专题01集合集合间的关系集合的运算（课时训练）2

专题一集合、集合间的关系、集合的运算1．（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（

）（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据集合中元素的确定性判断可得答案.【详解】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合.故选：C.2．（2023·全国·高一假期作业）已知集合，，则（）A． B．或 C． D．【答案】D【分析】由元素与集合关系分类讨论，结合元素的互异性判断即可.【详解】∵，∴或．若，解得或．当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，集合，满足题意，故成立．若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．综上所述，．故选：D．3．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）若，则a2020+b2020的值为（

）A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1【答案】C【分析】根据即可求出a，b的值，然后即可求出a2020+b2020的值.【详解】∵，根据集合中元素的性质可得：∴，解得a=﹣1，b=0，∴a2020+b2020=（﹣1）2020+0=1.故选：C.4．（2023·全国·高三专题练习）集合的元素个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意利用列举法写出集合A中的元素即可得出答案．【详解】集合，所以集合的元素个数为9个．故选：B．5．（2023·全国·高一假期作业）给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】结合数的分类判断即可.【详解】是有理数，是无理数，均为实数，①正确，②错误；，为自然数及有理数，③④正确.故选：C.6．（2023·全国·高一专题练习）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合的新定义求得，从而确定正确答案.【详解】因为，，所以，故中元素的个数为.故选：B.7．（2021秋·高一校考课时练习）已知，则符合条件的集合的个数是（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】由条件分析集合的元素的特征，列举满足条件的的个数即可得解.【详解】因为，所以或或或，即满足条件的集合的个数为4.故选：B．8．（2023·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B.9．（2023·河南·校联考模拟预测）设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将集合M、N中表达式化为、，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可确定M、N的包含关系【详解】根据已知得，所以.故选：A.10．（2023春·湖南益阳·高一统考期末）已知集合，，则的子集的个数为（

）A．2 B．3 C．8 D．16【答案】C【分析】求出集合，利用子集个数公式可求得结果.【详解】因为，所以的子集个数为.故选：C.11．（2022秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先化简集合，再结合集合的交集运算法则进行计算即可.【详解】由题意得，，，所以故选：B12．（2023春·浙江宁波·高二统考期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据并集的定义计算可得.【详解】因为，，所以.故选：D13．（山东省烟台市20222023学年高二下学期期末数学试题）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】根据韦恩图表达的集合和之间的关系，求解阴影部分所表达的集合即可．【详解】根据韦恩图，阴影部分表达的是集合中不属于集合的元素组成的集合，即.故选：A.14．（2023·全国·高一假期作业）已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合的补集、交集运算即可.【详解】因为集合，，，所以，所以.故选：C.15．（2023春·福建福州·高二校联考期末）已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据并集和补集的定义运算即可得解．【详解】，，，则．故选：D．16．（2021秋·福建泉州·高一校考阶段练习）（多选题）下列各组对象能构成集合的是（

）A．全体较高的学生 B．所有素数C．2021年高考数学难题 D．所有正方形【答案】BD【分析】AC不满足集合的确定性，BD满足集合的确定性.【详解】A选项中“比较高”标准不明确，不符合确定性，不能构成集合，A错误；B选项，所有素数满足确定性，能构成集合，B正确；C选项，“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合，C错误；D选项，所有正方形满足确定性，能构成集合，D正确故选：BD17．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）（多选题）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据“影子关系”集合的定义逐项分析即可.【详解】根据“影子关系”集合的定义，可知，，为“影子关系”集合，由，得或，当时，，故不是“影子关系”集合．故选：ABD18．（2021秋·高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（）A．空集没有子集B．C．D．非空集合都有真子集【答案】BD【分析】根据空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，可判断出选项AD的正误；选项B，通过解方程，可求出集合中的元素，从而判断出选项B正确；选项C，通过求出两集合的元素满足的条件，从而判断出集合与间的关系，从而判断出选项C错误.【详解】对于选项A，因为空集是任何集合的子集，所以空集也是它自身的子集，所以选项A错误；对于选项B，由，得到或，所以，所以选项B正确；对于选项C，因为，，所以，所以选项C错误；对于选项D，因为空集是任何非空集合的真子集，所以选项D正确.故选：BD19．（2023·全国·高一假期作业）（多选题）已知集合，，若，则实数的值为（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由集合与集合的关系，对选项依次辨析即可.【详解】对于A，时，，有，故选项A正确；对于B，时，，有，故选项B正确；对于C，时，，有，故选项C正确；对于D，时，，集合不满足集合元素的互异性，故选项D不正确.故选：ABC.20．（2022秋·重庆·高三校联考阶段练习）（多选题）已知集合，，若，则的取值可以是（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】ACD【分析】对集合B中的分类讨论即可求解.【详解】当时,,显然满足条件;当时,,集合,故,或,解,故实数的取值的集合是.故选：ACD.21．（2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考阶段练习）（多选题）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据和分类讨论，求出m的取值范围，再判断选项即可.【详解】①当时，令，得，此时符合题意；②当时，，得，则或，因为，所以或，解得或，因为，所以.综上，m的取值范围为或，故选：BC22．（2023秋·云南玉溪·高一统考期末）（多选题）能正确表示图中阴影部分的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】由集合运算和Venn图知识对选项依次辨析即可.【详解】对于A，为，∴为，故选项A正确；对于B，为，∴为，故选项B错误；对于C，为，为，∴为，故选项C错误；对于D，为，∴为，∴为，故选项D正确.故选：AD.23．（2022秋·广西桂林·高一校考阶段练习）（多选题）若集合，则（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用集合的交并运算与子集的概念，对选项逐一分析即可.【详解】对于AB，因为，所以，，故AB正确；对于C，因为，但，所以不成立，故C错误；对于D，由选项AB易知，故D错误.故选：AB.24．（2021秋·山西太原·高一太原市外国语学校校考期中）已知集合，若，则实数值为.【答案】1【分析】由题意分析元素与集合的关系，分别讨论和再根据元素互异性排除从而求得值.【详解】由题意可知或，当时，.与互异性矛盾，当时，符合题意（舍）.故答案为：1.25．（2022秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考期中）设集合，若，则实数．【答案】2【分析】根据题意，利用集合元素的互异性，分类讨论即可求解.【详解】当时，，此时，不符合条件；当时，，此时，符合条件；若，即，无实根，不符合条件．所以．故答案为：2.26．（2022秋·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）设为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是．【答案】8【分析】根据已知条件写出中所有元素即可.【详解】，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；,，；,，；根据集合元素的互异性可知中元素的个数是8，故答案为：827．（2021秋·江西赣州·高一上犹中学校考周测）用列举法表示集合．【答案】【分析】根据题意可得且，再分别令进行判断即可．【详解】由题意可得且，当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意，综上，．故答案为：．28．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，用列举法表示M＝．【答案】【分析】由直接求解.【详解】根据题意，应该为6的因数，故可能取值为1，2，3，6，其对应的值分别为：4，3，2，.又，所以的值分别为：4，3，2.故集合.故答案为：29．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合，且，则实数m的取值范围是.【答案】.【分析】根据集合间的包含关系，分和，两种情况讨论，即可求解.【详解】由集合，若时，可得，此时满足；若时，要是得到，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围是.故答案为：.30．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知全集，集合，则.【答案】【分析】根据补集的定义求解即可.【详解】由全集，集合，则.故答案为：31．（2023春·重庆·高二统考期末）设集合，，若，则实数所有取值组成的集合的子集个数为.【答案】【分析】解出集合，分、两种情况讨论，结合可得出实数的取值集合，进而可得子集个数.【详解】因为，，，则.当时，，合乎题意；当时，，则或，解得或.综上所述，实数的取值构成的集合为，该集合子集个数为.故答案为：.32．（2022秋·天津和平·高一耀华中学校考期中）若集合，，则.【答案】【分析】由题意得，4，2，，再求即可．【详解】，1，3，，，，4，2，，故，，故答案为：，．33．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知全集，集合，集合，则．【答案】/【分析】根据集合的运算法则计算可得.【详解】因为全集，集合，集合，所以，所以.故答案为：34．（2023·全国·高三专题练习）已知，集合，，若，则实数的取值范围是.【答案】【分析】化简集合，将化为，根据子集关系列式可求出结果.【详解】由，，得，因为，所以，所以，解得.故答案为：35．（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（

）名A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生.【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人，因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，所以单独参加数学的有人，单独参加物理的有人，单独参加化学的有，故参赛人数共有人，没有参加任何竞赛的学生共有人.故选：D.

36．（2022秋·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习）（多选题）对于给定整数，如果非空集合A满足如下3个条件：①；②；③，若，则．那么称集合A为“增集”．则下列命题中是真命题的为（

）A．若集合P是“增1集”，则集合P中至少有两个元素B．若集合Q是“增2集”，则也一定是“增2集”C．正整数集一定是“增1集”D．不存在“增0集”【答案】BC【分析】AD选项，可举出反例；BC选项，可通过题干中集合新定义，进行推理得到.【详解】对于选项A，中只有一个元素，且，，，，满足条件①②③，即单元素集是“增1集”，A错误；对于选项B，集合Q是“增2集”，故Q为非空集合，且，若，则，则，满足条件①，且，满足条件②，当时，，所以满足，则，满足“增2集”的条件③，B正确；对于选项C，，，，若，则．显然满足“增1集”的三个条件，C正确；对于选项D，例如，且，，，，，，满足条件①②③，即是“增0集”，D错误．故选：BC37．（2023·全国·高一假期作业）已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数.(1)若A是空集，求a的范围；(2)若A是单元素集合，求a的范围：(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围.【答案】(1)；(2)或；(3)或.【分析】（1）讨论，根据可得结果；（2）讨论，根据可得结果；（3）转化为方程至多有一个解，由（1）（2）可得结果.【详解】（1）若A是空集，则方程无解，当时，方程有解，不符合题意；当时，，得.综上所述：.（2）若A是单元素集合，则方程有唯一实根，当时，方程有唯一解，符合题意；当时，，得.综上所述：或.（3）若A中至多有一个元素，则方程至多有一个解，当方程无解时，由（1）知，；方程有唯一实根时，由（2）知，或.综上所述：或.38．（2021秋·广西贺州·高一校考阶段练习）已知集合，a为实数.(1)若集合A是空集，求实数a的取值范围；(2)若集合A是单元素集，求实数a的值；(3)若集合A中元素个数为偶数，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)或.(3)且【分析】（1）若集合是空集，要满足二次方程无解；（2）若集合A是单元素集，则方程为一次方程或二次方程；（3）若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素，二次方程无解或两不相同的解.【详解】（1）若集合是空集，则，解得.故实数的取值范围为.（2）若集合是单元素集，则①当时，即时，，满足题意；②当，即时，，解得，此时.综上所述，或.（3）若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素.当中有0个元素时，由(1)知；当中有2个元素时，解得且.综上所述，实数的取值范围为且.39．（2023春·江西九江·高一德安县第一中学校考期中）已知.(1)若，求a的值；(2)若，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)或或.【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值；（2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围；【详解】（1）由方程，解得或所以，又，，所以，即方程的两根为或，利用韦达定理得到：，即；（2）由已知得，又，所以时，则，即，解得或；当时，若B中仅有一个元素，则，即，解得，当时，，满足条件；当时，，不满足条件；若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件.综上，实数a的取值范围是或或.40．（2021秋·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）已知集合，求：(1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由集合元素的个数转化为方程根的个数列不等式即可求得实数的取值范围；（2）根据集合关系，讨论或只有负根，列不等式即可求得实数的取值范围.【详解】（1）若集合至多有1个元素，则至多一个实根所以，故；（2）由题意得或只有负根，当时，，故，当只有负根时，，无解，综上，实数的取值范围为.41．（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考阶段练习）设命题p：实数x满足，命题q：实数x满足．(1)若命题“”是真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据集合的包含关系求解；(2)将必要不充分条件转换为集合的真包含关系求解.【详解】（1）因为命题“”是真命题，所以，所以解得，即实数m的取值范围是.（2）命题p是命题q的必要不充分条件,所以是的真子集，若即，此时，满足是的真子集，若即，因为是的真子集，所以解得，经检验时，满足是的真子集，综上，实数m的取值范围是.42．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合，．(1)若，求实数m的取值范围；(2)当时，求C的非空真子集的个数．【答案】(1)(2)254【分析】（1）依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围；（2）由集合C中元素个数，求C的非空真子集的个数.【详解】（1）∵，∴，①若，则，解得；②若，则，可得.由可得，解得，此时.综上所述，实数m的取值范围是.（2）∵，集合C中共8个元素，因此，集合C的非空真子集个数为.43．（2021秋·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）已知集合，、、满足：①；②每个集合都恰有5个元素.集合中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，则的值不可能为（

）A．37 B．39 C．48 D．57【答案】A【分析】根据题意得到集合的性质，再由特征数的性质推得最小数值的元素与最大数值的元素必为特征数的组成部分，又利用要使最大，需要废弃掉数值较小的元素，要使最小，需要废弃掉数值较大的元素，依次得到集合中的元素，从而推得的取值范围，由此得解.【详解】因为集合，又因为集合中，每个集合恰有个元素，且有个元素，所以集合中没有重复元素，因为是集合中数值最小的元素，是集合中数值最大的元素，所以在的特征数构成中，必有和，不妨设，要使最大，则应该在集合中首先放置数值较小的元素，即，所以与是剩下元素中数值最小或最大的元素，同理，不妨设，接着在中再次放置数值较小的元素，即，则，此时有最大值为，即；要使最小，则在集合中首先放置数值较大的元素，即，所以与是剩下元素中数值最小或最大的元素，同理，不妨设，接着在中再次放置数值较大的元素，即，则，此时有最小值为，即，综上：，显然，选项A不满足，故A正确；选项BCD都满足，故BCD错误.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于理解特征数的组成中，一定含有最小数值的元素与最大数值的元素，从而推理得要使取得最值时，中的元素情况，由此得解.44．（2022秋·山东烟台·高一校考阶段练习）（多选题）设非空集合满足：当时，有，给出如下四个命题，其中真命题是（

）A．若，则； B．若，则；C．若，则； D．若，则【答案】ABC【分析】根据各选项对应m、l参数值，讨论另一个参数可能取值情况，根据非空集合的定义求出它们的范围.【详解】当时，此时，若，显然，满足；若，则，而，不满足；综上，有，A正确；当时，此时，若，则，此时，满足；若，则，而，不满足；综上，时有，B正确；当时，此时，此时，需保证，则，综上，，C正确；当时，此时或，若，需保证，则；若有，满足；综上，，D错误.故选：ABC45．（2022秋·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考阶段练习）（多选）若非空实数集满足任意，都有，，则称为“优集”．已知是优集，则下列命题中正确的是（）A．是优集 B．是优集C．若是优集，则或 D．若是优集，则是优集【答案】ACD【分析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解.【详解】对于A中，任取，因为集合是优集，则，则，，则，所以A正确；对于B中，取，则或，令，则，所以B不正确；对于C中，任取，可得，因为是优集，则，若，则，此时；若，则，此时，所以C正确；对于D中，是优集，可得，则为优集；或，则为优集，所以是优集，所以D正确.故选：ACD.【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时