复习案08数列通项（原卷版）

复习案08数列通项【知识回顾】1.观察法根据数列的前几项求通项公式时，常用“观察、归纳、猜想、验证”的思想方法，即先找出各项相同的部分，再找出不同的部分与序号之间的关系，并用n表示出来.2.公式法（1）等差数列通项公式：（2）等比数列通项公式：3.递推公式法：利用Sn求an的关系即求通项公式步骤：(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)即可求出当n≥2时an的表达式；(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并．4.累加法：形如满足形式的数列，可用累加法求通项公式。5.累乘法：形如满足形式的数列，可用累乘法求通项公式。6.取倒数法：形如（其中，为非零常数）7.构造法（待定系数法）（1）形如：，构造（）（2）形如：，=1\*GB3①（的常数且），利用待定系数法构造新数列，，转化为，得到数列是首项为，公比为的等比数列=2\*GB3②（为常数且），两边同除以得：，构造数列是首项为，公差为的等差数列（3）形如：，（）两边同时取对数，再构造新数列.（4）形如：，构造成的形式.【重点题型剖析】题型一观察法求数列通项一、单选题1．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）数列−2,4,−263,20A．an=−1C．an=−12．（2022·江西·高三阶段练习（文））数列an中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排a1；第二行2项，从左到右分别排a2，a3；第三行3项，……，依此类推，设数列an的前n项和为Sn，则满足4，4，4×3，4，4×3，4×34，4×3，4×32，…A．20 B．21 C．25 D．273．（2022·福建省永泰县城关中学高二期中）观察图，点数所成数列的一个通项公式an=（A．3n−2 B．n2 C．n2−2n+24．（2022·陕西·西安市长安区第七中学高二阶段练习）数列12,−1A．−1n⋅12n B．−1n⋅5．（2022·广东·广州市第九十七中学高二阶段练习）下列说法正确的是（

）①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3...的一个通项公式为an③数列0，1，0，1…没有通项公式；④数列nn+1A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④6．（2022·广东佛山·高三阶段练习）若一数列为a−6，1，a6，a12，a18，…，其中a≠0，则A．不在此数列中 B．第337项 C．第338项 D．第339项7．（2022·河北·邯郸冀南新区育华实验学校高二期中）数列32,−5A．2n−12n C．(−1)n+12n+128．（2022·江苏省响水中学高二期中）数列−2,4，−6,8，A．an=(−1)C．an=(−1)二、多选题9．（2022·福建·厦门外国语学校石狮分校高二期中）已知数列2,5,A．此数列的通项公式是3n−1 B．52C．此数列的通项公式是3n+1 D．5210．（2022·河南·高二阶段练习）以下为正奇数从小到大依次排成的数阵：13

57

9

1113

15

17

19……第n行有n个数，则（

）A．该数阵第n行第一个数为nB．该数阵第n行最后一个数为nC．该数阵第n行所有数的和为nD．若数阵前n行总和不大于2023，则n的最大值为9三、填空题11．（2022·福建·莆田二中高二阶段练习）数列1，2，7，10，13，…，则22是这个数列的第______项．12．（2022·福建·德化第八中学高二阶段练习）23，415，635，863，13．（2022·上海·位育中学高二期末）数列1，3，7，15，…的一个可能的通项公式为an四、解答题14．（2020·陕西·西安市铁一中学高二期末（理））设数列{an}满足a(1)当a1=2时，求a2，a3，(2)当a1≥3时，用数学归纳法证明对所有n≥1，有五、双空题15．（2022·江苏扬州·高二期中）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列an，正方形数构成数列bn，则a10题型二公式法求数列通项一、单选题1．（2022·河南·高二阶段练习）已知数列an满足an+1=λan+1，且a1A．n B．2n−1 C．3n−2n 2．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）已知等差数列an的前n项和为Sn且S7=7,S15=75A．Tn=nC．Tn=n二、填空题3．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）已知等差数列an中a3a7=−164．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））已知数列an中，a1=2,2n5．（2022·北京·日坛中学高三阶段练习）已知等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，前n项乘积为Tn，T2=三、解答题6．（2022·山东省实验中学高三阶段练习）已知数列an满足(1)证明：数列an(2)设数列bn满足bn=lnan+1a7．（2022·陕西·乾县第二中学高二阶段练习）已知在数列an中，2an+1=an+(1)求an(2)若对任意n∈N*，不等式2n8．（2022·湖北·高三阶段练习）数列an满足a1=1(1)证明：数列an(2)若bn=1an⋅a9．（2022·广东·盐田高中高三阶段练习）记Sn为数列an的前n项和，已知(1)求an(2)若bn=an+1an10．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知数列an满足a1=2,an+1=an2an>0，记bn(1)求数列bn及d(2)求数列dnbn的前n11．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二期末（理））设数列an是等比数列，其前n项和为(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求an①Sn=2−a(2)在（1）的条件下，若bn=a3n−1，求数列b12．（2021·天津市第四十七中学高二阶段练习）已知正项等比数列an满足a1=2，2a2(1)求数列an，b(2)令cn=an⋅bn(3)设bn的前n项和为Tn13．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）已知数列an满足a1=−(1)求数列an(2)设数列bn满足3bn+n−4an14．（2023·广西·南宁二中一模（文））已知数列an满足a1=1,(1)求证：数列log2(2)设cn=bnlog2b15．（2022·天津实验中学高三阶段练习）已知数列an的前n项和Sn满足(1)求an(2)设cn=an+1an+1an+1+1，若数列cn16．（2022·湖南省桃源县第一中学高三期中）已知an为等差数列，前n项和为Snn∈N*，bn是首项为3且公比q大于0的等比数列，b(1)求an和b(2)求数列anbn的前n项和T题型三递推公式法求数列通项一、单选题1．（2019·吉林·四平市第一高级中学高二开学考试）在数列an中，已知对任意正整数n，有a1+a2A．2n−12C．4n−1 2．（2022·河南·高二阶段练习）已知数列an的前n项和Sn=1nA．13 B．−112 C．−3．（2022·新疆和静高级中学高二阶段练习）数列an的前n项和为Sn，Sn=2aA．32 B．16 C．15 D．84．（2022·四川南充·一模（理））已知数列满足a1+2a2+3a3A．20224045 B．40464047 C．40444045二、多选题5．（2022·云南·昆明市官渡区艺卓中学高三阶段练习）已知数列an满足a1+3a2+⋯⋯+2n−1an=2n，其中A．a1=2 B．数列aC．数列bn的前n项和为：Sn=2n三、填空题6．（2022·宁夏·银川市第六中学高三阶段练习（文））若数列an的前n项和为Sn=3×2n7．（2022·云南省下关第一中学高二阶段练习）数列an的前n项和Sn=n28．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知数列an的前n项和为Sn，满足Sn9．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高一期末）已知数列{an}的前n项和为S四、解答题10．（2022·江苏·南京市雨花台中学高三期中）已知公差大于0的等差数列{an}(1)求{a(2)若bn=(−1)na11．（安徽省部分学校20222023学年高三上学期12月联考数学试题）已知数列an各项均为正数，且a(1)求an(2)记数列1anan+2的前n项和为12．（2022·广西柳州·高三阶段练习（理））已知数列an的首项为a1=1，且满足nan+1=n+1(1)求an，b(2)设数列2anbn的前n项和为13．（2022·广东·高二阶段练习）已知数列an的前n项和S(1)求an(2)求数列an的前n项和T14．（2022·四川·石室中学模拟预测（理））已知Sn是数列an的前n项和，已知a1=1(1)求数列an(2)设bn=−1n4an15．（2022·福建·厦门外国语学校石狮分校高二期中）已知数列{an}的前n(1)求{a(2)求a1五、双空题16．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）若Sn数列an的前n项和，且对任意的正整数n，有Sn=2a题型四累加法求数列通项一、单选题1．（2022·广东·高二阶段练习）已知数列an满足a1=1，an+1=A．30 B．31 C．45 D．462．（2022·山西·太原师范学院附属中学高二阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则fx=x称为高斯函数.已知数列an满足a1=1，且n+1an+1−nan=2n+1，若A．4956 B．4959 C．4962 D．49653．（2022·湖南益阳·高二阶段练习）南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为1，2，5，10，17，26，37，则该数列的第20项为（

）A．324 B．325 C．362 D．3994．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知数列an满足a1=1,a2nA．31011−2023 B．31011−2025 C．5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列an满足an+1−an=2n−11，且A．15 B．14 C．11 D．66．（2022·江苏南通·高二期中）等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，数列bA．2n−3 B．2n−2 C．347．（2021·辽宁·沈阳二十中高三期中）已知数列an满足1an+1−1an=1A．10 B．11 C．12 D．138．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）已知数列an满足3anan+2−aA．163 B．165 C．1127二、填空题9．（2022·安徽·六安一中高三阶段练习）已知数列{an}满足：−1n+1an+2+10．（2022·上海徐汇·一模）在数列an中，a1=2，且a11．（2022·山西·太原师范学院附属中学高二阶段练习）已知数列an满足a1=1，a12．（2022·湖南·嘉禾县第六中学高二阶段练习）已知数列an满足a1=34，a三、解答题13．（2022·山西·高三阶段练习）已知数列an满足a1=1(1)求an(2)若数列1an的前n项和为Sn，求数列lgSn14．（2022·全国·高三专题练习）已知数列an满足a1=a2=32，(1)求数列bn(2)若bncn=4(n+1)3415．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高二阶段练习）已知等差数列an满足a3+a6=11，a6(1)求an，b(2)设cn=anb16．（2022·福建·高二期中）设数列an满足a1=0,(1)求证：数列an+1−a(2)设bn=an+2n题型五累乘法求数列通项一、单选题1．（2022·福建·莆田第六中学高二阶段练习）已知数列an满足a1=1,anA．n−1 B．1n−1 C．n D．2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，nan+1=2Sn，bn=A．0 B．50 C．100 D．25253．（2022·全国·高三专题练习）已知数列an满足a1=1,a2A．2−12 B．2−10 C．2−94．（2022·河南·鹤壁高中高二阶段练习）设数列an的前n项和为Sn，且a1=1,SA．13n−1 B．2n(n+1) C．2二、填空题5．（2022·吉林·德惠市实验中学高二阶段练习）数列{an}满足a1=16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，a17．（2022·陕西宝鸡·模拟预测（理））对给定的数列anan≠0，记bn=an+1an，则称数列bn为数列an的一阶商数列；记cn=bn+1bn，则称数列8．（2022·河南·鹤壁高中高二阶段练习）若数列an满足a1=1,三、解答题9．（2022·河北张家口·高三期中）已知正项数列an满足a(1)求数列an(2)求数列an的前n项和S10．（2022·湖南岳阳·高二期中）已知数列an的前n项和为Sn，且满足2(1)求数列{a(2)若数列1anan+2的前n11．（2022·福建·高三阶段练习）设数列an的前n项和为Sn,(1)求数列an(2)令bn=2an−112．（2022·河南新乡·一模（理））已知Sn是数列an的前n项和，a1(1)求an(2)证明：1S13．（2022·上海市松江二中高二期末）已知数列an的首项a1=1,an≠0n∈N∗，前n项和为S(1)求数列an(2)若数列bncn前n项和为Tn,(3)对于大于1的正整数q、r(其中q<r)，若5c1、cq、c14．（2022·河北·模拟预测）已知an为等差数列，a(1)求an(2)若bn=1an+4a15．（2022·陕西·府谷县府谷中学高二期中（理））在数列an中，a(1)求an(2)若bn=1anan+1题型六构造法求数列通项一、单选题1．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知数列an中，a1=2，an+1=2aA．1611 B．1811 C．202．（2022·江苏·盐城市第一中学高三阶段练习）若Sn是数列an的前n项和，已知a1=2，a2=10,且A．32023−22024+1 B．320223．（2022·全国·高三专题练习）已知数列an满足a1=3，an+1=A．80 B．100 C．120 D．1434．（2021·江苏省启东市东南中学高二期中）已知数列an中，a1=1且an+1=A．16 B．14 C．135．（2022·福建龙岩·高三期中）若Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=2，a2A．32023−2C．2×32022−6．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（文））已知数列an中，a1=4,anA．22n+1C．22n−1二、填空题7．（2021·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）已知数列{an}的首项a1=2，且满足an+1=3三、解答题8．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n(1)求数列{an}(2)设数列{cn}满足cn=an9．（2022·江苏省海州高级中学高二期中）已知数列an中，a1=2，且对任意n∈(1)求数列an(2)若bn=2n⋅an−1，求数列b10．（2022·福建省福州第八中学高二阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1(1)求a2，a3的值，并求数列(2)设bn=log2an+111．（2022·陕西·镇巴中学高二期中（文））已知数列an满足a(1)求数列an(2)求数列an的前n项和S12．（2022·安徽·长丰北城衡安学校高三开学考试）在数列an中，a1=2，a2=3，其前(1)求数列an(2)设bn=4an−1+(3)若an=cn+313．（2022·广东·肇庆市第一中学高三阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=n2+n+2(1)求an,b(2)设cn=anbn+1,数列c14．（2022·江苏·南京市第十三中学高三期中）已知正项数列an的前n项和为Sn，且a1(1)求Sn(2)求数列nan的前n项的和15．（2022·全国·高三专题练习）已知数列an满足a2=14【综合检测】数列通项综合检测卷一、单选题1．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）设an是等差数列，Sn是其前n项和，且S5A．d>0 B．S6和S7是C．S9>S2．（2023·全国·高三阶段练习）高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法.商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（

）A．464 B．465 C．466 D．4953．（2022·江苏省镇江第一中学高三阶段练习）已知正项数列an的前n项和为Sn，满足4Sn=A．1 B．54 C．3 4．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）设数列an的前n项和Sn=n2A．8 B．9 C．10 D．115．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知数列an为递减数列，其前n项和Sn=−n2A．−2,+∞ B．−∞,−2 C．2,+6．（2021·陕西咸阳·高二期中（理））已知数列an的前n项和为Sn，且2Sn=3A．3 B．−3 C．9 D．−97．（2022·江苏·苏州中学高二阶段练习）已知数列an的前n项和Sn=2n+1−2，若A．8 B．16 C．32 D．648．（2021·陕西咸阳·高二期中（文））已知数列an的前n项和为Sn，且2Sn=3A．9 B．−9 C．3 D．−3二、多选题9．（2022·四川外国语大学附属外国语学校高三期中）已知各项都是正数的数列an的前n项和为Sn，且SnA．Sn是等差数列 B．C．Sn+S10．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知数列an的前n项和为Sn，点n,Sn+3n∈N*在函数y=3×2x的图象上，等比数列A．Sn=3TC．Tn>a11．（2022·湖北·襄阳市第一中学高二阶段练习）已知数列an的前n项和Sn=A．数列anB．当且仅当n=6时，SnC．若S3=D．若Sn>0，则12．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高二阶段练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，