61分类加法计数原理与分步乘法计数原理（基础知识基本题型）（含解析）高二数学下学期（人教A版2019选择性）

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（基础知识+基本题型）知识点一分类加法计数原理1．概念：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．2．推广：完成一件事有类不同的方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法……在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．提示（1）分类加法计数原理中的“完成一件事情有两类不同方案”，是指完成这件事的所有方法可以分成两类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成这件事，两类中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中．（2）对问题进行“分类”时的思路首先，分类时要根据问题的特点确定一个分类标准．一般地，标准不同，分类的结果也不同．其次，分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必须属于且只能属于某一类方案．简单地说，就是应用分类加法计数原理时要做到“不重不漏”．知识点二分步乘法计数原理1．概念：完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．2．推广：完成一件事需要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法．提示（1）分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法都要分成两个步骤，在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事，这就是说，每个步骤都不足以完成这件事，两个步骤彼此间也不能有重复和遗漏．（2）对问题进行“分步”时的思路：分步时，要根据问题的特点确定分步标准，标准不同，分成的步骤数也会不同．一个合理的分步应满足：①完成这件事必须且只需连续做完所分步骤，即分别从各个步骤中选一种完成该步骤的方法，将各步骤方法依次串联在一起就得到完成这件事的一种方法；②完成任何一个步骤可选用的方法数与其他步骤选用的方法无关．简单地说，就是应用分步乘法计数原理时要做到“步骤完整”．知识点三分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别1．联系分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决有关做一件事的不同方法种数的问题，它们都是把一个原始事件分解成若干个事件来完成．2．区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事，共有类办法，关键词是“分类”完成一件事，共分步骤，关键词是“分步”区别二每类办法都能独立第完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的都是最后结果，只需一种方法就可完成这件事每一步都只是中间过程，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步就不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复知识点四应用两个计数原理解应用题的方法1．枚举法枚举法就是指完成一件事的方法种树有限，可以先一一列举出来，再一种一种地数，进而确定完成这件事共有多少种方法．有些列式困难或数目较少的问题都可以用此种方法．列表和画树形图是枚举法的常用手段．2．字典排序法字典排序法就是把所有的字母分前后，先排前面的字母，前面的字母排完后，再依次排后面的字母，最后的字母排完，则排列结束．利用字典排序法并结合分布乘法计数原理可以解决与排列顺序有关的计数问题，利用字典排序法还可以把这些排列不重不漏地一一列举出来．3．模型法模型法就是通过构造图形，利用形象、直观的图形帮助我们分析解决问题的方法．知识点五分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前明确问题中的“完成一件事”指的是什么，再仔细分析需要分类还是分步，依据是能否独立完成一件事．(1)分类要做到“补充不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”．完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理．把完成每一步的方法数相乘，得到总数．提示（1）有些计数问题既需要进行“分类”，又需要进行“分步”，此时就要注意综合运用两个计数原理解决这类问题．解决这类问题时，首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次在“分类”和“分步”的过程中，均要有明确的分类标准和分步程序．(2)在急需要分类又需要分步的题目中，可以先根据对题意的理解，合理地画出示意图（如树形图）或列出表格，使问题的实际能直观的表示出来．考点一分类加法计数原理 例1.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．【思路点拨】首要问题是搞清与正八边形有公共边的三角形有几类。【解析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类:第一类,有一条公共边的三角形共有(个)；第二类,有两条公共边的三角形共有.由分类加法计数原理知,共有(个).【总结升华】应用分类计数原理，应注意：①分类时，要按一个标准来分，最忌采用双重或多重标准分类；②每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；它的起点、终点就是完成这件事情的开始和结束；考点二、分步乘法计数原理例2.体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（）A．12种B．7种C．24种D．49种【思路点拨】首先弄明白完成一次进出门需分两步走，先进再出。【解析】错解：学生进出体育场大门需分两类，一类从北边的4个门进，一类从南侧的3个门进，由分类计数原理，共有7种方案.∴选B错因:没有审清题意．本题不仅要考虑从哪个门进，还需考虑从哪个门出，应该用分步计数原理去解题.正解：学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7×7＝49种.∴应选D．【总结升华】解决这类问题的关键是搞清分类还是分步．用分步乘法计数原理解决问题时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准；其次还要注意完成这件事情必须且只需连续完成这n个步骤后，这件事情才算圆满完成，这时才能使用分步乘法计数原理．同时，要弄清每一步骤中完成本步骤的方法种数．考点三、两个原理的对比应用例3.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？【思路点拨】欲完成从两个口袋内任取一个小球这件事，可有两类办法：从第一个口袋内取，或从第二个口袋内取，都能完成这件事，所以第（1）题可用分类加法计数原理来解．欲完成从两个口袋内各取一个小球，需分两个步骤：第一步，在第一个口袋内任取1个小球；第二步，在第二个口袋内任取1个小球，两个步骤都完成了这件事就完成了，因此第（2）题用分步乘法计数原理．【解析】（1）从两个口袋内i任取1个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，可以从5个小球中任取1个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内任取1个小球，可以从4个小球中任取1个，有4种方激根据分类加法计数原理，不同的取法有N=5+4=9（种）．（2）从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步，从第一个口袋内取1个小球，有5种方法；第二步，从第二个口袋内取1个小球，有4种方法．根据分步乘法计数原理，不同的取法有N=5×4=20（种）．【总结升华】在用两个原理解决问题时，一定要分清完成这件事，是有，l类办法还是需分成n个步骤．应用分类加法计数原理必须要求各类中的每一种方法都保证完成这件事．应用分步乘法计数原理则是需各步均是完成这件事必须经由的若干彼此独立的步骤．考点四、两个原理的综合应用例4.用数字0，1，2，3，4组成数字允许重复的三位数，其中有几个偶数？【思路点拨】组成的偶数可以有3类情况：个位数字为0、2、4，而在每一类情况中又需分二个步骤才能完成。【解析】（1）第一类：当个位数字为0时，分两个步骤：第一步确定百位上的数字，从数字：1、2、3、4中任选一个，有4种不同方法；第二步确定十位上的数字，从5个数字中任选一个，有5种不同方法；共有种不同方法。（2）第二类：当个位数字为2时，分两个步骤：第一步确定百位上的数字，从数字：1、2、3、4中任选一个，有4种不同方法；第二步确定十位上的数字，从5个数字中任选一个，有5种不同方法；共有种不同方法。（3）第三类：当个位数字为4时，分两个步骤：第一步确定百位上的数字，从数字：1、2、3、4中任选一个，有4种不同方法；第二步确定十位上的数字，从5个数字中任选一个，有5种不同方法；共有种不同方法。故不同的偶数的个数是：4×5+4×5+4×5=60（种）。【总结升华】当完成事件中既有分类也有分步时，一般先分类，然后再在每一类中分步。考点五、枚举法例5.某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情形有（）．A．3种B．4种C．5种D．6种【思路点拨】可题意列方程组，讨论方程组的解，求得非负整数解的组数即为问题的解，考虑到所给解答的范围较小（≤6），故可用枚举法，分类讨论．【解析】设该队胜z场，平y场，负z场，且x、y、z是非负整数，则．因为不考虑胜、平、负的顺序，所以问题转化为求此方程组的不同非负整数解的组数．解法一：由②式，得y=3(11－x)，代入①式，整理，得x=2(x－9)．由0≤y≤15，0≤z≤15，可知．所以这个不等式组的解为9≤x≤11．因为x是非负整数，即x最多只能取9，10，11三个值，对应的y值也只能取6，3，0三个值，对应的z值也只能取0，2，4三个值，从而由①②组成的方程组有且只有三组不同的非负整数解．故选A．解法二：由②式，得．因为x是非负整数，所以y必须是3的倍数．将上式代入①，得．因为z≥0，y≥0且都是整数，所以可知y的值只能取0，3，6三种情况，对应着：只能取4，2，0，z只能取11，10，9，即方