专题02 一元二次函数、方程和不等式（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）（含答案解析）

专题02一元二次函数、方程和不等式目录TOC\o"1-2"\h\u明晰学考要求 1基础知识梳理 1考点精讲讲练 4考点一：等式性质与不等式性质 4考点二：基本不等式 6考点三：二次函数与一元二次方程、不等式 9实战能力训练 13明晰学考要求1、理解不等式的概念，掌握不等式的性质；2、掌握基本不等式（）；3、能用基本不等式解决简单的最大值或最小值的问题4、会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程的根的关系；5、了解一元二次不等式的意义，会求一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；基础知识梳理1、不等式的概念在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.自然语言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于符号语言2、实数大小的比较1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.2、作差法比大小：①；②；③3、不等式的性质性质性质内容特别提醒对称性（等价于）传递性（推出）可加性（等价于可乘性注意的符号（涉及分类讨论的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性，同为正数4、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）①如果，，，当且仅当时，等号成立．②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．5、两个重要的不等式①（）当且仅当时，等号成立．②（）当且仅当时，等号成立．6、利用基本不等式求最值①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；7、二次函数（1）形式：形如的函数叫做二次函数.（2）特点：①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.②当且()时，恒有()；当且()时，恒有().8、一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.9.或型不等式的解集不等式解集10、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两相异实数根，()有两相等实数根没有实数根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集考点精讲讲练考点一：等式性质与不等式性质【典型例题】例题1．（2024北京）已知，则下面不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可.【详解】对于ABD:取，满足，显然和，都不成立；对于C：由可得，故成立.故选：C例题2．（2024福建）已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】根据不等式的性质判断AB，举反例判断CD．【详解】因为，所以，A正确；，因此，B错；时，，但，，CD错；故选：A．例题3．（2024湖北）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】根据题意建立不等关系即可.【详解】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为，则有.故选：C【即时演练】1．已知四个实数．当时，这四个实数中的最大者是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】作差法比较代数式的大小【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合作差法比较大小.【详解】由，得，则；，则；，则，所以这四个实数中的最大者是.故选：C2．（多选）对于任意的实数，下列命题错误的有（

）A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则【答案】ABD【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】根据不等式性质可判断.【详解】A选项：，若，则，选项错误;B选项：,，设，，，，则，选项错误;C选项：若，则，选项正确；D选项：，设a=2，，则，选项错误.故选：ABD.3．设，，则有．（请填“”、“”、“”，“”，“”）【答案】<【知识点】作差法比较代数式的大小【分析】利用作差法以及完全平方数比较即可求解．【详解】因为，，所以，故．故答案为：<．考点二：基本不等式【典型例题】例题1．（2023广西）如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】由基本不等式比较大小【分析】根据几何关系表示和，即可比较大小.【详解】因为是圆的半径，所以，因为是圆的直径，所以，则，即，即，所以，当点与点重合时，，否则，即，所以.故选：B例题2．（2024天津）已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【分析】分析可知：原题意等价于当时，不等式恒成立，结合基本不等式运算求解.【详解】因为当时，不等式恒成立，则，原题意等价于当时，不等式恒成立，又因为，当且仅当，即等号成立，可得，所以实数a的取值范围是.故答案为：.例题3．（2024云南）已知，则的最小值是.【答案】6【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】根据基本不等式求出最小值即可.【详解】由题意知，，当，即时，等号成立，所以最小值是6.故答案为：6例题4．（2024安徽）已知函数是二次函数，且满足，.(1)求函数的解析式；(2)当x＞0时，求函数的最小值.【答案】(1)(2)【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的解析式、基本不等式求和的最小值【分析】（1）由求出，由求出，即可得出答案；（2）由基本不等式求解即可.【详解】（1）设（），由，得，由，得，整理，得，则，解得，，所以.（2）由（1）知，，因为x＞0，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.【即时演练】1．已知0＜x＜1，则的最小值是（

）A．16 B．25 C．27 D．34【答案】B【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用，结合基本不等式可求最小值.【详解】由，得因此，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值25．故选：B.2．当时，函数的最小值为.【答案】【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式即可得解.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.3．若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【知识点】基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题【分析】由基本不等式求出，从而得到，求出答案.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故只需，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.4．已知，且，则的最大值为．【答案】100【知识点】基本不等式求积的最大值【分析】利用基本不等式求解.【详解】由基本不等式，，所以，解得，当且仅当，即时等号成立，故答案为:100.考点三：二次函数与一元二次方程、不等式【典型例题】例题1．（2024福建）不等式的解集为（

）A． B． C．或 D．【答案】A【知识点】解不含参数的一元二次不等式【分析】根据给定条件，解一元二次不等式即可.【详解】解不等式，得，所以原不等式的解集为.故选：A例题2．（2024安徽）若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题【分析】分和两种情况讨论，时，结合二次函数图象得到的取值范围.【详解】时，原不等式化为，解得，不对所有的恒成立，不符合题意；时，原不等式为一元二次不等式，要对所有实数恒成立，则二次函数的图象开口向下且与轴无交点，从而，解得，所以，的取值范围为，故选：B.例题3．（2024广东）若不等式的解集为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】D【知识点】由一元二次不等式的解确定参数【分析】由题意可得，是方程的两个根，且，利用韦达定理运算求解.【详解】由题意知，是方程的两个根，且，则，解得，所以.故选：D.例题4．（2024新疆）设函数(1)若，求不等式的解集；(2)若时，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题【分析】（1）代入，解出一元二次不等式即可；（2）分离参数，再利用基本不等式求出右边最小值即可.【详解】（1）当时，即为，解得或，则该不等式解集为.（2）对恒成立，即对恒成立，分离参数得对恒成立，因为当时，，当且仅当，即时等号成立，则.【即时演练】1．已知关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是（

）A． B．C．2,3 D．【答案】A【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题【分析】对二次项系数是否为0分类讨论可得正确的选项.【详解】若，则，此不等式恒不成立，故原不等式无解，符合题设；若，因为不等式的解为空集，故，故，综上，，故选：A.2．一元二次不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】解不含参数的一元二次不等式【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．【详解】不等式即可化为，解得，所以不等式的解集为.故选：B3．关于的不等式：的解集为或，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数【分析】由一元二次不等式的解集可得、的具体值，再代入不等式中求解即可得.【详解】由题意可得，故，解得，故，解得，故关于的不等式的解集为.故选：B.4．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．【答案】【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题【分析】不等式对应的二次函数开口向上，只需判别式小于0，函数图像与轴无交点，则不等式大于0恒成立，从而求出参数取值范围.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以，解得，即实数的取值范围是．故答案为：实战能力训练一、单选题1．已知，下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】根据不等式的性质以及代入特殊值可求得结果.【详解】对于A，令，则，故选项A错误，不符合题意；对于B，若，，则，故选项B错误，不符合题意；对于C，，则，即，故选项C正确，符合题意；对于D，令，则，故选项D错误，不符合题意；故选：C.2．下列命题中，正确的是（

）.A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确【分析】利用绝对值的意义结合特殊值法判定即可.【详解】若，即，但，故A、D错误；若，即，但，故B错误；显然，则，故C正确.故选：C3．不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】解不含参数的一元二次不等式【分析】解出一元二次不等式，写出解集即可.【详解】因为，所以，所以解集为.故选：D.4．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值集合为（

）A． B．C． D．或【答案】A【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题【分析】根据一元二次不等式恒成立列不等式，由此求得的取值范围.【详解】依题意，一元二次不等式对一切实数都成立，所以，解得，所以的取值集合为.故选：A5．已知，则的最小值为（

）A． B．0 C．4 D．8【答案】B【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】由，利用基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为0.故答案为：B.6．设，且，则的最小值为（

）A．5 B． C．4 D．【答案】D【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：D.7．若，则的最小值为（）A．3 B．4C．1 D．2【答案】B【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】利用，结合基本不等式可求最小值.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：B.8．已知，，，则的最大值是（

）A． B． C． D．1【答案】D【知识点】基本不等式求积的最大值【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值.【详解】由，，，得，当且仅当时取等号，所以的最大值是1.故选：D二、多选题9．英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知，，则下列不等式一定成立的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【知识点】作差法比较代数式的大小【分析】采用作差法依次判断各个选项即可.【详解】对于A，，，，，，，，即，，A错误；对于B，，，，，即，，B正确；对于C，，，，，，，即，，C正确；对于D，，，，，，即，，D正确.故选：BCD.10．已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【知识点】由一元二次不等式的解确定参数【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根的关系，利用韦达定理即可求解.【详解】由于不等式的解集为，所以和是方程的两个实数根，故且，解得，，故选：AC三、填空题11．已知，，且满足，则的最大值是.【答案】3【知识点】基本不等式求积的最大值【分析】由已知结合基本不等式即可求解．【详解】解：因为，，且满足，得，当且仅当，即，时取等号，所以的最大值是3.故答案为：3.12．已知一元二次不等式的解集为，则.