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，，则（A）（B）（C）（D）（2）命题“，”的否定是（A）， （B），（C）， （D），（3）下列函数中，在区间上单调递减的是（A）（B）（C）（D）（4）已知函数的定义域和值域均为，则的图象可能为（A）（B）（C）（D）（5）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为（A） （B）（C）（D）（6）“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（7）已知函数，，对，用表示，中的最小者，记为，则当取得最大值时的值为（A） （B）（C）（D）（8）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（A） （B）（C）（D）不确定（9）2024年7月15日至18日，党的二十届三中全会在北京隆重举行，全会审议并通过了《中共中央关于进一步全面深化改革、推进中国式现代化的决定》（以下简称《决定》），《决定》中指出要完善基本公共服务制度体系，加强普惠性、基础性、兜底性民生建设，解决好人民最关心最直接最现实的利益问题，不断满足人民对美好生活的向往．居民用水作为民生建设的重要内容，愈发引起社会关注，现已知某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过15m³的部分2.07元/m³超过15m³但不超过21.67m³的部分4.07元/m³超过21.67m³的部分6.07元/m³若某户居民希望本月缴纳的水费不超过51.4元，则此户居民本月用水最多为（A）19m³ （B）20m³ （C）21m³（D）22m³（10）已知定义域为的函数满足为偶函数．当时，，且当时，．对，都有，则的最小值为（A） （B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数的定义域为．（12）设集合，若，则实数的值为．（13）能够说明“若，则”是假命题的一组实数的值依次为．（14）设函数若，则的值域是；若的值域是，则实数的取值范围是．（15）已知的定义域为，对，，若同时满足以下两个条件：（i）；（ii），则称具有“丰彩”性质．现给出以下定义域均为的四个函数：①；②；③；④．其中所有具有“丰彩”性质的函数序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）已知集合，．（Ⅰ）若，求，；（Ⅱ）若，求实数的取值范围．（17）（本小题13分）已知是定义域为的偶函数，当时，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）的部分图象如下图，请将的图象补充完整，并写出的单调递减区间；（Ⅲ）若关于的方程恰有6个实数根，则实数的取值范围是________．（18）（本小题15分）设函数，．（Ⅰ）若为奇函数，求实数的值；（Ⅱ）根据定义证明在区间上单调递增；（Ⅲ）若对，，使得，求实数的取值范围．（19）（本小题15分）设函数．（Ⅰ）若______（从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知），求实数的值，并以此时的图象与坐标轴的交点为三角形的顶点，求该三角形的面积；条件①：关于的方程有两个实数根，且；条件②：，都有；条件③：的最小值为，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（Ⅱ）求关于的不等式的解集．（20）（本小题14分）某公司计划生产一类电子设备，该电子设备每月产量不超过150台，每台售价为40万元.每月生产该电子设备的成本由固定成本和可变成本两部分组成，固定成本为20万元，每月生产台时需要投入的可变成本为（单位：万元），每月的利润为（单位：万元），其中利润是收入与成本之差．当每月产量不超过40台时，；当每月产量超过40台时，．假设该公司每月生产的电子设备都能够售罄．（Ⅰ）求关于的函数解析式；（Ⅱ）如果你是该公司的决策者，分析每月生产多少台电子设备可以使月利润最大？最大利润是多少？（21）（本小题14分）给定正整数，设集合，对，，，两数中至少有一个数属于，则称集合具有性质.（Ⅰ）设集合，，请直接写出，是否具有性质；（Ⅱ）若集合具有性质，求的值；（Ⅲ）若具有性质的集合恰有6个元素，且，求集合．（考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案第Ⅰ卷（选择题共40分）题号12345678910答案CADBAACCBD第Ⅱ卷（非选择题共110分）填空题（每小题5分，共25分）（11）；（12）；（13）（答案不唯一）；（14），；（15）=1\*GB3①=3\*GB3③．（注：15题给出的函数序号中，有多个序号符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分．)三．解答题（共85分）（16）（本小题14分）解：（Ⅰ）由得，，………………2分所以．………………4分因为，所以，………………6分所以．………………8分（Ⅱ）因为，所以，………………10分所以………………12分故．………………14分（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）由已知，得，………………2分所以．………………4分（Ⅱ）………………6分的单调递减区间为．………………9分（Ⅲ）的取值范围为．………………13分（18）（本小题15分）解：（Ⅰ）由已知，得的定义域为，………………2分．又因为是奇函数，所以，………………3分即，解得．………………4分（Ⅱ）证明：，且，………………5分则…………6分…………7分．………………9分由，得，，，………………10分于是，即，所以在区间上单调递增．………………11分（Ⅲ）由已知，得．………………12分由（Ⅱ）知，在区间上单调递增，所以．………………13分因为在区间上单调递增，所以，………………14分所以．………………15分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）选择条件①：关于的方程有两个实数根，且所以，解得，………………2分此时．设的图象与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，令，解得，，所以，．………………4分又因为，所以．………………5分所以三角形的面积．………………6分选择条件②：，都有，所以的对称轴为，解得．………………2分以下步骤同①．………………6分选择条件③：的最小值为，且.所以，且在对称轴处取得最小值，即，解得，或，又因为，所以.………………2分以下步骤同①．………………6分（Ⅱ）因为，所以方程的两根分别为，．………………7分当时，有，解得；………………8分当时，有，解得或；………………10分当时，有，解得或；………………12分当时，有，解得．………………14分综上：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为．………………15分（20）（本小题14分）解：（Ⅰ）依题意，得………………2分．………………4分当时，；当时，.所以……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当时，.因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，有最大值为．……………8分当时，.因为，……………10分所以，……………11分当且仅当，即时，等号成立．……………12分所以当时，的最大值为.……………13分因为，所以该公司每月生产100台电子设备可以使月利润最大，最大利润是470万元．………………14分（21）（本小题14分）解：（Ⅰ）集合具有性质，集合不具有性质．………………4分（Ⅱ）记，易知．令，所以，由集合具有性质，所以，………………5分不妨设，则，且．令，，则，且，且，①当时，显然，因为，所以，所以，解得，………………7分此时，具有性质．②当时，则，因为且，所以，，所以，解得，此时，与题意不符（舍）．………………8分综上，，故．………………9分（Ⅲ）记，易知．令，所以，由集合具有性质，所以，不妨设，，此时.若，显然，所以，由集合具有性质，所以，.因为且与互为相反数，所以，两个数中必然一正一负.所以中有0，有正数也有负数，下面对中元素的正负个数进行讨论：（1）当中有1个负数，4个正数时，不妨设，，因为均大于，所以均不属于，由集合具有性质，所以，因为，所以不可能同时等于，所以此时集合不具有性质，舍去.（2）当中有4个负数，1个正数时，不妨设时，，因为均小于，所以均不属于，由集合具有性质