专题02大题专攻（一）（统计统计案例）2022年高考数学二轮提素养高分进阶新方案（新高考专版）

专题02大题专攻（一）（统计、统计案例）目录题型一：用样本估计总体题型二：独立性检验题型三：线性回归分析题型四：非线性回归分析应用体验精选好题做一当十题型一：用样本估计总体1．（2021·河南平顶山·高三月考（文））党的十九大明确把精准扶贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，为了坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位要开展精准扶贫，此帮扶单位为了了解某地区贫困户对其所提供帮扶的满意度，随机调查了40个贫困户，得到贫困户的满意度评分如下：贫困户编号评分贫困户编号评分贫困户编号评分贫困户编号评分1781188217931932731286228332783811395237233754921476247434815951597259135846851678266636777791788278037818841882288338769631976297439851086208930824089现用系统抽样法从40个贫困户满意度评分中抽取容量为10的样本，且在第一段内随机抽到的样本数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本数据；（2）计算所抽到的10个样本数据的均值和方差；（3）在（2）条件下，若贫困户的满意度评分在之间，则满意度等级为“级”.试应用样本估计总体的思想，现从（1）中抽到的10个样本为“级”的贫困户中随机地抽取2户，求所抽到2户的满意度评分均“超过80”的概率（参考数据：，，）【答案】（1）答案见解析；（2）均值为83，方差为33；（3）．【详解】（1）把40户按编号顺序分成10组，每组4户，第一段抽取的是4号，由此可得所抽取的10户的各编号，从而得样本数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89．（2），33；（3）由（2），满意度等级为“级”在上，共有5个：84，86，78，83，78，任取两个，共有事件，，，，，，，，，共10个，其中都超过80的有，，三个，所求概率为．2．（2021·全国·高三专题练习）中国人民解放军装甲兵学院（前身蚌埠坦克学院），建校至今为我国培养了一大批优秀的军事人才.在今年新入学的学生中，为了加强爱校教育，现在从全体新入学的学生中随机的抽取了100人，对他们进行校史问卷测试，得分在45~95之间，分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为新人学的学生校史问卷测试分数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）求；（ii）在某间寝室有6人，求这6个人中至少有1人校史问卷测试分数在90.8分以上的概率.参考数据：若，则，，，，，.【答案】（1），；（2）（i）；（ii）.【详解】（1）由题意得各组的频率依次为0.1，0.25，0.4，0.15，0.1，则平均数；方差.（2）（i）由（1）得，，故学生校史问卷测试分数近似服从正态分布，则.（ii），故随机抽取一名学生，测试分数在90.8分以上的概率为0.0228.设“这6个人中至少有1入校史问卷测试分数在90.8分以上”为事件，则，故这6个人中至少有1入校史问卷测试分数在90.8分以上的概率为0.13.利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据（1）平均数反映了数据取值的平均水平;标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大,越不稳定;标准差、方差越小,数据的离散程度越小,越稳定.(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.题型二：独立性检验1．（2021·四川·成都七中高三期中（理））某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为.现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（单位：件），且每件产品都有各自生产线的标记.产品件数一等品二等品总计甲生产线乙生产线总计（1）请将列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关?（2）为进一步了解产品出现等级差异的原因，现将样本中所有二等品逐个进行技术检验（随机抽取且不放回）.设甲生产线的两个二等品恰好检验完毕时，已检验乙生产线二等品的件数为，求随机变量的分布列及数学期望.参考公式：.【答案】（1）答案见解析；（2）分布列见解析，数学期望为2.（1）由题意可得，一共抽样50个，产量之比为，按分层抽样抽取，故甲生产线抽取，乙生产线抽取，故甲生产线抽取一等品402=38，乙生产线抽取二等品107=3，填表如下：产品件数一等品二等品总计甲生产线3840乙生产线310总计455所以，故有97.5％把握认为产品的等级差异与生产线有关（2）依题意得，检验顺序的所有可能为甲甲乙乙乙，甲乙甲乙乙，乙甲甲乙乙，甲乙乙甲乙，乙甲乙甲乙，乙乙甲甲乙，甲乙乙乙甲，乙甲乙乙甲，乙乙甲乙甲，乙乙乙甲甲，共10种可能.的所有可能取值为：0，1，2，3.故，，，，则的分布列为：0123P所以2．（2021·河北·唐山市第十中学高三期中）学习强国是中宣部主管的一个网络学习平台，内容丰富，免费学习且无广告干扰，深受广大干部群众喜爱．某县教育局为了解本县教师在学习强国上的学习情况，随机抽取了30名男教师与30名女教师，统计这些教师在某一天的学习积分．得到如下茎叶图，把得分不低于30分的教师称为学习活跃教师，否则称为学习不活跃教师．（1）指出这30名男教师学习积分的中位数；（2）由茎叶图完成下面列联表，并回答是否有90％的把握认为“是否是学习活跃教师与性别有关”；男教师女教师合计活跃不活跃合计（3）把这60名教师中学习活跃教师的频率作为全县教师（人数很多）学习活跃的概率，从全县教师中随机抽取100人，记学习活跃教师的人数为，求．参考公式：临界值表：【答案】（1）36（2）填表见解析；没有（3）60（1）这30名男教师学习积分的中位数为．（2）列联表如下：男教师女教师合计活跃201636不活跃101424合计303060∵，∴没有90％的把握认为“是否是学习活跃教师与性别有关”．（3）全县教师学习活跃的概率为，从全县教师中随机抽取100人，，故．3．（2021·河南·高三月考（文））2021年某社区的服务人员在微信群中举办了“垃圾分类，从我做起”的生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，同时调查人员调查了本小区某月每户家庭的日均垃圾分拣量（单位：斤），并得到如下的频率分布直方图.（1）若家庭日均垃圾分拣量在斤的恰好有32户，则该小区共有住户约多少户？（2）假设该社区平均每户有人，现对本社区全部居民是否了解垃圾分类进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢垃圾分类占男性居民的，女性居民中不喜欢垃圾分类占女性居民的.问：在犯错误的概率不超过的前提下，能否认为居民是否喜欢垃圾分类与性别有关？附：，.【答案】（1）户（2）在犯错误的概率不超过的前提下，能认为居民是否喜欢垃圾分类与性别有关（1）解：依题意，由频率分布直方图可知，，所以，所以家庭日均垃圾分拣量在斤的频率为，又家庭日均垃圾分拣量在斤的恰好为户，故该社区共有住户约户.（2）由（1）可估计该社区的总人数为人，则列联表如下：不喜欢人数喜欢人数合计男女合计则，故在犯错误的概率不超过的前提下，能认为居民是否喜欢垃圾分类与性别有关.独立性检验的步骤(1)根据样本数据制成列联表;(2)由公式计算(3)比较与临界值的大小关系作统计推断题型三：线性回归分析1．（2021·全国·高三月考）击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花（或一小物件）；另有一人背着大家或蒙眼击鼓（桌子、黑板或其他能发出声音的物体），鼓响时众人开始传花（顺序不定），至鼓停止为止．此时花在谁手中（或其座位前），谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共10组，玩击鼓传花，（前五组）组号与组内女性人数统计结果如表：1234522334（Ⅰ）女性人数与组号（组号变量依次为1，2，3，4，5，…）具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数；参考公式：（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，从10组中随机抽取3组，求若3组中女性人数不低于5人的有组，求的分布列与期望；（Ⅲ）游戏开始后，若传给相邻的人得1分，间隔人传得2分，每击一次鼓传一次花，得1分的概率为0.2，得2分的概率为0.8．记鼓声停止后得分恰为分的概率为，求．【答案】（Ⅰ）从第8组开始女性人数不低于男性人数；（Ⅱ）分布列见解析，；（Ⅲ）.【详解】（Ⅰ）由题可得，，．则，，∴，当时，，∴预测从第8组开始女性人数不低于男性人数．（Ⅱ）由题可知的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，则的分布列为0123∴.（Ⅲ）在得分为分的基础上再传一次，则得分可能为分或分，记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，事件与为对立事件．∵，，∴，∴．2．（2021·全国·模拟预测）2020年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利．某市积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收，某商家统计了7个月的月广告投入（单位：万元）与月销量（单位：万件）的数据如表所示：月广告投入/万元1234567月销量/万件28323545495260（1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明，并求关于的线性回归方程；（2）根据（1）的结论，预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破70万件．参考数据：，，．参考公式：相关系数；回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．【答案】（1）相关系数，线性回归模型能够很好地拟合与的关系；；（2）9.04万元．【详解】（1）由题意，知，∴．结合，可得，相关系数，显然与的线性相关程度相当高，从而线性回归模型能够很好地拟合与的关系．易知，，∴．∴关于的线性回归方程为．（2）若月销量突破70万件，则，解得．故当月广告投入大于9.04万元时，月销量能突破70万件．3．（2021·全国·高三专题练习）某工厂引进新的生产设备，为对其进行评估，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（1）为评估设备对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量和原料中的该材料含量之间的相关关系，现取了8对观测值，求与的线性回归方程.附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；②参考数据：，，，.（2）为评判设备生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判(表示相应事件的概率)；①；②；③.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.（3）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.从样本中随意抽取2件零件，再从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数的数学期望【答案】（1）；（2）设备M的性能等级为丙级；（3）.【详解】（1），，；（2），，，，，，，，，设备M的性能等级为丙级；（3）样本中直径小于等于的共有2件，直径大于的零件共有4件，所以样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06.由题意可知从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，其中次品数设为Y1，则，于是；从样本中随意抽取2件零件其次品数设为Y2，由题意可知Y2的分布列为：Y2012P故.则次品总数Y的数学期望.题型四：非线性回归分析1．（2021·福建·泉州科技中学高三月考）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每一列､每一个粗线宫（）内的数字均含1﹣9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.（1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度（秒）与训练天数（天）有关，经统计得到如表的数据：（天）1234567（秒）990990450320300240210现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率.参考数据（其中）18450.370.55参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】（1），经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒；（2）.【详解】（1）由题意，，令，设关于的线性回归方程为，则，则.∴，又，∴关于的回归方程为，故时，.∴经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒.（2）设比赛再继续进行局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，由题意知，最多再进行4局就有胜负.当时，小明胜，∴；当时，小明胜，∴；当时，小明胜，∴.∴小明最终赢得比赛的概率为.2．（2021·陕西渭南·高三月考（理））某保险公司根据官方公布的历年营业收入，制成表格如下：表1年份2011201220132014201520162017201820192020年份序号x12345678910营业收入y（亿元）0.529.3633.6132352571912120716822135由表1，得到下面的散点图：根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型（b和a是待定参数）来拟合和的关系.这时，可以对年份序号做变换，即令，得，由表1可得变换后的数据见表2.表21491625364964811000.529.3633.6132352571912120716822135（1）根据表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到个位数）；（2）根据（1）中得到的回归方程估计2021年的营业收入，以及营业收入首次超过4000亿元的年份.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：.【答案】（1）；（2）估计2021年的营业收入约为2518亿元，估计营业收入首次超过4000亿元的年份为2024年.【详解】（1），，故回归方程为.（2）2021年对应的t的值为121，营业收入，所以估计2021年的营业收入约为2518亿元.依题意有，解得，故.因为，所以估计营业收入首次超过4000亿元的年份序号为14，即2024年.3．（2021·重庆市实验中学高三开学考试）某电器企业统计了近年的年利润额（千万元）与投入的年广告费用（十万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令，，得到相关数据如表所示：1515（1）从①；②；③三个函数中选择一个作为年广告费用和年利润额的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；（2）根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程；（3）预计要使年利润额突破亿，下一年应至少投入多少广告费用？结果保留到万元参考数据：参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为【答案】（1）选择回归类型更好；（2）；（3）下一年应至少投入万元广告费用．【详解】（1）由散点图知，年广告费用和年利润额的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，所以选择回归类型更好．（1）对两边取对数，得：，即，由表中数据得：，，，年广告费用和年利润额的回归方程为．（3）由（2）知：，令得：，解得：，，（十万元），十万元万元下一年应至少投入万元广告费用．应用体验精选好题做一当十一、解答题1．（2021·全国·模拟预测）2021年7月24日，中国选手杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，为中国代表团揽入本界奥运会第一枚金牌.受奥运精神的鼓舞，某射击俱乐部组织200名射击爱好者进行一系列的测试，并记录他们的射击技能分数（单位：分），将所得数据分成7组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）求这200名射击爱好者中射击技能分数低于60分的人数；（2）从样本中射击技能分数在的射击爱好者中采用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进一步进行射击训练，记抽取的3人中射击技能分数不低于70分的人数为，求的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）分布列答案见解析，数学期望：（1）由频率分布直方图可知，射击技能分数低于60分的频率为，所以这200名射击爱好者中射击技能分数低于60分的人数为.（2）由频率分布直方图可知，射击技能分数在，，的频率分别为0.2，0.4，0.2，由分层抽样的知识知抽取的8名射击爱好者中，射击技能分数不低于70分的人数为，则射击技能分数低于70分的人数为.所以X的所有可能取值为1，2，3，；；；X的分布列为X123P所以.2．（2021·四川成都·高三月考（理））书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．附参考数据：若，则①；②；③．【答案】（1）74；（2）；（3）分布列见解析；期望为．【详解】解：（1）根据频率分布直方图得：．（2）由题意知，．（3）由于，和的频率之比为：，故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，随机变量的取值可以为0、1、2、3，，，，，的分布列为：01233．（2021·全国·高三月考）距离高考还有不到四十天的时间，不少学校取消了高三的体育课，并且每个星期将考试安排的满满当当.当然，有不少同学老师觉得在紧张备考的冲刺阶段上上体育课流一身汗可以达到身心放松､拥有更饱满的精力投入学习的效果，因此他们认为补充回体育课是非常有必要的.另外也有部分老师学生认为应该适当减少考试次数让学生多有针对性的填补考试中发现的知识点漏洞.诸位领导对此议论纷纷.（1）现校长对老师同学们进行“是否想上体育课与希望减少考试次数的关系”的调查，以随机抽样的方法，抽取人.请你根据表中数据，补全下列列联表，并判断是否有的把握认为想上体育课与希望减少考试次数有关；想考试不想考试合计想上体育课不想上体育课合计（2）将（1）中频率视为概率，若从高三年级师生中随机抽取人，设其中“不想上体育课且要考试”的人数为随机变量，求的分布列与期望.附：，其中.【答案】（1）列联表答案见解析，没有的把握认为想上体育课与希望减少考试次数有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【详解】（1）根据题意，可得列联表如下：想考试不想考试合计想上体育课不想上体育课合计可得，所以没有的把握认为想上体育课与希望减少考试次数有关.（2）由（1）列联表知：不想上体育课且想考试的同学占样本总数的频率为，既概率为，可得随机变量，且，所以，，，，所以的分布列为：所以.4．（2021·河南·高三月考（文））某社区对居民参加体育活动进行随机调查，参与调查的岁以下和岁以上的（含岁）人数如下表：岁以下岁以上（含岁）男性居民女性居民（1）判断能否有的把握认为参加体育活动与性别有关；（2）用分层抽样方法，在岁以上（含岁）的居民中抽取人，再从这人中随机抽取人，求所抽取的人中男性和女性各人的概率.附：，其中.【答案】（1）有的把握认为参加体育活动与性别有关；（2）.【详解】解：（1）由已知得列联表：岁以下岁以上（含岁）总计男性居民女性居民总计所以.所以有的把握认为参加体育活动与性别有关.（2）记“所抽取的人中男性和女性各人”为事件用分层抽样方法，在岁以上（含岁）的居民中抽取人，男性居民应抽取人，记作，，，，女性居民应抽取人，记作，.含有的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共个，其中男､女各人的基本事件有，，，，，，，共个，由古典概型的概率公式.5．（2021·湖南·高三月考）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指数(，缩写)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工(编号)的身髙和体重数据，并计算得到他们的值(精确到0.1)如下表：编号12345678(近似值)22.323.228.320.323.523.725.516.6（1）现从这8名员工中选取2人进行复检，记抽取到值为“正常”员工的人数为，求的分布列及数学期望.（2）某调查机构分析发现公司员工的身高和体重之间有较强的线性相关关系，调查员甲对这8人的体检数据进行分析，计算得出该组数据的线性回归方程为，且根据回归方程预报一名身高为的员工体重为，计算得到的其他数据如下：，（i）求的值及抽取8人体重数据的平均值；（ii）调查员乙代替甲继续数据处理时，发现编号为8的员工体重数据有误，应增加，其身高数据无误，请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预报一名身高为的员工的体重.附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，.【答案】（1）分布列见解析，期望为；（2）（i），（ii），.【详解】（1）由表格中的的数据可知，8名员工中数值为“正常”的员工由5人，所以随机变量的可能取值为，可得，所以随机变量的分布列为：012所以期望为.（2）（i）根据回归方程的预估一名身高为的员工的体重为，所以，可得，所以线性回归方程为，因为样本中心一定在回归直线上，可得.（ii）由（i）知更正前的数据为，因为，所以，更正后的数据为，所以，，所以，所以，故更正后的线性回归方程为，当时，可得，所以重新预估一名身高为的员工的体重为.6．（2021·全国全国·高三月考）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人．萌宠机器人的语音功能让它像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容，它同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新，萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎．为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数()与孩子的喜爱程度()进行统计调查，得到如下数据表：345670.450.500.600.650.70（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程：（2）计算变更，的相关系数（计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强，（，，相关性很强，，，相关性一般，，，相关性很弱）参考数据：，，．参考公式：，，相关系数．【答案】（1）；（2），可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强．【详解】（1）由表知，．，，，，所以关于的线性回归方程为．（2）由（1）知，，，因为，所以，所以．由此可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强．7．（2021·全国·高三专题练习）“十四五”是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，乘势而上开启全面建设社会主现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年，实施时间为2021年到2025年．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额和年盈利额数据进行分析，建立了两个函数模型：；，其中，，，均为常数，为自然对数的底数令，经计算得如下数据：，，，，，，，，，，问：（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？（2）根据（1）的选择及表中数据，建立，关于的回归方程（系数精确到0.01）（3）若希望2021年盈利额y为500亿元，请预测2021年的研发资金投入额为多少亿元？（结果精确到0.01）附：①相关系数r＝回归直线中：，参考数据：，．【答案】（1）模型的拟合程度更好；（2）；（3）亿元．【详解】（1）为了判断两个函数模型：；，拟合程度，只需要判断两个函数模型，拟合程度即可．设和的相关系数为，和的相关系数为，由题意，，显然，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好．（2）先建立关于的线性回归方程，由得，，即，，，所以关于的线性回归方程为，即，所求回归方程为：，（3）若2021年盈利额为500亿元，即为，，，解得：，所以2021年的研发资金投入量约为亿元．8．（2021·山东肥城·模拟预测）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．现该企业为了了解年研发资金投入额(单位：亿元)对年盈利额(单位：亿元)的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近年年研发资金投入额和年盈利额的数据．通过对比分析，建立了两个函数模型：①；②，若对于任意一点，过点作与轴垂直的直线，交函数的图象于点，交函数的图象于点，定义：，，若则用函数来拟合与之间的关系更合适，否则用函数来拟合与之间的关系．（1）给定一组变量，对于函数与函数，试利用定义求，的值，并判断哪一个更适合作为点中的与之间的拟合函数；（2）若一组变量的散点图符合图象，试利用下表中的有关数据与公式求与的回归方程，并预测当时，的值为多少．表中的，附：对于一组数据，，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，【答案】（1）；；函数更适合；（2）；．【详解】（1）对于函数，当分别取时对应的函数值为，此时对于函数，