2024北京房山高三（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京房山高三（上）期中数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合或，集合，则为（）A. B.或x≥4C. D.2.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）A.y＝x﹣2 B.y＝|lnx| C.y＝2﹣x D.y＝xsinx3.函数的最小正周期为（）A. B. C. D.4.已知两条不同的直线，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则5.设，则的大小关系为（）A. B.C. D.6.已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（）A. B. C. D.7.已知，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数，下列说法错误的是（）A.的定义域为 B.的图象关于轴对称C.的图象关于原点对称 D.在上单调递增9.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（）A. B. C. D.10.对于函数﹐若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是（）A.-∞,0 B. C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为________．12.已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点，且点的纵坐标为，则____________．13.已知命题：若，为第二象限角，且，则.能说明为假命题的一组，的值为__________，________.14.已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则数的取值范围是______.15.如图，在边长为1的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论：①三棱锥的体积为定值；②存在点，使得平面；③对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面；④是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在中，，，.（1）求，的值和的面积；（2）求的值.17.已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：（1）的值；（2），，的值；（3）函数在区间上的最大值和最小值.18.已知函数.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定.（1）求的解析式；（2）设，求的单调递增区间以及在区间上的最大值.条件①：；条件②：为偶函数；条件③：的最大值为1；条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为.注：如果选择的条件不符合要求，此题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19.如图，四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧面底面，，是的中点.（1）求证：平面；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使二面角唯一确定，（i）求二面角的余弦值；（ii）判断直线是否在平面内，说明理由.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.20.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）当时，求证：时，成立.参考数据.21.已知{an}是由正整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，最小值记为Bn，令．（Ⅰ）若an＝2n（n＝1，2，3，…），写出b1，b2，b3的值；（Ⅱ）证明：bn+1≥bn（n＝1，2，3，⋅⋅⋅）；（Ⅲ）若{bn}是等比数列，证明：存在正整数n0，当n≥n0时，an，an+1，an+2，…是等比数列．

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【分析】利用交集的运算求解.【详解】因为集合或，集合，所以，故选:C.2.【答案】A【分析】根据基本函数的性质，分别判断函数的奇偶性和单调性即可.【详解】A.f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，满足条件.B.函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件.C.函数为非奇非偶函数，不满足条件.D.f（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）＝xsinx＝f（x），f（x）为偶函数，在（0，+∞）不具备单调性，不满足条件.故选：A.【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合函数单调性和奇偶性的性质是解决本题的关键.属于基础题..3.【答案】C【分析】根据正切三角函数的周期公式求解即可【详解】由题意得，利用函数的最小正周期为，得出结论.解：函数的最小正周期为，故选：C.4.【答案】D【分析】根据直线与平面内直线平行，判断直线与平面的关系可判断A，由线面平行的性质可判断B，由平面垂直的性质可判断C，根据线面平行的性质及面面垂直的判定判断D.【详解】若，，则或，故A错误；若，，则或为异面直线，故B错误；若，，则或或与斜交，故C错误；若，则内必有一直线满足，又，所以，又，所以，故D正确.故选：D5.【答案】B【分析】利用正弦函数、指数函数、对数函数的性质判定即可.【详解】易知.故选：B6.【答案】B【分析】结合函数图像求出函数的图像距离原点最近的点的坐标，即可确定的值.【详解】如图设函数的部分图像与轴的交点为，由图可知，所以，所以点与点关于点对称，设，则，解得，因为将函数函数的图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象，且图象关于原点对称，所以平移后的函数为奇函数，即相当于把的图象与轴最近的交点平移到坐标原点即可，由图可知此点为，所以，故选：B.7.【答案】A【分析】通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立.【详解】当，时，，则当时，有，解得，充分性成立；当，时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.8.【答案】B【分析】根据对数函数的性质一一判断即可.【详解】函数，则，即，解得，所以函数的定义域为，故A正确；又，所以的奇函数，则函数图象关于原点对称，故B错误，C正确；因为，又在上单调递增，在定义域上单调递增，所以在上单调递增，故D正确.故选：B9.【答案】A【分析】细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，求出细沙的体积，再设细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的高为，求出细沙的体积，由体积相等求解，则答案可求.【详解】解：细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，∴细沙的体积为.细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径r，设高为，则，得.∴.故选：A.【点睛】此题考查圆锥体积公式的应用，属于中档题10.【答案】B【分析】根据“阶准偶函数”定义，分，，三种情况分析即可得答案.【详解】解：根据题意，函数是“阶准偶函数”，则集合中恰有个元素.当时，函数有一段部分为，注意的函数本身具有偶函数性质，故集合中不止有两个元素，矛盾，当时，根据“阶准偶函数”的定义得的可能取值为或，为，故当，该方程无解，当，解得或，故要使得集合中恰有个元素，则需要满足，即；当时，函数，的取值为，为，根据题意得满足恰有两个元素，故满足条件.综上，实数的取值范围是.故选：B【点睛】本题解题的关键是根据新定义的“阶准偶函数”，将问题转化为研究函数，可能取何值，进而根据方程有两个解或求解.考查运算求解能力与综合分析能力，是中档题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】【分析】直接解不等式组得函数的定义域.【详解】由题得，所以函数的定义域是.故答案为12.【答案】【分析】由题设确定的坐标，再由三角函数的定义求.【详解】由题设知：，故.故答案为：13.【答案】①.（答案不唯一）②.（答案不唯一）【分析】根据正切函数的性质举出反例即可.【详解】如，，满足，为第二象限角，且，但是，，即，即命题为假命题，故，符合题意（答案不唯一）故答案为：；（答案不唯一）14.【答案】【分析】分类讨论代入解析式，求出的两个根为，，由且可解得结果.【详解】当时，即为，解得，当时，即为，解得，因为关于的方程有两个不同的实根，所以且，解得且，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了分段函数的应用，考查了由方程根的个数求参数的取值范围，属于基础题.15.【答案】①④【分析】根据题意作图，并尝试特殊位置，进行检验证明.【详解】对于①，如下图所示：在边长为1的正方体中，易知平面，因为点是棱上的一个动点，可设点到平面的距离为，且，则三棱锥的体积，故①正确；对于②，连接，，因为在平行四边形中，，所以不垂直，所以使得不垂直平面，所以②不正确.对于③，当点与点重合时，无论点在何位置，直线与平面相交，故③错误；对于④，根据题意，作图如下：因为正方体中，易知平面，所以，设，则，，在中，，，则该截面面积，由，当时，，故④正确；故答案为：①④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）（2）【分析】（1）由余弦定理结合已知可求得，结合三角形面积公式可得面积；（2）由余弦定理、平方关系依次求得，结合两角差的正弦公式即可求解.【小问1详解】由余弦定理可得，注意到，，，所以，即，解得，进一步；【小问2详解】由余弦定理可得，，因为，所以，而，从而.17.【答案】（1）（2），，（3），【分析】（1）根据导函数图象可得原函数单调性，知在处取得极大值，求得；（2）利用，，构造方程组可求得结果；（3）根据函数的单调性，可知，，求出函数值即可得到结果.【小问1详解】由图象可知：在上，；在上，；在上，在，上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，；【小问2详解】因为且，，，得：，解得：，，；【小问3详解】由（2）得，则，可知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，又，，，，，.18.【答案】（1）条件选择见解析，（2）单调递增区间为，，【分析】（1）由二倍角公式易得，函数为奇函数，故②不能选，若①和③同时选，不满足函数存在且唯一；选择条件①④，由相邻两条对称轴之间的距离可得周期，即得的值，由代入即可得的值；选择条件③④，由最大值得的值，进而得解析式.（2）通过公式化简可得，再根据正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】因为，则为奇函数，故②不能选，选择条件①③：因为函数的最大值为1，所以，即，因为，所以，的值不唯一，故不能选.选择条件①④：因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即，所以，因为，所以，即，所以.选择条件③④：因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即，因为函数的最大值为1，所以，即，所以.【小问2详解】因为，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，，当时，，所以，所以当，即时取得最大值，且.19.【答案】（1）证明过程见解析（2）（i）答案见解析（ii）平面，理由见解析.【分析】（1）利用线面平行的判定定理找到可证；（2）（i）选①：说明条件不能确定棱柱特点即可求解；选②③：证明平面，建立空间坐标系，求得二面角；（ii）只需证明直线与直线异面即可.【小问1详解】在四棱柱中，连结，设，连结，在中，因为、分别为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】（i）选择条件①：因为底面是正方形，所以，侧面平面，且侧面平面，平面，故平面，又平面，则，即四边形为矩形，因为，则，与选择条件①：等价，故条件不能进一步确定的夹角大小，故二面角不能确定；选择条件②：连结，因为底面是正方形，所以，又因为侧面平面，且侧面平面，平面，所以平面，又平面，所以，在中，因为，，所以，在中，因为，，所以，又平面，所以平面，又，所以如图建立空间直角坐标系，其中，，，，且，，易知为平面的一个法向量，设为平面面的一个法向量，则即.不妨设，则，可得，所以，因为二面角的平面角是钝角，设为，故，所以二面角的余弦值为.选择条件③：因为底面是正方形，所以，因为，且平面，所以平面，因为平面，所以，因为侧面平面，且侧面平面，平面，所以平面，又，所以如图建立空间直角坐标系，（下面同选择条件②）.（ii）如图所示，平面，理由如下：，与相交，所以直线与直线异面，这表明四点不共面，即平面.20.【答案】（1）（2）答案见详解（3）证明见详解【分析】（1）求出函数在处的导数值，即切线的斜率，从而可得出切线方程；（2）求出函数的导函数，分，，，四种情况讨论，根据导函数的符号即可得出函数的单调区间；（3）由（2）可得，构建，利用导数可得，对比分析即可.【小问1详解】解：当时，，，则，，所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为，即.【小问2详解】由题意可知：的定义域为，且，（i）当时，，当时，f'x<0，当时，f所以在0,+∞上递减，在上递增；（ⅱ）当时，令，则或，①当，即时，，所以函数在上递增；②当时，即时，当时，f'x<0，当和时，f'所以在上递减，在和上递增；③当时，即时，当时，f'x<0，当和时，f'所以在上递减，在和0,+∞上递增.【小问3详解】当时，由（2）可知：在0,1上递减，在1,+∞上递增，则，构建，则，当时，；当时，；可知在0,1内单调递增，在1,+∞内单调递减，则，可得，即当时，成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作