第10章空间直线与平面（单元提升卷）

第10章空间直线与平面（单元提升卷）（满分150分，完卷时间120分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、填空题1．已知直线和平面，若，则与的位置关系是________【答案】【详解】两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线互相平行，可以用反证法进行证明：设于点，于点，假设与不平行，则过作直线，使，在平面内取相交直线，与所成角等于与所成角，即且，是平面内的相交直线，，这样经过点有两条直线与与平面垂直，这是不可能的，所以假设不成立，可得，故答案为.2．三条不同的直线a、b、c，若，c与a、b都相交，则a、b、c三条直线能确定的平面的个数是______个．【答案】【分析】根据平面的基本性质，即可得到a、b、c三条直线能确定唯一的平面，即可得到答案.【详解】由直线，可得直线可以唯一确定一个平面，设该平面为，设，可得，因为，所以，所以a、b、c三条直线能确定的平面的个数是个.故答案为：.3．已知角的大小为150°,且异面直线分别与角的两边平行,则异面直线所成角的大小为_________.【答案】30°【分析】根据异面直线所成角的定义可知.【详解】因为异面直线分别与角的两边平行，所以角（或其补角）为异面直线所成的角，由的大小为150°知，异面直线所成角的大小为30°故答案为30°【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，所成角的范围，属于容易题.4．线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．【答案】4【分析】设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，利用梯形中位线可得.【详解】如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，且A，M，B共线，所以四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4．故答案为：45．如图，平面平面，，，是正三角形，O为的中点，则图中直角三角形的个数为______.【答案】6【解析】由面面垂直的性质定理可得：平面，再逐一判断即可得解.【详解】解：，O为的中点，.又平面平面，且交线为，平面.平面，，为直角三角形.∴图中的直角三角形有，，，，，，共6个.故答案为：6.【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，重点考查了空间想象能力，属基础题.6．如果直线与平面所成的角为，那么直线与平面内的直线所成的角的取值范围是______；【答案】【分析】由已知中一条直线与平面成角，根据“最小角定理”，可得这条直线与平面内的直线所成角中最小值为，再根据线线夹角的定义，求出条直线与平面内的直线所成角中最大值，即可求出这条直线与平面内的直线所成角的取值范围．【详解】一条直线与平面成角，则这条直线与平面内的直线所成角中，最小的角为，当两直线垂直时，最大值为故这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中确定直线与平面所成的角，是这条直线与平面内的直线所成角的最小值，是解答本题的关键．7．已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出的是______．①，且；②，且；③，且；④，且．【答案】②【分析】根据空间中线面、面面垂直的性质定理与判定定理一一判断即可；【详解】解：由，是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，知：在①中，且，则与相交、平行或，故①错误；在②中，且，由直线与平面垂直的判定定理得，故②正确．在③中，且，则与相交、平行或，故③错误；在④中，且，则与相交、平行或，故④错误；故答案为：②．8．如图，矩形ABCD的长AB=2，宽AD=x，若PA⊥平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q,使得PQ⊥BQ，则x的范围是____________．【答案】0<x≤1试题分析：由PA⊥平面ABCD，PQ⊥BQ，可得BQ⊥AQ，从而问题可转化为以AB为直径的圆与与线段CD有公共点．解：如图所示：连接AQ，因为PA⊥平面ABCD，BQ⊥PQ，BQ⊂平面ABCD，所以BQ⊥AQ，矩形的边CD上至少有一个点Q，可转化为以AB为直径的圆与与线段CD有公共点，所以圆心到CD的距离小于等于半径，即0＜x≤1．故答案0<x≤1考点：空间直线与直线的垂直关系点评：本题考查空间直线与直线的垂直关系，考查推理论证能力．9．如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，若，，则边的实际长度为___________【答案】【分析】由斜二测画法的原理作出的原图，即可求解.【详解】由斜二测画法的原理可得：，，且，所以，故答案为：.10．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的___________条件.【答案】充分非必要【分析】准确把握异面直线的定义“不同在任一平面内的两条直线”，即可得出结果.【详解】若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”⇒“这两条直线没有公共点”；反之“这两条直线没有公共点”不能推出“这两条直线为异面直线”，因为“这两条直线可能平行，可能为异面直线”；所以“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，故答案为：充分非必要.11．如图，已知平面，，，，PB=，则二面角的大小为________【答案】45°【分析】由平面，，可得，因此是二面角的平面角，利用线面垂直的性质与勾股定理可得，，即可得出二面角的大小．【详解】解：平面，平面，则又，且平面，平面，而平面，，是二面角的平面角，，，，．，PB=，．又，，二面角为.故答案为：.12．如图，平面平面，，，AB与两平面、所成的角分别为45°和30°，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、，若AB＝12，则______．【答案】6【分析】要求，需要把它放入三角形中,连接,，则在中，分别利用和求得,，进而利用勾股定理求解即可.【详解】在中,,则，在中,,则，所以在中,，故答案为：.二、单选题13．设m､n是两条不同的直线，､是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【答案】C【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A选项，，，则可能异面，A选项错误.B选项，，则与不一定平行，B选项错误.C选项，根据两条平行线中的一条直线垂直一个平面，则另一条也垂直该面，C选项正确.D选项，，，可能，D选项错误.故选：C14．在正方形中，、分别是及的中点，是的中点．现在沿、及把这个正方形折成一个空间四边形，使、、三点重合，重合后的点记为，那么，在空间四边形中必有（

）A．所在平面 B．所在平面C．所在平面 D．所在平面【答案】A【分析】注意翻折前后的角度的变与不变，根据线面垂直的判定定理、性质定理以及反证的数学思想方法逐一判断即可.【详解】对于A，在正方形中，，，所以在四面体中，，，又平面，，所以平面，故选项A正确；对于B，若平面，结合选项A，则，显然矛盾，故选项B错误；对于C，因为面，面，所以，又，平面，，所以平面，假设平面，则平面平面，显然矛盾，故选项C错误；对于D，因为面，面，所以，若平面，平面，则，平面，故，显然矛盾，故D错误；故选：A.15．在矩形ABCD中，，，平面ABCD，且.若边BC上存在两个不同的点､，使得，.则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知平面，通过线面垂直的性质得到，结合，再根据线面垂直的判定定理得到平面，所以，从而将问题转化为求以为直径的圆与边有两个交点，从而求得的范围．【详解】如图所示，若，又有平面，得到，则有平面，所以，则“边上存在两个点使得”就转化为“边上存在两个点使得，”，即以为直径的圆与边有两个交点，则圆的圆心到边的距离小于半径，即，其中，，所以，即，所以的取值范围是.故选：C16．下列说法正确的个数（

）（1）三点确定一个平面；（2）一条直线和一个点确定一个平面；（3）两条直线确定一个平面；（4）三角形和梯形一定为平面图形.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据点直线与平面的位置关系,即可判断四个选项.【详解】对于(1),当三个点在同一直线上时,三个点不能确定一个平面,所以(1)错误;对于(2),当点在直线上时,不能确定一个平面,所以(2)不正确;对于(3),当两条直线异面时,不能确定一个平面,所以(3)不正确;对于(4),三角形和梯形一定是平面图形,所以(4)正确.综上可知,正确的为(4)故选:B【点睛】本题考查了空间中点、直线与平面的位置关系,属于基础题.三、解答题17．已知是三个平面，且.（1）若，求证：a，b，c三线共点.（2）若，则a与c，b与c有什么关系？为什么？【答案】（1）见解析；（2），，见解析【解析】（1）根据平面的基本性质，即可证得三线共点，得到答案；（2）根据平面的基本性质和平行线的性质，即可证得，得到答案.【详解】（1）由题意，知，可得，，因为，可得，又由，可得，所以为与的公共点.又，所以，所以三线共点.（2）由题意，因为，所以，因为，所以，同理可证.所以.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质和平行线的性质的应用，其中解答中熟记平面的基本性质，合理推理与论证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.18.如图，在正方体中.(1)求异面直线和所成的角的余弦值；(2)求证：直线平面.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据已知，可将异面直线和所成的角转化为直线和所成的角，再根据题目的边长关系，即可完成求解；（2）可通过连接，证明四边形为平行四边形，从而得到，再利用线面平行的判定定理即可完成证明.(1)因为，所以就是异面直线和所成的角.又因为为正方体，所以异面直线和所成的角为，所以异面直线和所成的角的余弦值为.(2)连接，因为且，所以四边形为平行四边形，所以；平面，平面；所以直线平面.即得证.19．如图，长方体中中，，，，分别为棱的中点.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）先证明平面，再利用面面垂直的判定定理，即可得答案；（2）设点到平面的距离为，利用等积法，即，即可得答案；【详解】（1）在和中，，故，又，故

故，故，即，因为平面平面，所以，又，，所以平面又平面，所以平面平面（2）设点到平面的距离为，由（1）得平面，故，在中，，在中，，即故即点到平面的距离为．【点睛】本题考查空间几何点线面位置关系、线面垂直的性质和判定、面面垂直的判定、三棱锥体积的求法等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化的思想；考查直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养．20．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．(1)求证：；(2)若∠PDA＝45°，求EF与平面ABCD所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)45°【分析】（1）取PD中点G，连接AG、FG，证明四边形AEFG是平行四边形，可得，即可证明；（2）过G作，垂足为H，则，可得，根据，可得AG与平面ABCD所成的角等于EF与平面ABCD所成的角，从而可得∠GAH即为所求，从而可得出答案.(1)证明：如图，取PD中点G，连接AG、FG，∵E、F分别为AB、PC的中点，∴，且，又在矩形ABCD中，且AB＝CD，∴且AE＝GF，∴四边形AEFG是平行四边形，∴，又平面PAD，平面PAD，∴；(2)解：∵，∴AG与平面ABCD所成的角等于EF与平面ABCD所成的角，过G作，垂足为H，则，∵PA⊥平面ABCD，∴GH⊥平面ABCD，∴∠GAH为AG与平面ABCD所成的角，∵∠PDA＝45°，G为PD的中点，∴∠GAH＝45°，即EF与平面ABCD所成的角为45°．21．如图1，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E为AD的中点，将△ABE沿直线BE折起至平面PBE⊥平面BCDE（如图2），点M在线段PD上，平面CEM．(1)求证：MP＝2DM；(2)求二面角B－PE－C的大小；(3)若在棱PB、PE上分别取中点F、G，试判断点M与平面CFG的关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)90°(3)平面CFG，理由见解析【分析】（1）设