24圆的方程（六种常考题型）

2.4圆的方程（六种常考题型）知识点1圆的标准方程1．圆的定义圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合．2．圆的标准方程我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程．3．几种特殊位置的圆的标准方程条件方程形式过原点圆心在原点圆心在x轴上圆心在y轴上圆心在x轴上且过原点圆心在y轴上且过原点与x轴相切与y轴相切知识点2点与圆的位置关系点与圆的位置关系：（1）点在圆外；（2）点在圆上；（3）点在圆内.知识点3圆上的点到定点的最大、最小距离设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为:（1）若点在圆外,则;（2）若点在圆上,则;（3）若点在圆内,则.综上,.知识点4圆的一般方程1．圆的一般方程当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程．2．对方程的说明对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表：条件图形不表示任何图形表示一个点表示以为圆心,以为半径的圆题型一 圆的标准方程1．已知圆C的标准方程为，则圆心C的坐标为________，圆的面积为________．【答案】【分析】由圆的标准方程直接得出圆心和半径，进而得圆的面积.【详解】圆C的标准方程为,则圆心，半径，故圆的面积．故答案为：，．2．已知圆经过点，且圆心在直线上运动，求当半径最小时的圆的标准方程为_______________【答案】【分析】设出圆心，表达出半径，配方求出最小值，从而得到圆心和圆的标准方程.【详解】设圆心，则半径为，故当时，取得最小值为，此时圆心为，故当半径最小时的圆的方程为.故答案为：3．直线l平分圆的周长的充要条件是直线l的方程为__________．【答案】或【分析】过原点的直线一定平分圆的周长，故可得答案.【详解】直线l平分圆的周长，则直线l必过原点.所以直线l的方程为或.故答案为：或4．若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】首先得到圆心坐标，即可得到圆心在直线上，从而求出参数的值.【详解】圆的圆心为，因为直线是圆的一条对称轴，所以圆心在直线上，所以，解得.故选：A5．圆心在y轴上，半径为5，且过点，则圆的标准方程为_______．【答案】或.【分析】设圆的方程为，将点代入圆的方程，求得的值，即可求解.【详解】由题意，设圆的方程为，因为点在圆上，可得，解得b＝0或b＝－8，所以所求圆的方程为或.故答案为：或.6．若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是___________【答案】【分析】由题意，先求得线段的中点坐标，再求得直线的斜率为即可.【详解】解：圆的圆心为，圆的圆心为，则线段的中点为，因为圆和圆关于直线对称，所以，所以直线的方程是，即，故答案为：7．已知圆的圆心在轴上，半径长为，且过点的圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设圆心坐标，圆心到圆上一点距离等于半径1得到，即得圆的标准方程.【详解】设圆心，则半径，解得：，所以圆的标准方程为，故选：D.8．已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得圆的圆心坐标和半径，再求得关于的对称点，得到圆的圆心坐标，进而求得圆的方程.【详解】由题意知,圆的圆心与关于直线对称，且两圆半径相等，因为圆，即，所以圆心，半径为，设圆关于直线对称点为，则，解得，即，所以圆的方程为，即.故选：A.9．已知圆C的一条直径的两个端点是分别是和，则圆的标准方程是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据条件求出圆心与半径写出圆的方程.【详解】因为圆C的一条直径的两个端点是分别是和，所以圆心为，直径为，所以圆的标准方程是.故选：C.10．已知直线过定点P，线段MN是圆的直径，则（

）A． B．3 C．7 D．9【答案】C【分析】求出定点P，圆心及半径，利用向量的运算可得，即可求值.【详解】直线可化为：，由解得，所以直线过定点，圆的圆心为,半径为，所以,所以，故选：C11．动直线平分圆的周长，则的最小值（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意，动直线过圆的圆心，则，代入所给式子并变形，利用基本不等式求解.【详解】由题意，动直线过圆的圆心，则，又，则，当且仅当且，即时，等号成立，故的最小值为.故选：D.题型二 圆的一般方程12．已知点四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为______．【答案】3【分析】待定系数法求得过的圆的方程为，从而可得，解得，再根据两点距离公式即可求解.【详解】设过的圆的方程为：，，则，解得，所以过的圆的方程为：.又因为点在此圆上，所以，解得，所以点D到坐标原点O的距离为.故答案为：13．求圆关于直线的对称圆方程.【答案】【分析】求出已知圆的半径和圆心坐标，再求出其圆心关于直线对称的点的坐标，则可求对称圆的方程.【详解】由可得，故圆心坐标为，半径为1，设点P关于直线的对称点为，则有，解得，故，所以圆关于直线的对称圆的方程为：.14．圆的圆心为坐标为_____________，半径为_________.【答案】【分析】将圆的方程化为标准方程即可得出答案.【详解】将化为标准方程，得，所以圆心坐标为，半径为.故答案为：；15．已知圆心的坐标为（2，3），一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则这个圆的一般方程为________.【答案】x2+y24x+6y=0【分析】依题意可判断出圆恰好过原点，从而可求出圆的半径，圆的标准方程，再化为一般方程即可.【详解】因为直径所对的圆周角是直角，所以圆恰好过原点，故半径为，所以圆的标准方程为，化为一般方程为x2+y24x+6y=0.故答案为：x2+y24x+6y=016．若l是经过点和圆的圆心的直线，则l在y轴上的截距是________．【答案】【分析】将圆的方程化为标准方程得出圆心，进而根据直线的两点式方程，化简即可得出答案.【详解】将圆化为标准方程可得，，所以圆心为.代入直线的两点式方程，整理可得.所以，l在y轴上的截距是.故答案为：.17．经过，，三点的圆的方程为_____________【答案】【分析】由题意可设出圆的一般方程，用待定系数法可解得圆的方程为.【详解】设圆的一般方程为，将三点代入可得，解得；所以圆的方程为，即故答案为：18．过三点的圆的一般方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设出圆的一般方程，代入点坐标，计算得到答案.【详解】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程，整理可得，解得，故所求的圆的一般方程为，故选：D．19．若圆的圆心到直线的距离为，则实数a的值为（

）A．0或2 B．0或2C．0或 D．2或2【答案】A【分析】将圆的方程化为标准方程得出圆心，进而表示出圆心到直线的距离，结合已知条件，列出关系式，求解即可得出答案.【详解】将圆的方程化为标准方程为：，所以，圆心为，半径.因为圆心到直线的距离为，所以，，即，所以，所以或.故选：A.20．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程.【详解】设圆的方程为，由题意知,圆过点，和，所以，解得，所以所求圆的方程为.故选：A题型三 二元二次方程与圆21．若方程表示的曲线是一个圆，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】根据圆的一般方程的性质可得到不等式，解不等式即可解得实数的取值范围．【详解】因为方程表示的曲线是一个圆，所以有，解得，所以实数的取值范围为．故答案为：．22．若表示圆，则实数的值为______.【答案】【分析】依题意可得，解得，再代入检验.【详解】因为表示圆，所以，解得或，当时方程，即，不表示任何图形，故舍去；当时方程，即，表示以为圆心，为半径的圆，符合题意；故答案为：23．（多选题）下列方程不是圆的一般方程的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据二元二次方程表示圆条件，逐项判定，即可求解。【详解】根据二元二次方程表示圆的条件，对于A中，方程，可得，所以方程是圆的一般方程；对于B中，方程，可得，所以方程不是圆的一般方程；对于C中，方程中，和的系数不相等，所以方程不是圆的一般方程；对于D中，方程中，存在项，所以方程不是圆的一般方程.故选：BCD.24．（多选题）已知曲线（

）A．若，则C是圆B．若，，则C是圆C．若，，则C是直线D．若，，则C是直线【答案】BC【分析】根据圆的一般方程对选项一一判断即可.【详解】对于A，当时，，若，则C是圆；若，则C是点；若，则C不存在.故A错误.对于B，当时，，且，则C是圆，故B正确.对于C，当时，，且，则C是直线，故C正确.对于D，当，时，，若，则表示一元二次方程，若，则表示抛物线，故D错误.故选：BC25．已知方程表示圆.(1)求的取值范围.(2)求该圆半径的最大值.【答案】(1)或；(2).【分析】(1)根据给定条件结合圆的一般式方程表示圆的充要条件列式计算作答.(2)求出圆的半径的函数关系结合由(1)的结论，再求函数最大值作答.（1）因方程表示圆，则有，整理得：，解得，而，则有或，所以的取值范围是或.（2）由(1)知或，圆的半径，当且仅当，即或时取“=”，所以圆半径的最大值为.26．若圆与轴有公共点，则实数m的取值范围是______．【答案】【分析】先求出圆的圆心坐标及其半径，利用该圆与轴有公共点列不等式即可求解.【详解】圆C的标准方程为，依题意有，解得，故答案为：.27．已知关于x，y的二元二次方程，当t为________时，方程表示的圆的半径最大．【答案】【分析】变换得到，得到，，得到答案.【详解】即，，解得，设圆的半径为r，则，所以当时，，所以．故答案为：．28．圆的半径的最大值为______.【答案】/【分析】化为圆的标准方程求出半径，根据的范围利用抛物线的单调性可得答案.【详解】由可得，当表示圆，即解得的取值范围是，半径为，是开口向下对称轴为的抛物线，在单调递增，在单调递减，所以时最大值为.故答案为：．29．（多选题）方程（，不全为零），下列说法中正确的是（

）A．当时为圆B．当时不可能为直线C．当方程为圆时，，满足D．当方程为直线时，直线方程【答案】ACD【分析】对于A、B、D可直接代值确定，对于C，展开化简，根据圆的方程的特点判断.【详解】对于A，由题可得或，代入得或，都是圆，故A对；对于B，当时，化简得是直线，故B错；对于C，原式可化为，要表示圆，则必有，故C对；对于D，只有时，方程表示直线，故D对.故选：ACD.30．“方程表示的图形是圆”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据圆的一般式表示圆的条件判断即可．【详解】解：由方程表示的图形是圆，可得，即；由，得，显然Ü，所以“方程表示的图形是圆”是“”的必要不充分条件．故选：B．题型四 点与圆的位置关系31．（多选题）过四点中的三点的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】可以把点代入圆的方程，验证点是否在圆上，再判断各选项.【详解】对于A，点在圆上，故A正确；对于B，点在圆上，故B正确；对于C，点都不在圆上，故C错误；对于D，点都不在圆上，故D错误；故选：AB.32．写出圆心为,半径为5的圆的标准方程,并判断点是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？【答案】答案见解析【分析】将点的坐标代入圆的方程，验证是否在这个圆上．根据点到圆心的距离判断该点在圆外还是在圆内.【详解】圆心为,半径为5的圆的标准方程是．把点的坐标代入方程的左边,得,左右两边相等,点的坐标满足圆的方程,所以点在这个圆上．把点的坐标代入方程的左边,得,左右两边不相等,点的坐标不满足圆的方程,所以点不在这个圆上．又因为点到圆心A的距离．故点在圆内．33．已知为圆外一点，则实数的取值范围为________.【答案】【分析】整理得到圆的标准方程，由题设及圆的性质可得，，计算即可求解.【详解】整理得，圆，因为点在圆外，所以，化简得，解得．故答案为：34．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由方程表示圆的条件以及点到圆心的距离大于半径求解即可【详解】圆，则圆，圆心，半径，点在圆的外部，，即，解得，综上所述，实数的取值范围是.故选：B.35．点与圆的位置关系是（

）．A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定【答案】C【分析】由点到原点距离与圆半径大小比较，即可判断点、圆位置关系.【详解】因为，所以点在圆外．故选：C36．若点在圆的内部，则a的取值范围是（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果.【详解】由题可知，半径，所以，把点代入方程，则，解得，所以故a的取值范围是.故选：D37．已知集合，，则集合中含有的元素有（

）A．零个 B．一个 C．两个 D．无数个【答案】C【分析】根据题意可得集合表示的是圆及其内部，从而可得到中含有的元素个数．【详解】由集合表示的是圆及其内部，则，所以集合中含有的元素有两个．故选：C．38．点与圆的位置关系是（

）A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定【答案】C【分析】点到圆心的距离大于半径，点在圆外.【详解】因为，所以点在圆外，故选：C39．（1）已知的三个顶点分别为，，，求的外接圆的方程．（2）已知点在圆：外，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据三点确定一个圆，把三点坐标代入圆的一般式列方程求解即可；（2）根据圆的一般式条件及点在圆外分别建立m的不等式，解之即可求得．【详解】（1）解：设的外接圆的方程为，由，解得，故的外接圆的方程为．（2）解：若方程表示圆，则，解得，根据点在圆外，可得，则，．题型五 与圆有关的轨迹问题40．点是圆上的动点，点是(为原点)的中点，则动点的轨迹方程为_____．【答案】【分析】设，根据题意得到，结合圆的标准方程，即可求解.【详解】由点是圆上的动点，可得，因为点是(为原点)的中点，可得，设，则点的轨迹表示以原点为圆心，半径为的圆，所以动点的轨迹方程为.故答案为：.41．点与两个定点，的距离的比为，则点的轨迹方程为______．【答案】【分析】设出动点，利用条件得到，再化简即可得到结果.【详解】设点，由题知，两边平方化简得，即，所以点的轨迹方程为.故答案为：.42．在平面直角坐标系中，动点到点的距离是到点的距离的2倍，则的面积的最大值为________．【答案】【分析】设，由题知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，可求出点到直线的距离最大值为半径，即可求出的面积的最大值.【详解】设，由题知动点到点的距离是到点的距离的2倍，所以，即，化简整理得：，故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，，点到直线的距离最大值为半径，的面积的最大值为.故答案为：43．在平面直角坐标系中，已知点，点在圆上运动，则线段AP的中点的轨迹方程是______．【答案】【分析】由几何性质计算即可.【详解】

如图所示，取OA中点D，连接DQ，则DQ为的一条中位线，，即有DQ∥OP，且，故Q在以D为圆心，DQ长为半径的圆上，所以Q的轨迹方程为.故答案为：.44．如图，已知点A(1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.

【答案】【分析】首先判断点是的重心，代入重心坐标公式，利用代入法，即可求点的轨迹方程.【详解】设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心，由A(1，0)，B(1，0)，令动点C(x0，y0)，则D(2x01，2y0)，由重心坐标公式得，则代入，整理得故所求轨迹方程为.45．在平面直角坐标系xOy中，若点在直线上，则当a，b变化时，直线OP的斜率的取值范围是___________.【答案】【分析】将点代入直线上得到的轨迹圆，数形结合法求直线OP的斜率的取值范围.【详解】由题设，则，所以在以为圆心，1为半径的圆上，如图，当与圆相切时，直线OP的斜率出现最值（最大、最小），当与圆上方相切，则，故，此时OP斜率为，结合圆的对称性，与圆下方相切，OP斜率为，由图知：直线OP的斜率的取值范围是.故答案为：46．已知线段AB的端点B的坐标为，端点A在圆C：上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．【答案】，点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆【分析】设点P，点A，由中点坐标公式可得.代入圆的方程，整理即可得出，即可得出答案.【详解】设点P的坐标为，点A的坐标为，又，且P为线段AB的中点，所以，则.因为点A在圆C：上运动，即有，代入可得，，整理可得，化为标准方程可得.所以，中点P的轨迹方程为，该轨迹为以为圆心，1为半径的圆.47．已知，，动点M满足，则点M的轨迹方程是______．【答案】【分析】设，根据两点间的距离公式以及已知条件化简，即可得出答案.【详解】设，则，.因为，所以，，整理可得，，即.所以，点M的轨迹是圆，方程为.故答案为：.48．已知，若动点满足，则的最大值是（

）A．18 B．9 C．3 D．【答案】A【分析】设，根据距离公式得到的轨迹方程，方法一：根据数量积的坐标表示得到，根据的取值范围求出的最大值；方法二：设线段的中点为，则，再求出，即可得解.【详解】设，因为，所以，化简得，法一：因为，，所以，又，所以，即的最大值为.法二：设线段的中点为，则，因为，又，所以的最大值为.故选：A.49．在中，，D是以BC为直径的圆上一点，则的最大值为（

）A．12 B． C． D．【答案】A【分析】画出图分析，将的最大值转化为点到圆上一点距离的最大值求解即可.【详解】如图：

取BC，BD中点E，G，可知，且，取BE的中点O，则G为圆O上一点，所以最大值为，故的最大值为12.故选：A.题型六 定点到圆上点的最值（范围）50．点在圆上，点，则的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】可判断在圆外，则，计算即可．【详解】圆的圆心，半径为，由于在圆外，．故选：D.51．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线对应的直线方程为x+y=2，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”问题中的最短总路程为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】先求得点P关于直线x+y=2的对称点为，再由“将军饮马”问题中的最短总路程为求解.【详解】解：如图所示：设点P关于直线x+y=2的对称点为，则，解得，即，所以，则“将军饮马”问题中的最短总路程为.故选：C52．已知动点的轨迹方程为，定点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取，连接，，确定，变换得到，计算得到答案.【详解】如图所示：取，连接，，则，

故，故，，当三点共线且在线段上时等号成立，故选：C53．已知圆，则圆上的点到点距离的最大值为_____.【答案】6【分析】求出圆心到点的距离加上半径即为圆上的点到点距离的最大值.【详解】因为圆的方程为，所以圆心坐标为，半径,又圆心到点的距离为，所以圆上的点到点的距离的最大值为，故答案为：654．已知平面向量，满足，，则的最大值为________.【答案】20【分析】不妨设，，可求得，计算，表示圆上的点，表示（其中），由圆的性质可得最大值．【详解】不妨设，，则则，即，，取，，，设点在圆上，表示，因此的最大值为，从而最大值为．故答案为：20.55．已知实数满足，则的最大值为__________．【答案】/【分析】设点，则问题转化为圆上一点与圆外一点之间距离的最大值的平方，根据点与圆的位置关系求解即可.【详解】方程整理得，设点，即点是圆上一点又点在圆外，所以，则