2024北京房山良乡中学高三（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京房山良乡中学高三（上）期中数学一、单选题1．已知集合，则A． B． C． D．2．下列函数值中，在区间(0,+∞)上不是单调函数的是（

）A． B． C． D．3．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．4．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为，则（

）A． B． C． D．5．不等式成立的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．6．的零点一定位于以下的区间为（

）A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5)7．若，且，则与的夹角是（

）A． B． C． D．8．我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（）

A． B． C． D．．已知函数，x∈(0，4)，当x=a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)=的图象为（

）A． B．C． D．10．若，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是区间上的“稳定函数”.已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．二、填空题11．函数的定义域为_____________.12．已知，则的值为_______.13．已知向量，．若存在实数，使得与的方向相同，则的一个取值为．14．函数的最小正周期为__________;若函数在区间上单调递增，则的最大值为_________.15．已知函数其中且.给出下列四个结论：①若，则函数的零点是；②若函数无最小值，则的取值范围为；③若，则在区间上单调递减，在区间(0,+∞)上单调递增；④若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为，且的取值范围为.其中，所有正确结论的序号是.三、解答题16．已知函数．(1)求的值(2)求函数在区间上的最小值和最大值．17．已知四棱锥中，底面是正方形，是正三角形，平面，E、F、G、O分别是的中点.(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的大小；18．某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有8张相同的卡片，其中4张卡片上印有“幸”字，另外4张卡片上印有“运”字．消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片上都印有同一个字，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率；(2)记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望；(3)该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付3元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由．19．在中，．(1)求b；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求的面积．条件①：；条件②：边上中线的长为；条件③：．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．20．已知函数．(1)当时，求的单调区间和极值；(2)当时，求证：；21．已知函数．(Ⅰ)求证：1是函数的极值点；(Ⅱ)设是函数的导函数，求证：．

参考答案一、单选题1．【答案】C【详解】，又则故选C2．【答案】D【详解】由一次函数的性质可知，在区间(0,+∞)上单调递增；由二次函数的性质可知，在区间(0,+∞)上单调递增；由幂函数的性质可知，在区间(0,+∞)上单调递增；结合一次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增．故选：D．3．【答案】C【详解】依题意得,又因为，所以有.故选：.4．【答案】C【详解】由图形可知：，，，.故选：C.5．【答案】A【详解】不等式，则是成立的一个充分不必要条件.故选:A6．【答案】B【详解】函数在(0，＋)上单调递增，∵，，∴故函数的零点一定位于区间(2，3)．故选：B．7．【答案】B【详解】解：设与的夹角是，，且，，，故选：B.8．【答案】A【详解】依题意分析可知，当伞完全张开时，，因为为的中点，所以，，当伞完全收拢时，，所以，，在中，，所以，.故选：A.9．【答案】B【详解】因x∈(0，4)，则x＋1>1，于是得，当且仅当，即x=2时取等号，f(x)的最小值为1，则a=2，b=1，函数，其图象关于直线x=-1对称，当时，单调递减，只有B选项满足.故选：B10．【答案】D【详解】，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，又，，，由“稳定函数”定义可知：，即，解得：，即实数的取值范围为.故选：D.二、填空题11．【答案】【详解】要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为.故答案为：.12．【答案】-3【详解】因为，所以．故答案为：-3.13．【答案】（答案不唯一，小于的实数均可）【详解】与方向相同，，，，由得：，存在实数，，使得与方向相同.故答案为：（答案不唯一，小于的实数均可）.14．【答案】【详解】，故，当时，，故，解得.故答案为：；.15．【答案】①④【详解】对于①：当时，显然，当时，无零点；当时，由可得，所以的零点是0.故①正确；对于②：当时，简图如下：当时，简图如下：当时，简图如下：当时，简图如下：由图可知，若无最小值，则或.故②错误；对于③：由图可知，在区间上单调递减，在区间和上单调递增.故③错误；对于④：由图可知，只有当且即时，方程才有三个不相等的实数根.不妨设三个根由小到大依次为，，，显然.由得，故，且，所以，故，从而.故④正确.故答案为：①④.三、解答题16．【详解】（1）函数化简可得，（2），，，所以即时，即时，取最小值；当时，即时，取最大值1.17．【详解】（1）因为平面，平面所以，平面平面又是正三角形，O为AD中点所以又平面平面，平面所以，平面（2）连接OF，因为E、F、G、O分别是的中点所以，，所以E、F、G、O四点共面因为平面，所以平面又平面，平面所以平面与平面夹角的平面角为又是正三角形，所以18．【详解】（1）解：记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字”为事件，则，所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率为；（2）解：依题意随机变量的所有可能取值为、、；则，，，所以的分布列为：所以（3）解：记随机变量为消费者在一次抽奖活动中的收益，则，所以，所以我不愿意再次参加该项抽奖活动；19．【详解】（1）因为，在△中，由正弦定理，可得：，又因为，所以.（2）选择条件①；由，，以及余弦定理得，该方程无解，故此时三角形不存在，故不能选择条件①选择条件②设边上的中线为，则，，在△中，由余弦定理得：，因为，，所以，所以△的面积为.选择条件③方法1：由题设，因为，所以，因为，所以因为，所以，所以，由余弦定理可得：，整理得，解得（舍），因为，，所以，所以△的面积为.方法2：由题设，因为，所以，因为，所以在△中，因为，所以，即，所以，所以，因为，，所以，所以，所以，因为，所以，所以△的面积为.方法3：因为且，所以或，因为，所以，又因为，所以即，所以△为等腰三角形，设边上的高为，则，由勾股定理，所以△的面积为.20．【详解】（1）当时，，则，令，即，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；因此在处取得极大值，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，在处取得极大值，且极大值为1；（2）要证，即证，因此设，则，令，则，因为，所以，因此单调递减，且，所以时，；当时，；即时，；当时，；所以在上单