专题31函数概念及其表示

专题3.1函数概念及其表示【知识储备】1．函数的概念一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．必备技巧函数的概念(1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数只需判断定义域和对应关系即可.一、单选题1．若函数的定义域M＝{x|}，值域为N＝{y|}，则函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，故错误；C中图象不表示函数关系，因为存在一个对应两个，不满足函数定义；D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}.只有中的定义域和值域满足题意，且表示函数关系，符合题意.故选：B.2．设，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合到的函数关系的有(

)个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】由函数的定义知，①不能表示集合到的函数关系，因为图中y的范围是[0，2]；②不能表示集合到的函数关系，因为图中y的范围是[0，2]；③不能表示集合到的函数关系，因为对于一个x，可能有两个y值与之对应；④能表示集合到的函数关系.故满足题意的有④，共1个.故选：A.3．函数＋的定义域为（

）A． B．(－∞，3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞) D．(3，＋∞)【来源】黑龙江省绥化市第一中学20202021学年高一上学期期中考试数学试题【答案】C【解析】要使函数＋有意义，则所以，解得且，所以函数＋的定义域为∪(3，＋∞).故选：C.4．下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】B【解析】A中，的定义域为，的定义域为R，故A错误；B中，，B正确；C中，的定义域为R，的定义域为，故C错误；D中，的定义域为，由可得的定义域为，D错误.故选：B5．已知函数与x的值对应如下表，x12345651015202530那么函数的定义域为（

）A． B． C． D．【来源】广西普通高中20212022学年高二6月学业水平考试数学试题【答案】A【解析】由题意知：函数的定义域为.故选：A.6．下列关于函数与区间的说法正确的是（

）A．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集B．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了C．数集都能用区间表示D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应【答案】D【解析】对于A，函数的定义域和值域均为非空数集，A错误；对于B，若函数的定义域和值域均为，对应法则可以是，也可以是，B错误；对于C，自然数集无法用区间表示，C错误；对于D，由函数定义可知，一个函数值可以有多个自变量值与之对应，D正确.故选：D.7．已知函数，则的值是（

）．A． B．0 C．1 D．20【来源】广西十八校20212022学年高一10月联考数学试题【答案】B【解析】，则故选：B8．已知函数，则等于（

）A． B． C． D．0【来源】安徽省皖北县中联盟20212022学年高一上学期12月联考数学试题【答案】D【解析】由题意，函数，令，解得，令，可得.故选：D.9．已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（

）A．3 B．8 C．9 D．16【来源】陕西省西安市阎良区20212022学年高二下学期期末数学试题【答案】C【解析】根据题意设，则，因为，所以，解得，所以，所以，故选：C10．已知，函数，若，则（

）A．0 B．2 C．5 D．6【来源】吉林省吉林市2022届高三第四次调研测试数学（理）试题【答案】B【解析】因为，所以，故选：B11．函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【来源】专题06函数的图像（讲义）2023年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）【答案】C由题意，函数，因为，即函数的图象过点，可排除A、B项；又因为，可排除D项，故选：C.12．设函数，则的值为（

）A． B． C． D．18【答案】B【解析】，故选：B13．某高中生周末自主学习时，进行了一次数学探究活动，他将一天的日期与星期用有序数对表示，比如某个月10日，11日是周末，就分别用和表示，然后在平面直角坐标系内描出对应的点.他查阅了某年七月份的日历，利用数学软件在平面直角坐标系内描出了31个点，经过思考，他构造了函数，使得这些点都在的图象上，若，则下列叙述正确的是（

）A．该月12日是星期二，有五天是星期二 B．该月12日是星期一，有四天是星期二C．该月23日是星期六，有五天是星期六 D．该月23日是星期二，有四天是星期二【来源】安徽省阜阳市20212022学年高三上学期期末教学质量统测文科数学试题【答案】C【解析】由题意及可知，7月4日是星期一，列表如下：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日12345678910111213141516171819202122232425262728293031可知选项C正确.故选：C.14．设函数fx=x2+2x,x≤0−xA． B． C． D．【答案】B【解析】令，，则1°时，，则无解．2°时，，∴，∴时，，则；时，无解综上：.故选：B．15．已知函数，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数，且，当时，，即，解得或，当时，，无解，综上：，所以，故选：A16．设函数，若是函数的最小值，则实数a的取值范围是(

)A．[﹣1，2] B． C． D．[0，2]【答案】D【解析】由题意，不妨设，，①当时，由一元二次函数的性质可知，在上单调递增，故对于，，这与是函数的最小值矛盾；②当时，，，由一元二次函数的性质可知，在单调递减，故对于，，当时，在时取得最小值2，从而当时，满足是函数的最小值；③当时，由一元二次函数性质，在上单调递减，故对于，，当时，在时取得最小值，若使是函数的最小值，只需且，解得，.综上所述，实数a的取值范围是.故选：D.17．已知函数在上有最大值，那么实数的取值范围为（

）A．（0，1） B．（1，2） C． D．【答案】D【解析】由题意可知在区间上是增函数，在区间上是减函数，且最大值在处取得则∴.故选：D18．定义在R上的函数满足，当时，，当时，，则（

）A．336 B．338 C．337 D．339【来源】江西省宜春市奉新县第一中学20202021学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】B【解析】：因为当时，，所以，（1），（2），又因为，所以函数的周期为6，（6），当时，，所以（3），（4），（5），所以（1）（2）（3）（4）（5）（6），故（1）（2）（3）（1）．故选：B．19．设函数，则的表达式为（

）A． B．C． D．【来源】安徽省六安市第一中学20212022学年高一上学期期中数学试题【答案】B【解析】令，则可得所以，所以故选：B20．已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】作出，在上的图象如下图所示：

因为在上恒成立，所以的图象在的图象的上方（可以部分点重合），且，令，所以，所以，根据图象可知：当经过点时，有最小值，，当经过点时，有最大值，，综上可知的取值范围是，故选：C.二、填空题21．已知函数对于任意的正实数x，y满足，且，则=______．【来源】黑龙江省哈尔滨第九中学校2022届高三下学期第四次模拟考试文科数学试题【答案】4【解析】由题可知，．故答案为：4.22．函数，则=_______．【来源】甘肃省兰州市教育局第四片区20212022学年高二下学期期中考试数学试题【答案】##2011.5【解析】∵，且∴故答案为：．23．已知函数．若，则m=______．【来源】山东省德州市20212022学年高二下学期期末数学试题【答案】3【解析】由已知．，，故答案为：3．24．设函数，若，则实数的值为_____．【来源】2.4.2函数的表示（培优讲义）2022年初升高数学无忧衔接【答案】【解析】由题意知，；当时，有，解得(舍去)；当时，有，解得(舍去)或．所以实数的值是：．故答案为：.25．已知函数，则_____.【来源】湖南省永州市第二中学20212022学年高一上学期10月月考数学试题【答案】#1.125【解析】∵，，因此，.故答案为：.26．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.【来源】辽宁省沈阳市第二中学20212022学年高二下学期期末数学试题【答案】【解析】函数的定义域为，即，所以，所以，即，所以函数的定义域为.故答案为：.27．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是__________．【答案】【解析】的定义域是R，则恒成立，时，恒成立，时，则，解得，综上，．故答案为：．28．函数，若恒成立，则实数的取值范围为__________．【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校20212022学年高二下学期期末考试数学试题【答案】【解析】当时，，当且仅当即时取等号，函数，若恒成立，则，即，解得，故答案为：.29．若方程，若方程无解，则实数t的取值范围是______．【来源】上