人教版8年级上册数学全册教学课件（2022年7月修订）

人教版数学八年级上册11.1.1三角形的边第十一章三角形人教版·八年级上册11.1与三角形有关的线段学习目标1.认识三角形并会用几何语言表示三角形，了解三角形分类.2.掌握三角形的三边关系.（难点）3.运用三角形三边关系解决有关的问题.（重点）导入新课埃及金字塔水分子结构示意图飞机机翼问题：（1）从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑物到微小的分子结构，都有什么样的形象？（2）在我们的生活中有没有这样的形象呢？试举例.讲授新课三角形的概念一问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形?定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作做三角形.问题2：三角形中有几条线段?有几个角?A

B

C

有三条线段，三个角边：线段AB，BC，CA是三角形的边.顶点：点A，B，C是三角形的顶点，角：∠A，∠B，∠C叫做三角形的内角，简称三角形的角.记法：三角形ABC用符号表示________.边的表示：三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表

示为________.△ABCc，a，b边c边b边a顶点C角角角顶点A顶点BBCA在△ABC中，AB边所对的角是：∠A所对的边是：∠CB

C再说几个对边与对角的关系试试.三角形的对边与对角：辨一辨：下列图形符合三角形的定义吗？不符合不符合不符合①位置关系：不在同一直线上；②联接方式：首尾顺次.三角形应满足以下两个条件：要点提醒表示方法：三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，除此△ABC还可记作△BCA,△CAB,△ACB等.找一找：(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？

ABCDE5个，它们分别是△ABE,△ABC,△BEC,△BCD,△ECD.(2)以AB为边的三角形有哪些？△ABC、△ABE.（3）以E为顶点的三角形有哪些？△ABE

、△BCE、△CDE.（4）以∠D为角的三角形有哪些？△BCD、△DEC.（5）说出△BCD的三个角和三个顶点所对的边.△BCD的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.顶点B所对应的边为DC，顶点C所对应的边为BD，顶点D所对应的边为BC.三角形的分类二问题1：观察下列三角形，说一说，按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？直角三角形、锐角三角形、钝角三角形.(1)等腰三角形和等边三角形的区别是什么?(2)从边上来说，除了等腰三角形和等边三角形还有什么样的三角形?(3)根据上面的内容思考：怎样对三角形进行分类？等腰三角形两边相等，等边三角形三边相等.三边都不相等的三角形.问题2：如果以三角形边的元素的不同，三角形该如何分类呢？

观察图形回答下面各小题.

等边三角形等腰三角形不等边三角形（顶角（底角（底角按是否有边相等分三角形不等边三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形按内角大小分三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形腰底边判断：（2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（）（1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（）√×（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（）×（4）等边三角形是锐角三角形.（）（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（）×√

在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择AB路线，而不选择A

CB路线，难道小狗也懂数学？CBA三角形的三边关系三AC+CB>AB（两点之间线段最短）归纳总结三角形两边的和大于第三边.三角形两边的差小于第三边.议一议

1.在同一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么大小关系?2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么大小关系?3.三角形三边有怎样的不等关系?

通过动手实验同学们可以得到哪些结论?理由是什么？例1：判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？（1）3cm、8cm、4cm；（2）5cm、6cm、11cm；（3）5cm、6cm、10cm.典例精析

判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可.解：（1）不能，因为3cm+4cm<8cm；（2）不能，因为5cm+6cm=11cm；（3）能，因为5cm+6cm>10cm.归纳针对训练一根木棒长为7，另一根木棒长为2，那么用长度为4的木棒能和它们拼成三角形吗？长度为11的木棒呢？若不能拼成，则第三条边应在什么范围呢？设x为三角形第三条边的长，则有两边之差＜x＜两边之和.解：设第三边长为x，则应有7-2<x<7+2，即5<x<9.归纳则用长度为4的木棒不能和它们拼成三角形，长度为11的木棒也不能和它们拼成三角形.第三边长的范围为5<x<9.例2

用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.

(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm,x+2x+2x=18.解得x=3.6.所以三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm.(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.①若底边长为4cm，设腰长为xcm,则有4+2x=18.解得x=7.②若腰长为4cm,设底边长为xcm，则有2×4+x=18.

解得x=10.因为4+4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形.由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.当堂练习1.图中锐角三角形的个数有()A.3个B.4个C.5个D.6个C2.用木棒钉成一个三角架,两根小棒分别是7cm和10cm,第三根小棒可取()A.20cmB.3cmC.11cmD.2cmC3.如图，在△ACE中，∠CEA的对边是

．4.已知等腰三角形的两边长分别为8cm，3cm，则这个三角形的周长为__________.ABFEDCAC19cm

等腰三角形问题常要用到分类讨论，在涉及周长问题时三边要养成检验好习惯哦！5.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求第三边的长.解：设第三边长为x,根据三角形的三边关系，可得，7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9，又x为奇数，则第三边的长为7.拓展提升6.已知：a、b、c为三角形的三边长，化简：|b+c-a|+|b-c-a|-|c-a-b|-|a-b+c|.∴原式=|（b+c）-a|+|b-（c+a）|-|c-（a+b）|-|（a+c）-b|

=b+c-a+a+c-b-a-b+c+b-a-c

=2c-2a．解：∵a、b、c为三角形三边的长，∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，课堂小结三角形定义及其基本要素顶点、角、边分类按角分类按边分类分类不重不漏三边关系原理两点之间线段最短内容两边之和大于第三边两边之差小于第三边|a-b|<x<a+b

(a>b,x为第三边）应用谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第十一章三角形11.1与三角形有关的边11.1.2三角形的高、中线与角平分线学习目标1.掌握三角形的高、中线及角平分线的概念.（重点）2.掌握三角形的高、中线及角平分线的画法.3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点）复习回顾

定义

图示垂线线段中点角平分线OBAAB当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线把一条线段分成两条相等的线段的点一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线新课引入如图，P为线段AB右上方一点，过点P作线段AB的垂线.P

●AB新课引入三角形的高

问题1：

什么是三角形的高？怎样画三角形的高？

如图，从△ABC的顶点A向它的对边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.问题2：由三角形的高你能得到什么结论？∠ADB=∠ADC=90°ABCD垂足注意:标明垂直的记号和垂足的字母.1新课讲解高的叙述方法：（如图）有三种②AD⊥BC,垂足为D.③点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°.①AD是△ABC的高.ABCD新课讲解锐角三角形的三条高问题1：每人画一个锐角三角形.(1)你能画出这个三角形的三条高吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系？O问题2：锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?ABCDEF锐角三角形的三条高交于同一点.锐角三角形的三条高都在三角形的内部.探究交流直角三角形的三条高问题：在纸上画出一个直角三角形.ABC(1)画出直角三角形的三条高.直角边BC边上的高是______;

AB直角边AB边上的高是

;CB(2)它们有怎样的位置关系？D斜边AC边上的高是_______.

BD●直角三角形的三条高交于直角顶点.探究交流ABCDEF钝角三角形的三条高问题：(1)钝角三角形的三条高交于一点吗？(2)它们所在的直线交于一点吗？O钝角三角形的三条高不相交于一点钝角三角形的三条高所在直线交于一点画钝角三角形的高微视频（单击）

画钝角三角形的高新课讲解三角形的三条高的特性高所在的直线是否相交高之间是否相交高在三角形内部的数量钝角三角形直角三角形锐角三角形311相交相交不相交相交相交相交三条高所在直线的交点的位置三角形内部直角顶点三角形外部归纳总结

如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值.解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值．由△ABC的面积公式可知,AD·BC＝

BP·AC.代入数值，可解得BP＝.例1新课讲解面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.方法总结三角形的中线问题1：

如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ACBAC=BC=AB2新课讲解问题2：

如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线？ABC定义：如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.想一想：由三角形的中线能得到什么结论？BD=CD=BCD新课讲解画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？发现：三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心.ABCABCABCDEFDDEFEFOOO新课讲解问题3：

如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？BCDEA答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.问题4：通过问题3你能发现什么规律？答：三角形的中线能将三角形的面积平分.新课讲解

如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC、S△ADF和S△BEF，S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.解：∵点D是AC的中点，∴AD＝

AC.∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝

S△ABC＝

×12＝6.∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝

S△ABC＝

×12＝4.例2新课讲解方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.新课讲解三角形的角平分线问题1：如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？ACBO∠AOC=∠BOC

问题2：你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗?ABCD想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?相同点是：∠

BAD=∠CAD；不同点是：前者是线段，后者是射线.3新课讲解问题4：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？三角形的三条角平分线交于一点．ABCDEF问题3：一个三角形有几条角平分线？3称之为三角形的内心．新课讲解

观察锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？新课讲解

如图，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED=80°，求∠ECD的度数.解：∵DC平分∠ACB,又DE∥BC,∴∠ACB=∠AED=80°.∴∠ECD=40°.∴∠ECD=∠BCD=

∠ACB.例3新课讲解三角形的重要线段概念图形表示法三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段∵AD是△ABC的高线，∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°三角形的中线三角形中,连接一个顶点和它对边中的线段∵AD是△ABC的BC上的中线，∴BD=CD=

BC.三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=

∠BAC

知识归纳1．下列说法正确的是（）A．三角形三条高都在三角形内B．三角形三条中线相交于一点C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外D．三角形的角平分线是射线B随堂即练2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是（）A．①② B．③④ C．①④

D．②③D随堂即练3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有（）A．2条B．3条C．4条D．5条B随堂即练4.填空：（1）如图1，AD，BE,CF是△ABC的三条中线，则

AB=2＿＿,BD=＿＿，AE=＿＿(2)如图2，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=＿＿，∠3=_________，∠ACB=______.

图1图2AFDC∠22∠4AC∠ABC随堂即练5.如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC=3cm2，则S△ABC=______.12cm2随堂即练6.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm,△DBC的周长为25cm,求△ADC的周长.ADBC解：∵CD是△ABC的中线，

∴BD=AD

.

∵BC-AC=5cm,∴

△DBC与△ADC的周长差是5cm,又∵

△DBC的周长为25cm，∴

△ADC的周长=25-5=20(cm).随堂即练

王大爷有一块三角形的菜地,现在要将它们平均分给四个儿子,在菜地的一角A处有一口池塘,为了使分开后的四块菜地都就近取水,王大爷为此很伤脑筋.你能想出什么办法帮帮王大爷吗？如果不考虑水源,你认为还可以怎样分?A【思路提示】想到三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分.能力提升拓展三角形重要线段高钝角三角形两短边上的高的画法中线会把原三角形面积平分一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差角平分线课堂总结谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。11.1.3三角形的稳定性复习回顾1、三角形的定义；2、三角形的三边关系：3、三角形的高、中线与角平分线；（1）已知两边，求第三边的范围；（2）已知三条线段，判断该三条线段能否构成三角形；

如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？思考观察下面的图片，有什么共同点？房屋的人字架自行车的车身

观察上面这些图片，你发现了什么？讨论

这说明三角形有它所独有的性质，是什么呢？我们通过实验来探讨三角形的特性。

发现这些物体都用到了三角形，为什么呢？探究

1、用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？不会

2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？会（2）3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？不会探究

三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。

从上面实验过程你能得出什么结论？与同学交流。还有什么发现？

还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变。这是为什么呢？

答：斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性，所以斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变。

现在你知道为什么窗框未安装好之前，要先在窗框上斜钉一根木条了吗？理解“稳定性”

“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性。”这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”。

四边形的不稳定性是我们常常需要克服的，那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？如果有，你能举出实例吗？想一想练习下列图形中哪些具有稳定性？（4）（5）（6）（3）（1）（2）×√×√×√练一练1、下列图形中具有稳定性的是（）（A）正方形（B）长方形（C）直角三角形（D）平行四边形2、要使下列木架不稳定各至少需要多少根木棍？C3、下列图中具有稳定性有（）A1个B2个C3个D4个C4.下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性的说法正确的是()A、稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的B、稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值C、稳定性和不稳定性均有利用价值D、以上说法都不对C练习谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第十一章三角形11.2与三角形有关的角

11.2.1三角形的内角

情境导入ABC任意一个三角形的内角和等于180°，怎样验证这个结论的正确性呢？有没有一种能证明任意三角形内角和等于180°的方法呢？测量

探究新知问题：任意一个三角形的内角和等于多少度?方法一:通过具体的测量,可知三角形的内角和为180°方法二:剪拼法.把三个角拼在一起试试看？探究新知拼法一从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗?方法二:剪拼法.探究新知方法二:剪拼法.从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗?拼法二

探究新知已知：如图，△ABC求证：∠A+∠B+∠C=180°ABC三角形内角和定理：三角形的三个内角和是180°探究新知F12EABC证明:过A作EF∥BC∴∠B=∠1∠C=∠2（两直线平行，内错角相等）∵∠BAC+∠1+∠2=180°（平角的定义）

∴∠BAC+∠B+∠C=180°三角形内角和定理：

三角形三个内角的和是180°.ABC几何语言：∵△ABC∴∠A+∠B+∠C=180°

探究新知已知：如图，△ABC求证：∠A+∠B+∠C=180°21EDCBA你能想出这个定理的其他证法吗？ABC举例分析例1如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC

的角平分线，求∠ADB的度数.CABDCABD解：∵AD平分∠BAC，∠BAC=40°

∴∠BAD=∠BAC=20°（角平分线的定义）又∵∠B=75°

∴∠ADB=180°–∠BAD–∠B（三角形内角和为180°）=180°–20°–75°=85°

举例分析

例2

如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？北ABC北DE解：∠CAB=∠BAD－∠CAD=80°－50°=30°∵AD∥BE

∴∠DAB+∠ABE=180°∴∠ABE=180°－∠BAD=180°－80°=100°∴∠ABC=∠ABE－∠EBC=100°－40°=60°在△ABC中,∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB

=180°-60°-30°=90°答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.举例分析北ABC北DE

探究新知ACB思考：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那∠A与∠B之间有什么关系呢？

探究新知ACB解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B+90°=180°，所以∠A+∠B=90°即：直角三角形的两个锐角互余.ACB直角三角形的表示：“Rt△”如：直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.几何语言：∵在Rt

△ABC中，∠C=90°∴∠A+∠B=90°解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED.∴∠CAE=∠DBE.举例分析例3如图∠C=∠D=90°，AD,BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ACB我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由.思考：有两个角互余的三角形是直角三角形

探究新知

课堂练习

判断：

（1）三角形中最大的角是70°，那么这个三角形是锐角三角形.（）

（2）一个三角形中最多只有一个钝角或直角.（）

（3）一个等腰三角形一定是锐角三角形.（）

（4）一个三角形最少有一个角不大于60°.（）

（5）一个三角形中有两个角分别是40°，50°，则这个三角形是直角三角形.（）√√√√X

如图,从A处观测C处时的仰角∠CAD=30º,从B处观测C处时仰角∠CBD=45º.从C处观测A,B两处的视角∠ACB是多少度？15ºCDBA

课堂练习课堂练习

如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150º，∠B=∠D=40º.求∠C的度数.130º课堂练习

如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.∠ACD与∠B有什么关系？为什么？ADCB∠ACD=∠B课堂练习

如图,∠C=90°,∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ECDBA12△ADE是直角三角形课堂小结1.三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于180°.2.通过思考、去探究、去总结三角形内角和的定理，并且证明方法不止一种.3.三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角.4.证明三角形三个内角的和等于180°要转化为：平角等于180°或两直线平行同旁内角和等于180°.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第十一章三角形11.2与三角形有关的角

11.2.2三角形的外角情境导入

在绿茵场上，小罗在E处受到阻挡需要传球，请帮助他作出选择，应传给在B处的球员还是在C处的球员，其射门才不易射偏？（不考虑其他因素）ADCBADCBE

情境导入观察图中哪个角不同于其他的角？△ABC的外角∠ACD.ADCB三角形外角的定义探究新知ABCD如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.画三角形的外角

探究新知如图，你能画出△ABC的几个外角？6个

探究新知ABC653421△ABC的6个外角有什么关系？（位置关系和数量关系）三对对顶角，即：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6探究新知ABCD

如图，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°，

∠ACD是△ABC的一个外角,你能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？ABCD解：在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°可得∠ACB=50°.∠A+∠B=∠ACD探究新知又由∠ACB+∠ACD=180°可得∠ACD=130°.探究新知

思考：任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角跟与它相邻的内角互为邻补角；③三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.讨论结果：

探究新知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.已知：如图，∠1是△ABC的一个外角.求证：∠1=∠A+∠B.ABCD1

探究新知证明:∵∠A+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理)∠ACB+∠1=180°(平角的定义)∴∠1=∠A+∠B(等量代换)ABCD1探究新知三角形的外角和等于360°.已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角.求证：∠1+∠2+∠3=360°.ABC231探究新知证明:因为∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，所以∠1=∠ACB+∠ABC，∠2=∠BAC+∠ACB

，∠3=∠BAC+∠ABC.所以∠1+∠2+∠3=∠ACB+∠ABC+∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC=2（∠ACB+∠BAC+∠ABC）.又因为∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，所以∠1+∠2+∠3=2×180°=360°.ABC231（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.（）（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍.

（）（3）三角形的一个外角等于两个内角之和.

（）课堂练习√XX1.判断以下命题的对错.（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（）（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.（）（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（）课堂练习√√X1.判断以下命题的对错.课堂练习2.说出下列图中∠1，∠2的度数.ADCB21ABCD21∠A=72°∠B=56°则∠1=

，∠2=

.

∠B=60°∠D=60°∠DAC=20°则∠1=

，∠2=

.52°40°80°128°3.把图中∠1，∠2，∠3按由大到小的顺序排列.EDCBA321∠3＞

∠2＞∠1课堂练习4.已知AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°，求∠1和

∠2的度数.EDBAC12解：∵AB∥CD

，

∠A=40°

∴∠1=∠A=40°（两直线平行,

内错角相等）∵∠D=45°∴∠2=∠1+∠D=40°+45°=85°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）

5.如图,D是△ABC的BC边上的一点，∠B=∠BAD，

∠ADC=80º，∠BAC=70º.求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数.DCBA课堂练习解:（1）∵

∠B=∠BAD，∠ADC=80º，

∠ADC=∠B+∠BAD

（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴2∠B=∠ADC=80°

∴∠B=40°（2）∵∠B=40°，∠BAC=70º∴∠C=180°-∠B-∠BAC

=180°-40°-70°=70°（三角形内角和为180°）DCBA课堂练习本节课里你学到了什么？1.三角形外角的概念.2.三角形外角的相关性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.（3）三角形的外角和等于360º.课堂小结结构图外角大于与它不相邻的内角外角等于与它不相邻的两个内角的和外角与其相邻的内角互补外角和等于360º谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第十一章三角形11.3多边形及其内角和11.3.1多边形情境引入学习目标1.掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形.2.掌握正多边形的概念.（重点）3.会求多边形的对角线的条数.（难点）

在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？情境引入情境引入

中国第一奇村诸葛八卦村美国国防部大楼——五角大楼情境引入多边形的定义及相关概念问题2：观察画某多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.问题1：什么是三角形？由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.1新课讲解？思考：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内.

多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.新课讲解内角：多边形相邻两边组成的角问题3：根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角．顶点边外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角．多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等.其中三角形是最简单的多边形.新课讲解问题4：

请分别画出下列两个图形各边所在的直线,你能得到什么结论？（1）（2）

如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.本节我们只讨论凸多边形.ABCDEFGH此类多边形被一条边所在的直线分成了两部分，不在这条直线同侧,是凹多边形.新课讲解

六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明．解：∵六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况，∴新多边形的边数为7、5、6三种情况，如图所示.

总结：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条.例1新课讲解ABCDE定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.多边形的对角线注意：线段AC是五边形ABCDE的一条对角线，多边形的对角线通常用虚线表示.2新课讲解三角形六边形四边形八边形……五边形

探究：请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：多边形三角形四边形五边形六边形八边形n边形从同一顶点引出的对角线的条数分割出的三角形的个数01235n-312346n-2新课讲解

从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线.将多边形分成(n-2)个三角形.归纳总结

过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分该多边形所得三角形的个数的和为21，求这个多边形的边数．解：设这个多边形为n边形，则有(n-3)条对角线，所分得的三角形个数为n-2，∴n-3+n-2=21，解得n=13．即该多边形的边数有13条．例2新课讲解画一画：画出下列多边形的全部对角线.新课讲解定义：像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.正三角形正方形正五边形正六边形正多边形3新课讲解想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？（四条边都相等）（四个角都相等）答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不符合各边都相等.注意：判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角都相等，两个条件必须同时具备.新课讲解1.下列多边形中，不是凸多边形的是（）ABCDB2.把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（）A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形A随堂即练3.九边形的对角线有（）A.25条B.31条C.27条D.30条C4.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这是

边形.十三5.过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成

个三角形.六随堂即练多边形定义前提条件是在一个平面内对角线它是多边形的一条重要线段，在今后通常作对角线把多边形的问题转化为三角形和四边形的问题正多边形定义既是判定也是性质课堂总结谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第十一章三角形11.3多边形及其内角和11.3.2多边形的内角和情境引入学习目标1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.（重点）2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.（难点）

法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合，创造了这个“abeillesbeepavilion”.思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？情境引入问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少度？

问题1：三角形内角和是多少度？三角形内角和是180°.都是360°.问题3：

猜想任意四边形的内角和是多少度？

多边形的内角和1新课讲解猜想：四边形ABCD的内角和是360°.问题4：

你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？方法1：如图，连接AC,则该四边形被分为两个三角形，所以四边形ABCD内角和为180°×2=360°.ABCD新课讲解ABCDE方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE、DE，则该四边形被分成三个三角形，所以四边形ABCD的内角和为180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.新课讲解方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE、BE、CE、DE，把四边形分成四个三角形：△ABE、△ADE、△CDE、△CBE.所以四边形ABCD内角和为：180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4-360°=360°.ABCDE新课讲解ABCDP方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.所以四边形ABCD内角和为180°×3－180°=360°.这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.结论：

四边形的内角和为360°.新课讲解

如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.解：

如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2)×180°=360°，因为∠B＋∠D=360°－（∠A＋∠C）=360°－180°=180°.所以ABCD即如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.例1新课讲解【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∴∠ABC+∠ADC=180°.∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CDF+∠EBF=90°.∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，∴∠CDF+∠CFD=90°，故△DCF为直角三角形．运用了整体思想新课讲解ACDEBABCDEF问题5你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗?内角和为180°×3=540°.内角和为180°×4=720°.新课讲解n边形六边形五边形四边形三角形多边形内角和分割出三角形的个数从多边形的一顶点引出的对角线条数图形边数······0n-31231234n-2（

n-2）·180º1×180º=180º2×180º=360º

3×180º=540º4×180º=720º························由特殊到一般

新课讲解分割多边形三角形分割点与多边形的位置关系顶点边上内部外部▼多边形的内角和公式n边形内角和等于(n-2)×180°总结归纳

一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？解：设这个多边形边数为n，则（n-2）•180=360+720，解得n=8.∴多边形的内角和为（8-2）×180°=1080°.∵这个多边形的每个内角都相等，∴它每一个内角的度数为

1080°÷8=135°.例2新课讲解

已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°．（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由.解：∵360°÷180°=2，630°÷180°=3……90°，∴甲的说法对，乙的说法不对，360°÷180°+2=4．故甲同学说的边数n是4.例3新课讲解（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．解：依题意有（n+x-2）×180°-（n-2）×180°=360°，解得x=2．故x的值是2．新课讲解【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解：设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°.因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．思路：多边形的内角的度数在0°~180°之间.新课讲解

如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数．解析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C、∠D、∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求得∠P的度数．例4新课讲解解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.∵AP平分∠EAB,∴∠PAB＝∠EAB.同理可得∠ABP＝∠ABC.∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°−(∠EAB+∠ABC)=180°−×230°=65°．新课讲解

如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？EBCD123

45A互补5×180°=900°多边形的外角和2新课讲解EBCD123

45A五边形外角和=360°=5个平角－五边形内角和=5×180°－(5－2)×180°结论：五边形的外角和等于360°.问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？新课讲解

在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形外角和n边形的外角和等于360°.－(n－2)×180°=360°=n个平角-n边形内角和=n×180°AnA2A3A4123

4nA1思考：n边形的外角和又是多少呢？与边数无关新课讲解问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？每个内角的度数是每个外角的度数是练一练：(1)若一个正多边形的内角是120°,那么这是正____边形.(2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是

______边形.六正八新课讲解

已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.解：设多边形的边数为n.∵它的内角和等于(n－2)•180°，多边形外角和等于360°，∴(n－2)•180°=2×360º.解得

n=6.∴这个多边形的边数为6.例5新课讲解

已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.解法一：设这个多边形的内角为7x°,外角为2x°,根据题意，得7x+2x=180，解得x=20.即每个内角是140°，每个外角是40°.360°÷40°=9.即这个多边形是九边形.还有其他解法吗？例6新课讲解解法二：设这个多边形的边数为n

,根据题意，得解得n=9.即这个多边形是九边形.新课讲解【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°，则得到一个方程组解得而任何多边形的外角和是360°，则该正多边形的边数为360÷120=3，故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三条．新课讲解

如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的度数．解：由题意得AB=AE,所以∠AEB=(180°-∠A)=36°，所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°.例7新课讲解1.判断．(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.()(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.()(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等．()2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于______．120°随堂即练3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是________米．150随堂即练4.一个多边形的内角和不可能是（）A.1800°B.540°C.720°D.810°D5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（）A.360°B.540°C.720°D.900°B随堂即练6.一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.解：∵1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.随堂即练

如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.解：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°.89能力提升拓展多边形的内角和内角和计算公式(n-2)×180°(n≥3的整数）

外角和多边形的外角和等于360°正多边形内角=，外角=课堂总结谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第十二章●第一节全等三角形问题引入观察这些图片，你能看出形状、大小完全一样的几何图形吗？你能再举出生活中的一些类似例子吗？问题引入请同学们把一块三角尺按在纸板上，画下图形后，比较观察这两个三角形有何关系？从同一张底片冲洗出来的两张尺寸相同的照片上的图形，放在一起也能够完全重合吗？知识点详解请同学们观察下图中的两个三角形，它们有何对应关系？ABCDEF点A与点D、点B与点E、点C与点F重合，称为对应顶点；边AB与DE、边BC与EF、边AC与DF重合，称为对应边；∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F重合，称为对应角。知识点详解你能用符号表示出这两个全等三角形吗？ABCDEF△ABC与△DEF是全等的，记作：“△ABC≌△DEF”，读作：“△ABC全等于△DEF”。知识点详解请同学们拿出准备的素材，按照教材第32页图12.1-2进行平移、翻折、旋转，变换前后的两个三角形还全等吗？图（1）中，△ABC≌△DEF；图（2）中，△ABC≌△DBC；图（3）中，△ABC≌△ADE.你能说出它们的对应顶点、对应边和对应角吗？知识点详解全等三角形的对应边和对应角有何大小关系？ABCDEF全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。全等三角形的对应边和对应角有何大小关系？ABCDEF用几何语言表述：∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，BC=EF，AC=DF

（全等三角形的对应边相等），∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F

（全等三角形的对应角相等）。知识点详解例题详解例1已知：如图，△ABC≌△DEF。（1）若DF=10cm，则AC的长为

；（2）若∠A=100°，则：∠D的度数为

；ABCDEF10cm100°例1已知：如图，△ABC≌△DEF。（3）若∠A=100°，∠B=30°，求∠F的度数.ABCDEF解：∵∠A=100°，∠B=30°，∴∠C=180°-∠A-∠B

=50