（旧知复习）第1讲四则运算与运算律（教师版）

2024年人教版数学四升五暑假衔接培优精讲练过关讲义（知识梳理+易错精讲+真题拔高卷）第1讲四则运算与运算律知识点01：.加、减法的意义和各部分间的关系1.加、减法的意义（1）把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。在加法中，相加的两个数叫做加数，加得的数叫做和。（2）已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。在减法中，已知的和叫做被减数，减号后面的数叫做减数，减得的数叫做差。（3）减法是加法的逆运算。2.加、减法各部分间的关系（1）加法各部分间的关系：和=加数+加数，加数=和一另一个加数。（2）减法各部分间的关系：差=被减数一减数，减数=被减数差，被减数=减数+差。（3）由加、减法各部分间的关系，我们可以根据一个加法算式写出两个减法算式，也可以根据一个减法算式写出一个加法算式和一个减法算式。知识点02：.乘、除法的意义和各部分间的关系1.乘、除法的意义（1）求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。在乘法中，相乘的两个数叫做因数，乘得的数叫做积。（2）已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。在除法中，已知的积叫做被除数，其中一个因数叫做除数，求出的另一个因数叫做商。（3）除法是乘法的逆运算。2.乘、除法各部分间的关系（1）乘法各部分间的关系：积=因数×因数因数=积÷另一个因数（2）除法各部分间的关系：商=被除数÷除数除数=被除数÷商被除数=商×除数3.有关0的运算（1）一个数加上0，还得原数；一个数减去0，还得原数；被减数等于减数，差是0；一个数和0相乘，仍得0；0除以一个非0的数，还得0。（2）注意：0不能作除数。知识点03：括号1.四则运算我们学过的加、减、乘、除四种运算统称四则运算。2.有括号的混合运算的顺序（1）一个算式里，有小括号的要先算小括号里面的，再算小括号外面的。（2）一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。3.解决租车、租船等最省钱问题解决此类问题时，可以先假设（如假设全租大船，或假设全租小船），然后再根据计算结果进行调整。知识点04：.加法运算定律1.加法交换律（1）两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。这叫做加法交换律。用字母表示：a+b=b+a。（2）加法交换律中变化的只是两个加数的位置，不变的是这两个加数及它们的和。2.加法结合律三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。这叫做加法结合律。用字母表示；：（a+b）+c=a+（b+c）。3.运用加法运算定律进行简便计算在计算几个数连加的算式时，可以利用加法交换律和加法结合律，使计算简便。4.连减的简便计算（1）一个数减去几个数的和，可以从这个数里依次减去各个加数。用字母可表示：a（b+c）=abc。（2）一个数连续减去几个数，可以先把所有的减数加起来，再从被减数里减去所有减数的和。用字母可表示：abc=a（b+c）。知识点05：.乘法交换律1.乘法交换律两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。这叫做乘法交换律。用字母表示：a×b=b×ag2.乘法结合律三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。这叫做乘法结合律。用字母表示：（a×b）×c=a×（b×c）。3.乘法分配律（两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。这叫做乘法分配律。用字母表示：（a+b）×c=a×c+b×c知识点06：乘法及连除的简便计算1.同一道乘法算式的不同简算方法：计算某些特殊的乘法算式时，可以将其中一个因数折分成两个数的积，再运用乘法交换律和乘法结合律来进行简算；也可以将其中一个因数折分成两个数的和，再运用乘法分配律来进行简算。2.连除的简便计算（1）一个数连续除以两个数，可以改为除以两个数的积。用字母可表示为：a÷b÷c=a÷（b×c）。（b‡0，c‡0）（2）一个数除以两个数的积，可以改为连续除以这两个数。用字母可表示为：a÷（b×c）=a÷b÷c。（b‡0，c‡0）易错点01：加法和减法的混淆在验算加法时，孩子们可能会忘记使用减法来检查答案，即和减去一个加数是否等于另一个加数。在进行减法运算时，可能会混淆被减数、减数和差的概念。易错点02：乘法和除法的理解在乘法运算中，孩子们可能会忘记0乘以任何数都得0，或者1乘以任何数都得原数。在除法运算中，孩子们可能会忘记0不能做除数，或者混淆被除数、除数和商的关系。易错点03：混合运算的优先级在进行四则混合运算时，孩子们可能会忘记运算的优先级，即先乘除后加减。在有括号的算式里，孩子们可能会忘记先算括号里面的内容，再算括号外面的内容。易错点04：符号的误用在运算过程中，孩子们可能会误用加号、减号、乘号和除号，导致运算结果错误。易错点05：整数运算的进位和借位在进行整数加法和减法时，孩子们可能会忘记进位或借位，导致计算错误。易错点06：理解题目的不准确在解决应用题时，孩子们可能会误解题目的意思，导致选择错误的运算方法。易错点07：加法运算定律的易错点加法交换律：学生可能会忘记加法的交换律，即两个数相加时，交换加数的位置，和不变。例如，学生可能会认为5+3不等于3+5。加法结合律：学生可能会在三个数相加时，错误地改变加数的组合顺序，导致计算结果错误。例如，学生可能会将(2+3)+4误算为2+(3+5)。易错点08：乘法运算定律的易错点乘法交换律：与加法类似，学生可能会忘记乘法的交换律，即两个数相乘时，交换因数的位置，积不变。例如，学生可能会认为2×3不等于3×2。乘法结合律：在三个数相乘时，学生可能会错误地改变因数的组合顺序，导致计算结果错误。例如，学生可能会将(2×3)×4误算为2×(3×5)。乘法分配律：这是乘法运算定律中的一个重要部分，但学生常常会出现误解。乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把积相加。学生在应用这个定律时，可能会漏掉某个数与另一个数的相乘，或者错误地将某个数与和相乘。例如，学生可能会将(2+3)×4误算为2×4+3，或者2×4+3×4误算为(2+3)×(4+4)。易错点09：运算顺序的易错点在进行四则运算时，学生可能会忘记运算的优先级，即先乘除后加减。这会导致学生在计算时出错。括号的使用也是学生容易出错的地方。在有括号的算式里，学生可能会忘记先算括号里面的内容，再算括号外面的内容。检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：42（较难）一．慎重选择（共5小题，满分5分，每小题1分）1．（1分）（2024春•新市区校级期中）下列说法中错误的是（）A．一个数加上原数还得原数。 B．一个数和零相乘得0。 C．0除一个数得0。【思路分析】0和任何数相乘等于0；0不能做除数。0除以任何一个数（0除外），都得0。【规范解答】解：0除以任何一个数（0除外），都得0，0不能作除数。因此选项C说法错误。故选：C。【考点评析】本题考查了0的乘除运算。2．（1分）（2024春•庐江县校级期中）老师上课时用如图证明运算律，老师要证明的是（）A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律【思路分析】先分别计算两个长方形的面积，相加后求出总面积；因为宽相等，还可以把两个长方形合并成一个长方形计算面积。【规范解答】解：两个长方形的面积之和为6×3+4×3，组合在一起的大长方形的面积是（6+4）×3，所以（6+4）×3＝6×3+4×3，证明的是乘法分配律。故选：C。【考点评析】熟练掌握乘法分配律是解答本题的关键。3．（1分）（2024春•桑植县期中）数学课上，同学们用画图的方式说明乘法分配律（4+5）×3＝4×3+5×3，下面（）同学的说法是正确的。①买3副手套和3条围巾一共多少钱？②这个大长方形的面积是多少平方厘米？③原来可可和小易相距多少千米？④围3个这样的长方形框架需要多少厘米的铁丝？A．①②③ B．②③④ C．①② D．①②③④【思路分析】根据乘法分配律的意义，两个数的和与一个相乘，可以把这两个加数分别与这个数相乘，然后把两个积相加，结果不变，这叫作乘法分配律，据此对4个选项的说法进行判断；据此解答。【规范解答】解：①求买3副手套和3条围巾需要多少钱，可以列算式为：4×3+5×3＝（4+5）×3，符合乘法分配律；②求大长方形的面积是多少，用小长方形面积加上大长方形的面积，列式为：4×3+5×3＝（4+5）×3，符合乘法分配律；③求原来可可和小易相距多少米，根据路程＝速度×时间，可以列式为：4×3+5×3＝（4+5）×3，符合乘法分配律；④求围3个长方形需要多少厘米铁丝，把3个长方形的面积相加即可；（4+5）×2×3，不符合题干说法。所以①②③同学的说法是正确的。故选：A。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握乘法分配律的意义及应用。4．（1分）（2024春•房县期中）下面乘法分配律运用错误的是（）A．102×76＝（100+2）×76＝100×76+2×76＝7752 B．39×61+39×39＝39×（61+39）＝39×100＝3900 C．34×72+66×28＝（34+66）×（72+28）＝100×100＝10000 D．12×97+3×12＝12×100【思路分析】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。如a×（b+c）＝a×b+a×c。【规范解答】解：A．102×76＝（100+2）×76＝100×76+2×76＝7600+152＝7752B．39×61+39×39＝39×（61+39）＝39×100＝3900C．34×72+66×28，不能运用乘法分配律进行简算。D．12×97+3×12＝12×（97+3）＝12×100＝1200则乘法分配律运用错误的是34×72+66×28＝（34+66）×（72+28）＝100×100＝10000。故选：C。【考点评析】乘法分配律是常用的运算定律，要熟练掌握并灵活运用。5．（1分）（2021春•博白县期中）下面有关“0”的说法，正确的是（）A．0除以一个数，还得0 B．被减数与减数相等，差是0 C．任何数与0相乘或相加，仍得0【思路分析】根据乘法法则，除法法则，减法法则即可作出选择。【规范解答】解：A.0除以一个数，还得0，应该为0除以一个非0的数，还得0；故选项错误；B.被减数与减数相等，差是0；说法正确；C.任何数与0相乘或相加，仍得0，应该为任何数与0相乘得0，任何数与0相加，得原数；故选项错误。故选：B。【考点评析】本题考查了有关0的运算，是基础题，注意：0不能做除数。二．仔细想，认真填（共8小题，满分19分）6．（2分）（2024春•郧阳区期中）如果△+89＝89，那么△＝0；如果□÷25＝0，那么□×25＝0。【思路分析】根据0和任何数相加都得这个数；0除以一个非0的数，结果是0；0和任何数相乘都得0。【规范解答】解：如果△+89＝89，那么△＝0；如果□÷25＝0，那么□×25＝0。故答案为：0；0。【考点评析】熟练掌握乘与除的互逆关系，是解答此题的关键。7．（5分）（2024春•郧阳区期中）如图，是我们已经学过的乘法竖式计算，在计算的过程中运用了我们本学期学习的乘法分配律。请结合乘法分配律，解决下面的问题。（1）把12分拆成2和10；（2）先算2×35＝70；（3）再算10×35＝350；（4）最后算70+350＝420；（5）改写成横式是：35×12＝2×35+10×35。【思路分析】计算35×12时，先用12个位上的2乘35，再用12十位上的1乘35，再将两个积相加。也就是将12拆成2+10，分别用2和10乘35，再相加。根据乘法分配律（a+b）×c＝a×c+b×c进行解答即可。【规范解答】解：（1）把12分拆成2和10；（2）先算2×35＝70（3）再算10×35＝350（4）最后算70+350＝420（5）改写成横式是：35×12＝2×35+10×35。故答案为：（1）12，2，10；（2）2，35，70；（3）10，35，350；（4）70，350，420；（5）2，35，10，35。【考点评析】本题考查两位数乘两位数的计算法则。8．（3分）（2024春•庐江县校级期中）根据运算律填空。（263+42）+58＝263+（42+58）25×37×4＝37×（25×4）（8+22）×125＝8×125+22×125【思路分析】第1题根据加法结合律填空；第2题根据乘法交换律和乘法结合律填空；第3题根据乘法分配律填空。【规范解答】解：（263+42）+58＝263+（42+58）；25×37×4＝37×（25×4）；（8+22）×125＝8×125+22×125。故答案为：42；263；58；25；4；8；125；22；125。【考点评析】熟练掌握整数加法结合律、乘法交换律、结合律和乘法分配律，是解答本题的关键。9．（2分）（2024春•丹江口市期中）在一道减法算式中，被减数+减数+差＝300，其中减数是80，被减数是150，差是70。【思路分析】根据减法各部分之间的关系，被减数＝减数+差，被减数+减数+差＝300，则被减数+被减数＝300，用300÷2即可求出被减数，再根据减数是80，用被减数减减数即可求出差，据此填空即可。【规范解答】解：被减数＝300÷2＝150150﹣80＝70答：被减数是150，差是70。故答案为：150，70。【考点评析】加、减法的意义和各部分间的关系。10．（1分）（2024春•陇县期中）把算式2400﹣90÷3×15的运算顺序改成先算除法，最后算乘法，那么原式应改为（240﹣90÷3）×15。【思路分析】根据题意，原式先算乘除法，再算乘法，最后算减法；要想先除法，最后算乘法，把减法和除法用小括号括起来，即可解答。【规范解答】解：把算式2400﹣90÷3×15的运算顺序改成先算除法，最后算乘法，那么原式应改为（240﹣90÷3）×15。【考点评析】考查了括号的作用，能改变算式的运算顺序。11．（4分）（2024春•临县期中）计算（96﹣16×4）÷4时，应该先算小括号里面的乘法，再算小括号里面的减法，最后算括号外面的除法，结果是8。【思路分析】计算（96﹣16×4）÷4时，应该先算小括号里面的乘法，再算小括号里面的减法，最后算括号外面的除法，据此解答。【规范解答】解：计算（96﹣16×4）÷4时，应该先算小括号里面的乘法，再算小括号里面的减法，最后算括号外面的除法；（96﹣16×4）÷4＝（96﹣64）÷4＝32÷4＝8故答案为：小括号里面的乘，小括号里面的减，括号外面的除，8。【考点评析】考查了整数四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，然后再进一步计算。12．（1分）（2022春•广阳区期末）227﹣153＝74，401+74＝475，475÷25＝19．将这三个分步式子合并为综合算式，正确的是：[401+（227﹣153）]÷25．【思路分析】根据题意，先算227﹣153的差，再用401加上所得的差，所得的和再除以25，然后再进一步解答．【规范解答】解：227﹣153＝74，401+74＝475，475÷25＝19．将这三个分步式子合并为综合算式是：[401+（227﹣153）]÷25．故答案为：[401+（227﹣153）]÷25．【考点评析】列综合算式，先弄清运算顺序，然后再列式解答．13．（1分）（2021春•苏州期中）小明把买玩具的钱交给售货员后，售货员告诉他还差108元．因为他把商品单价个位上的0看丢了．那么这种玩具的实际价钱是120元．【思路分析】根据题意，把商品标价个位的0给去掉了，实际价格是小明交的钱数的10倍，还应再交108元，也就是与实际的差是108，由差倍公式求出商品单价个位上的0看丢了后的价格，再乘倍数10即可．【规范解答】解：根据题意，由差倍公式可得：108÷（10﹣1）＝108÷9＝12（元）12×10＝120（元）答：这种玩具实际的价格是120元．故答案为：120．【考点评析】根据题意，求出两个数的差与倍数的关系，根据差倍公式进一步解答即可．三．判断正误（共5小题，满分5分，每小题1分）14．（1分）（2024春•辰溪县期中）35÷7＝5（个），表示把35分成7份，每份是5个。×（判断对错）【思路分析】把一个数平均分成若干份，求每份是多少，用除法计算。原题没有说明是平均分，所以说法错误。据此判断。【规范解答】解：35÷7＝5（个），表示把35平均分成7份，每份是5个。原题没有说明是平均分，所以说法错误。故答案为：×。【考点评析】每份分得同样的多叫作平均分。除法就是用来解决平均分问题的。15．（1分）（2024春•衡山县期中）如果〇÷△＝□，那（△×□）÷〇＝1。√（判断对错）【思路分析】如果〇÷△＝□，根据被除数＝商×除数，可知△×□＝〇，然后再代入（△×□）÷〇求出结果进行解答。【规范解答】解：如果〇÷△＝□，那么△×□＝〇；（△×□）÷〇＝〇÷〇＝1原题正确。故答案为：√。【考点评析】考查了除法各部分名称之间的关系的运用。16．（1分）（2024春•确山县期中）计算25×5×75×5，依据乘法分配律简算，写成（25+75）×5。×（判断对错）【思路分析】连乘不能运用乘法分配律，所以原题说法错误。【规范解答】解：25×5×75×5是连乘运算，不能运用乘法分配律简算，所以原题说法错误。故答案为：×。【考点评析】此题考查乘法运算定律的运用。掌握乘法分配律是解答的关键。17．（1分）（2024春•东莞市期中）根据：△×□＝〇（〇、△、□均不为0），可得：〇÷△＝□。√（判断对错）【思路分析】乘数×乘数＝积，积÷一个乘数＝另一个乘数，据此判断。【规范解答】解：△×□＝〇，△和□是乘数，〇是积，所以根据积÷一个乘数＝另一个乘数，可得〇÷△＝□，因此，该说法正确；故答案为：√。【考点评析】本题考查了乘除法各部分之间的关系。18．（1分）（2023春•陈仓区期末）125×4×25×8＝（125×8）+（25×4）．×（判断对错）【思路分析】125×4×25×8运用乘法交换律和结合律，即4和8交换，然后125和8结合，25和4结合，应该等于（125×8）×（25×4），据此判断．【规范解答】解：125×4×25×8＝（125×8）×（25×4）＝1000×100＝100000；这是运用了乘法交换律和结合律；所以题干说法错误．故答案为：×．【考点评析】此题考查学生对乘法分配律与乘法交换律和结合律的理解和掌握情况，不能混为一谈．四．计算能手（共2小题，满分21分）19．（9分）（2024春•陇县期中）直接写出得数。48+352＝100﹣5×4＝56×78×0＝28÷7×5＝125÷1000＝12×7＝2.09×1000＝450÷5＝6÷10×1000＝【思路分析】根据两位数乘两位数、一位数除多位数以及千以内加减法的计算法则进行计算即可。【规范解答】解：48+352＝400100﹣5×4＝8056×78×0＝028÷7×5＝20125÷1000＝0.12512×7＝842.09×1000＝2090450÷5＝906÷10×1000＝600【考点评析】本题考查两位数乘两位数、一位数除多位数以及千以内加减法的计算。注意计算的准确性。20．（12分）（2024春•桑植县期中）计算下面各题，能简便的用简便方法计算。（1）720+280÷140+360（2）9600÷（85﹣70）﹣15（3）705+224÷（85﹣69）（4）525÷[（81﹣56）×3]（5）1.82×99+1.82（6）125×88【思路分析】（1）先计算除法，再按从左到右的顺序依次计算；（2）先计算小括号里的减法，再计算小括号外的除法，最后计算小括号外的减法；（3）先计算小括号里的减法，再计算小括号外的除法，最后计算小括号外的加法；（4）先计算小括号里的减法，再计算中括号里的乘法，最后计算中括号外的除法；（5）利用乘法分配律进行简便计算；（6）88＝8×11，再用乘法结合律进行简便计算。【规范解答】解：720+280÷140+360＝720+2+360＝722+360＝10829600÷（85﹣70）﹣15＝9600÷15﹣15＝640﹣15＝625705+224÷（85﹣69）＝705+224÷16＝705+14＝719525÷[（81﹣56）×3]＝525÷[25×3]＝525÷75＝71.82×99+1.82＝1.82×（99+1）＝1.82×100＝182125×88＝125×（8×11）＝125×8×11＝1000×11＝11000【考点评析】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算。注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算律简便计算。五．实际应用（共10小题，满分51分）21．（5分）（2024春•高邮市期中）长阳动物园的门票价格规定如下表。购票人数/人1～5051～100100以上每人票价/元403530某小学四年级同学去春游。一班有48人，二班有52人，三班有45人。（1）三个班分别购票各需付多少元？（2）如果三个班合起来购买，一共需要多少元？【思路分析】（1）用一班和三班的人数分别乘40，二班的人数乘35，即可求出三个班分别购票各需付多少元。（2）将三个班的人数相加，再乘30，即可求出如果三个班合起来购买，一共需要多少元。【规范解答】解：（1）48×40＝1920（元）52×35＝1820（元）45×40＝1800（元）答：一班购票需要1920元，二班购票需要1820元，三班购票购票需要1800元。（2）（48+52+45）×30＝145×30＝4350（元）答：如果三个班合起来购买，一共需要4350元。【考点评析】本题考查两位数乘两、三位数的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。22．（4分）（2024春•庐江县校级期中）电商扶贫开启中国农村振兴之路，去年石集村利用农村电子商务销售特色农产品286万元，今年比去年少销售32万元。两年共实现销售收入多少万元？【思路分析】先用286﹣32求出今年的销售额，再加上去年的销售额，就是两年的总销售额。【规范解答】解：286﹣32+286＝254+286＝540（万元）答：两年共实现销售收入540万元。【考点评析】本题考查了1000以内数的加减混合运算。23．（6分）（2024春•鼓楼区校级期中）水果批发市场的葡萄价格情况如下表：购买数量/千克1～3031～5050以上单价/（元/千克）161413三个批发商一起去批发这种葡萄，李老板批发35千克，王老板批发28千克，陈老板批发40千克。（1）三个批发商单独批发，各需多少元？（2）三个批发商合起来批发，一共需要多少元？比单独批发的总钱数少多少元？【思路分析】（1）李老板批发35千克，单价为14元/千克；王老板批发28千克，单价为16元/千克；陈老板批发40千克，单价为14元/千克；再根据单价×数量＝总价，分别求出各自的总价即可；（2）三个批发商合起来批发，数量超过50千克，单价为13元/千克，再把他们三个批发商批发的质量合起来再乘13；再把三个批发商单独批发的钱数减去合起来批发的钱数即可。【规范解答】解：（1）35×14＝490（元）28×16＝448（元）40×14＝560（元）答：李老板需490元，王老板批需448元，陈老板需560元。（2）（35+28+40）×13＝103×13＝1339（元）（490+448+560）﹣1339＝1498﹣1339＝159（元）答：三个批发商合起来批发，一共需要1339元，比单独批发的总钱数少159元。【考点评析】考查了单价、数量和总价之间的关系的运用。24．（5分）（2024春•鼓楼区校级期中）五一劳动节来临之际，公司准备给150名员工每人发放一箱牛奶，一箱牛奶58元。准备8000元，够吗？【思路分析】用员工的人数乘一箱牛奶的价钱，即可求出150箱的价钱，再与8000进行比较，即可解答。【规范解答】解：150×58＝8700（元）8700＞8000答：准备8000元，不够。【考点评析】本题考查两位数乘三位数的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。25．（5分）（2024春•南阳期中）修路队修一条公路，第一天修了178米，第二天修了225米，还剩下422米没修，这条公路全长多少米？【思路分析】根据整数加法的意义列出算式178+225+422，再根据加法交换律和结合律简便计算即可求解。【规范解答】解：178+225+422＝178+422+225＝825（米）答：这条公路全长825米。【考点评析】考查了整数的加法，关键是熟悉这条公路全长＝修了的长度+还剩的长度。26．（5分）（2023春•扶沟县校级期中）文具店上午卖出14支钢笔，下午卖出6支同样的钢笔，该文具店的钢笔下午比上午少卖了120元，每支钢笔的价格是多少元？【