一元一次不等式(组)的应用压轴题三种模型全攻略（解析版）

专题17一元一次不等式(组)的应用压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一一元一次不等式(组)的应用--方案问题】 1【类型二一元一次不等式(组)的应用--销售、利润问题】 4【类型三一元一次不等式(组)的应用--分式方程和一元一次不等式(组)综合问题】 9【过关检测】 12【典型例题】【类型一一元一次不等式(组)的应用--方案问题】例题：（2023春·重庆·七年级统考期末）某学校响应政策号召，开设了“1小时体育锻炼”活动，学生参加体育运动的热情高涨，参加足球和篮球人数大增，现有的足球和篮球不够用了．为解决这一问题，学校准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同）．经调查：若购买30个足球和20个篮球共需4800元，购买10个足球和30个篮球共需4400元．(1)求购买一个足球、一个篮球各需多少元；(2)学校准备购买足球和篮球共50个，且篮球数量不少于足球数量的，预算经费不超过4600元，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【答案】(1)购买一个足球需要80元，一个篮球需要120元(2)购买37个足球，13个篮球，理由见解析【分析】（1）设购买一个足球需要元，一个篮球需要元，根据“购买30个足球和20个篮球共需4800元，购买10个足球和30个篮球共需4400元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）最省钱的购买方案为：购买37个足球，13个篮球，设购买个足球，则购买个篮球，根据“购买篮球数量不少于足球数量的，且预算经费不超过4600元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各购买方案所需费用，比较后即可得出结论．【详解】（1）解：设购买一个足球需要元，一个篮球需要元，根据题意得：，解得：．答：购买一个足球需要80元，一个篮球需要120元；（2）解：最省钱的购买方案为：购买37个足球，13个篮球，理由如下：设购买个足球，则购买个篮球，根据题意得：，解得：，又为正整数，可以为35，36，37，学校共有3种购买方案，方案1：购买35个足球，15个篮球，所需费用为（元）；方案2：购买36个足球，14个篮球，所需费用为（元）；方案3：购买37个足球，13个篮球，所需费用为（元）．，最省钱的购买方案为：购买37个足球，13个篮球．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．【变式训练】1．（2023春·山东威海·七年级统考期末）某超市计划同时购进一批甲、乙两种商品，若购进甲商品件和乙商品件，共需要资金元；若购进甲商品件和乙商品件，共需要资金元．(1)求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？(2)该超市计划购进这两种商品共件，而可用于购买这两种商品的资金不超过元，根据市场行情，甲商品的售价为元，乙商品的售价为元，该超市希望销售完这两种商品所获利润不少于元．则该超市有几种进货方案？【答案】(1)甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元(2)有三种进货方案【分析】（1）设甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解，（2）设购进甲商品件，则购进乙商品件，根据题意列出不等式组，根据整数解，即可求解．【详解】（1）解：设甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元，根据题意得，，解得：，答：甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元：（2）解：设购进甲商品件，则购进乙商品件，根据题意得，解得：，∵为正整数，∴，，∴有三种进货方案，【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键．2．（2023春·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）为了更好治理流溪河水质，保护环境，市治污公司决定购买台污水处理设备．现有，两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表：型型价格（万元/台）处理污水量（吨/月）经调查：购买一台型设备比购买一台型设备多万元，购买台型设备比购买台型设备少万元．(1)求，的值．(2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过万元，又要保证月污水处理量不低于吨，你认为该公司有哪几种购买方案．【答案】(1)，(2)方案一：型设备台，型设备为台；方案二：型设备台，型设备为台【分析】（1）根据“购买一台型设备比购买一台型设备多万元，购买台型设备比购买台型设备少万元”即可列出方程组，继而进行求解；（2）设购买污水处理设备型设备台，型设备台，根据“购买污水处理设备的资金不超过万元，又要保证月污水处理量不低于吨”即可列出一元一次不等式组，解之确定的值，即可确定方案.【详解】（1）解：根据题意，得，解得：，∴，的值为：，．（2）设购买污水处理设备型设备台，型设备台，根据题意，得：，解得：，又∵为整数，∴或，∴该公司有以下两种方案：方案一：型设备台，型设备为台；方案二：型设备台，型设备为台．【点睛】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系，同时要注意分类讨论思想的运用．【类型二一元一次不等式(组)的应用--销售、利润问题】例题：（2023春·四川眉山·七年级坝达初级中学校考期中）为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品7件，B种纪念品4件，需要760元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品8件，需要800元．(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，这100件纪念品的资金不少于7100元，但不超过7200元，那么该商店共有几种进货方案？(3)若销售A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，用（2）中的进货方案，哪一种方案可获利最大？最大利润是多少元？【答案】(1)购进A、B两种纪念品每件各需80元、50元(2)故该商店共有四种进货方案：方案一：购进A种纪念品70件，B种纪念品30件；方案二：购进A种纪念品71件，B种纪念品29件；方案三：购进A种纪念品72件，B种纪念品28件；方案四：购进A种纪念品73件，B种纪念品27件；(3)方案四可获利最大，最大利润是2730元【分析】（1）设购进A种纪念品每件x元，B种纪念品每件y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件，根据题意列一元一次不等式组求解即可；（3）分别求出每个方案的利润，然后比较即可得出结论．【详解】（1）解：设购进A种纪念品每件x元，B种纪念品每件y元，根据题意，得，解得：，答：购进A、B两种纪念品每件各需80元、50元；（2）解：设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件，根据题意，得，解得，∵a为正整数，∴a的值为70或71或72或73，故该商店共有四种进货方案：方案一：购进A种纪念品70件，B种纪念品30件；方案二：购进A种纪念品71件，B种纪念品29件；方案三：购进A种纪念品72件，B种纪念品28件；方案四：购进A种纪念品73件，B种纪念品27件；（3）解：方案一的利润为（元），方案二的利润为（元），方案三的利润为（元），方案四的利润为（元），故方案四可获利最大，最大利润是2730元．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列出方程组和不等式组是解答的关键．【变式训练】1．（2023春·海南省直辖县级单位·七年级校考期中）某市部分地区遭受了罕见的旱灾，某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共310件，其中饮用水比蔬菜多90件．(1)求饮用水和蔬菜各有多少件？(2)现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学，已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件，则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；(3)在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费500元，乙种货车每辆需付运费450元，运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？【答案】(1)饮用水有200件，蔬菜有110件(2)有4种方案，方案1：安排2辆甲种货车，6辆乙种货车；方案2：安排3辆甲种货车，5辆乙种货车；方案3：安排4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：安排5辆甲种货车，3辆乙种货车；(3)选择方案1可使运费最少，最少运费是3700元【分析】（1）设饮用水有件，则蔬菜有件，根据饮用水比蔬菜多90件，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设安排辆甲种货车，则安排辆乙种货车，根据8辆货车一次性可运送饮用水不少于200件、蔬菜不少于110件，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可得出各安排方案；（3）利用总运费每辆甲种货车的运费租用甲种货车的数量每辆乙种货车的运费租用乙种货车的数量，即可分别求出4个安排方案所需总运费，比较后即可得出结论．【详解】（1）解：设饮用水有件，则蔬菜有件，依题意得：，解得：，．答：饮用水有200件，蔬菜有110件．（2）设安排辆甲种货车，则安排辆乙种货车，依题意得：，解得：，又为整数，可以为2，3，4，5，共有4种安排方案，方案1：安排2辆甲种货车，6辆乙种货车；方案2：安排3辆甲种货车，5辆乙种货车；方案3：安排4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：安排5辆甲种货车，3辆乙种货车；（3）选择方案1所需运费为（元），选择方案2所需运费为（元），选择方案3所需运费为（元），选择方案4所需运费为（元）．，选择方案1可使运费最少，最少运费是3700元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用总运费每辆甲种货车的运费租用甲种货车的数量每辆乙种货车的运费租用乙种货车的数量，求出各安排方案所需总运费．2．（2023春·云南大理·七年级统考期末）利用方程（组）或不等式（组）解决问题：“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．某学校计划分阶段引导学生读这些书，先购买《论语》和《孟子》供学生阅读．已知购买3本《论语》和2本《孟子》共需要170元，购买5本《论语》和3本《孟子》共需要275元．(1)求购买《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？(2)学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校决定再次购进两种书共50本，正逢书店“优惠促销”活动，《孟子》单价优惠4元，《论语》的单价打8折．如果此次学校购买书的总费用不超过1500元，且购买《论语》不少于38本，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？【答案】(1)《论语》的单价为元，《孟子》的单价为元(2)有种购买方案；为了节约资金，学校应选择购买《论语》本，《孟子》本；理由见解析【分析】（1）设《论语》的单价为x元，《孟子》的单价为y元，根据“3本《论语》和2本《孟子》共需要170元，购买5本《论语》和3本《孟子》共需要275元”列出方程组，求解即可；（2）设购买《论语》m本，则购买《孟子》本，根据题意列出关于m的不等式组，求出m的取值范围，由m为整数可得共有种购买方案，然后分别进行计算即可．【详解】（1）解：设《论语》的单价为x元，《孟子》的单价为y元，依题意得：，解得：，答：《论语》的单价为元，《孟子》的单价为元；（2）解：设购买《论语》m本，则购买《孟子》本，依题意得：，解得：，∵m为整数，∴m可以为，∴共有种购买方案：方案：购买《论语》本，《孟子》本，购书的总费用为：（元）；方案：购买《论语》本，《孟子》本，购书的总费用为：（元）；方案：购买《论语》本，《孟子》本，购书的总费用为：（元）；∵，为了节约资金，学校应选择方案：购买《论语》本，《孟子》本．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系和不等关系，正确列出方程组和不等式组是解题的关键．【类型三一元一次不等式(组)的应用--分式方程和一元一次不等式(组)综合问题】例题：（2023秋·浙江金华·八年级校考开学考试）为丰富同学们的课余生活，培养同学们的创新意识和实践能力，某校七年级举办了“玩转科技、畅想未来”活动，为了表彰活动中表现优秀的同学，学校准备采购A、B两种奖品.这两种奖品在甲、乙两个商场的标价相同，A奖品的单价与B奖品单价之和为35元，买10份A奖品和20份B奖品一共需450元．(1)求A奖品和B奖品的单价分别是多少？(2)甲、乙两商场举办让利活动：甲商场所有商品以相同折扣打折销售，乙商场买一份A奖品送一份B奖品.采购时发现在甲商场用200元买的B奖品数量比用200元买的A奖品数量的2倍还多5件．①甲商场的商品打几折？②若学校分别在甲、乙两商场均采购10件A奖品和n件B奖品，整理时，采购人员发现在甲、乙两商场购买奖品的总费用记账单，只有百位上的数字5能看的清楚，十位和个位上的数字均已被墨水污染．问学校购进B奖品的总数量为多少？【答案】(1)A奖品的单价是25元，B奖品的单价是10元(2)①打8折；②20或22或24或26【分析】（1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据“A奖品的单价与B奖品单价之和为35元，买10份A奖品和20份B奖品一共需450元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）①设甲商场的商品打a折，利用数量＝总价÷单价，结合在甲商场用200元买的B奖品数量比用200元买的A奖品数量的2倍还多5件，可列出关于a的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；②总费用为元，由总费用为500多，可列出关于n的一元一次不等式组，解之可得出n的取值范围，结合n为正整数且，可得出n的值，再将其代入中，即可求出结论．【详解】（1）解：设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，根据题意得：，解得：．答：A奖品的单价是25元，B奖品的单价是10元；（2）解：①设甲商场的商品打a折，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意．答：甲商场的商品打8折；②总费用为元，∵总费用为500多，∴，解得：，又∵n为正整数，且，∴n可以为10，11，12，13，∴2n可以为20，22，24，26．答：学校购进B奖品的总数量为20件或22件24件或26件．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．【变式训练】1．（2023春·四川达州·八年级校考期末）二月樱花开，四月樱桃红，随着樱桃成熟上市，某水果店花费6000元黄蜜樱桃，另花费1000元购进红灯樱桃，黄蜜樱桃的进价是红灯樱桃的进价的2倍，黄蜜樱桃的数量比红灯樱桃的数量多100千克．(1)求红灯樱桃每千克的进价；(2)该水果店第一周以40元/千克的价格售出红灯樱桃3m千克，第二周每千克售价降低了元，售出20千克，购进的红灯樱桃剩余部分全部售罄、若购进的红灯樱桃总利润不低于770元，求m的最小值．【答案】(1)20元(2)5【分析】（1）设红灯樱桃每千克的进价为x元，根据黄蜜樱桃的数量比红灯樱桃的数量多100千克，列分式方程，求解即可；（2）根据购进的红灯樱桃总利润不低于770元，列一元一次不等式，求解即可．【详解】（1）设红灯樱桃每千克的进价为x元，根据题意，得，解得，经检验，是原分式方程的根，答：红灯樱桃每千克的进价为20元；（2）（千克），根据题意，得，解得答：m的最小值为5．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）烟花三月的重庆天气变得非常暖和，正当春装上市之时，某商家2月初购进一批衬衣一共花费1000元，购进一批Ｔ恤一共花费3000元，每件Ｔ恤的进价比每件衬衣进价高50元，且Ｔ恤数量刚好是衬衣数量的2倍.(1)求2月初衬衣和Ｔ恤的进价各是多少元？(2)由于2月份Ｔ恤畅销，3月初商家按照2月初的进价购进件恤进行销售，且进货的总价不超过6750元，在实际销售过程中Ｔ恤先按照标价400元卖了10件，剩余的按照标价打7折促进销售，为保证总利润不低于6790元，求满足条件的的最小值.【答案】(1)衬衣的进价为100元，恤的进价为150元(2)43【分析】（1）设2月初衬衣的进阶为元，则恤的进价为元，由题意：购进一批衬衣一共花费1000元，购进一批恤一共花费3000元，且恤数量刚好是衬衣数量的2倍．列出分式方程，解方程即可；（2）根据3月初商家按照2月初的进价购进件恤进行销售，且进货的总价不超过6750元，保证总利润不低于6790元，列出一元一次不等式组，解不等式组即可．【详解】（1）解：设2月初衬衣的进价为元，则恤的进价为元，由题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，，答：2月初衬衣的进价为100元，恤的进价为150元；（2）由题意得：，解得：，答：满足条件的的最小值为43．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．【过关检测】一、解答题1．（2023秋·广西桂林·八年级统考期末）某中学为创建“绿色学校”，响应“节能减排”号召，决定购进一批甲、乙两种型号的节能灯，已知乙型号节能灯的单价比甲型号节能灯的单价少5元，用960元购买甲型号节能灯恰好与用800元购买乙型号节能灯的盏数相同．(1)甲、乙两种型号的节能灯的单价分别是多少元？(2)该学校购买这两种型号的节能灯共80盏，且投入的经费不超过2300元，那么最多可购买多少盏甲型号节能灯？【答案】(1)甲每盏灯30元，乙每盏灯25元(2)60盏【分析】（1）设乙每盏灯x元，则甲每盏灯为元，根据题意，列出方程求解即可．（2）设最多购买甲种灯y盏，根据题意列出不等式求解即可．【详解】（1）设乙每盏灯x元，则甲每盏灯为元，根据题意，得，解方程，得，经检验，是原方程的根，故，答：甲每盏灯30元，乙每盏灯25元．（2）设最多购买甲种灯y盏，根据题意，得，解得，答：最多购买60盏甲种灯．【点睛】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，熟练掌握分式方程的应用，不等式的解法是解题的关键．2．（2023春·河北保定·八年级校联考期末）唐山某校决定购买，两种奖品，用于表彰在“网络课堂”中表现突出的学生，已知奖品比奖品每件贵元，预算资金为元，其中元购买奖品，其余资金购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的倍．(1)求，奖品的单价；(2)购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买奖品的资金不少于元，，两种奖品共件，有几种购买方案？【答案】(1)奖品的单价为元，则奖品的单价为元(2)有三种方案：①购买种奖品件，种奖品件；②购买种奖品件，种奖品件；③购买种奖品件，种奖品件．【分析】（1）设奖品的单价为元，则奖品的单价为元，由题意：预算资金为元，其中元购买奖品，其余资金购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的倍．列出分式方程，解方程即可；（2）设购买种奖品的数量为件，则购买种奖品的数量为件，由题意：不超过预算资金且购买奖品的资金不少于元，列出一元一次不等式组，解不等式组即可．【详解】（1）解：设奖品的单价为元，则奖品的单价为元，由题意得：解得：，经检验，是原方程的解，则，答：奖品的单价为元，则奖品的单价为元；（2）设购买种奖品的数量为件，则购买种奖品的数量为件，由题意得：解得：，为正整数，的值为，，，有三种方案：①购买种奖品件，种奖品件；②购买种奖品件，种奖品件；③购买种奖品件，种奖品件．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式组．3．（2023春·江苏南通·七年级校考阶段练习）某集团需运输一批物资，据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输物资850箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输物资1900箱．(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用4000元．若运输物资不少于2050箱，且总费用不大于55000元．请问共有哪几种运输方案？(3)在（2）的方案中，哪种方案所需费用最少？最少费用是多少？【答案】(1)1辆大货车一次运输200箱物资，1辆小货车一次运输150箱物资(2)整数，6，7．共有三种方案：5辆大货车，7辆小货车；6辆大货车，6辆小货车；7辆大货车，5辆小货车(3)当有5辆大货车，7辆小货车时，费用最小，最小费用为53000元【分析】（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）设有a辆大货车，辆小货车，根据题意列一元一次不等式组求解即可；（3）根据（2）中的方案，列式求解即可．【详解】（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，由题意可得：，解得：，答：1辆大货车一次运输200箱物资，1辆小货车一次运输150箱物资；（2）设有a辆大货车，辆小货车，由题意可得：，∴，∴整数，6，7．共有三种方案；即：5辆大货车，7辆小货车；6辆大货车，6辆小货车；7辆大货车，5辆小货车；（3）当有5辆大货车，7辆小货车时，费用元，当有6辆大货车，6辆小货车时，费用元，当有7辆大货车，5辆小货车时，费用元，∵，∴当有5辆大货车，7辆小货车时，费用最小，最小费用为53000元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系和不等关系，列出式子．4．（2023春·河南鹤壁·七年级统考期中）某超市购进甲、乙两种型号的空气加湿器进行销售，其进价与售价如下表：进价元台售价元台甲型150200乙型120160(1)某月该超市花费4200元购进这两种空气加湿器共30台，并且当月全部售完，问该超市当月销售这两种空气加湿器赚了多少钱？(2)为满足市场需求，该超市决定用不超过6750元的资金采购甲、乙两种型号的空气加湿器共50台，且甲型空气加湿器的数量不少于23台，问超市有哪几种进货方案？(3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，选择哪种进货方案该超市获得利润最多？【答案】(1)该超市当月销售这两种空气加湿器赚了1400元(2)超市有3种进货方案：方案1：购进甲型空气加湿器23台，乙型空气加湿器27台；方案2：购进甲型空气加湿器24台，乙型空气加湿器26台；方案3：购进甲型空气加湿器25台，乙型空气加湿器25台；(3)选择方案3，即购进甲型空气加湿器25台，乙型空气加湿器25台时，该超市获得利润最多【分析】（1）设超市购进甲型空气加湿器x台，乙型空气加湿器y台，利用总价=单价×数量，结合购进两种空气加湿器30台时共用去了4200元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出x，y的值，再利用总利润每台的利润销售数量购进数量，即可求出该超市在该买卖中赚的钱数；（2）设购进甲型空气加湿器a台，则购进乙型空气加湿器台，根据“购买50台空气加湿器的总花费不超过6750元，且购进甲型空气加湿器的数量不少于23个”，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为整数，即可得出各进货方案；（3）利用总利润=每台的利润×销售数量，可分别求出选用各进货方案可获得的利润，比较后即可得出选择方案3超市赚钱最多．【详解】（1）解：设超市购进甲型空气加湿器台，乙型空气加湿器台，根据题意，得，解得，则(元)，答：该超市当月销售这两种空气加湿器赚了1400元；（2）解：设购进甲型空气加湿器台，则购进乙型空气加湿器台，根据题意，得，解得：，又因为为正整数，所以可以取23，24，25，所以超市有3种进货方案：方案1：购进甲型空气加湿器23台，乙型空气加湿器27台；方案2：购进甲型空气加湿器24台，乙型空气加湿器26台；方案3：购进甲型空气加湿器25台，乙型空气加湿器25台；（3）解：选择方案1时得销售总利润(元)；选择方案2时得销售总利润(元)；选择方案3时得销售总利润(元)．因为，所以选择方案3，即购进甲型空气加湿器25台，乙型空气加湿器25台时，该超市获得利润最多．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用总利润每台的利润销售数量，分别求出选用各进货方案可获得的利润．5．（2023春·新疆阿克苏·七年级校考期末）某超市销售每个进价分别为240元、200元的A、B两种型号的电饭煲，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周2台3台1960元第二周4台5台3560元（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）(1)求A、B两种型号的电饭煲的销售单价；(2)若超市准备用不多于11900元的金额再采购这两种型号的电饭煲共50台，求A种型号的电饭煲最多能采购多少台？若超市销售完这50台电饭煲能实现利润超过9800元的目标，请直接给出相应的采购方案．【答案】(1)A、B两种型号电饭煲的销售单价分别为440元、360元(2)47台；方案见解析【分析】（1）设A种型号电饭煲的销售单价为元，B种型号电饭煲的销售单价为元，根据表格信息列出方程组求解即可；（2）设采购A种型号电饭煲台，则采购B种型号电饭煲台，根据：用不多于11900元的金额再采购这两种型号的电饭煲共50台，列出不等式解出m即可得到A种型号的电饭煲最多能采购的台数，再根据：市销售完这50台电饭煲能实现利润超过9800元列出不等式求出m的另一个范围，进而可得采购方案．【详解】（1）设A种型号电饭煲的销售单价为元，B种型号电饭煲的销售单价为元．依题意得：解得：·答：A、B两种型号电饭煲的销售单价分别为440元、360元．（2）设采购A种型号电饭煲台，则采购B种型号电饭煲台．依题意得：解得：所以超市最多采购A种型号电饭煲47台时，采购金额不多于11900元．又超市销售完这50台电饭煲能实现利润超过9800元则解得：∵，且应为整数，∴的值可取46、47．所以超市能实现利润超过9800元的目标．相应方案有两种：①采购A种型号的电饭煲46台，B种型号的电饭煲4台；②采购A种型号的电饭煲47台，B种型号的电饭煲3台．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，正确理解题意、列出方程组和不等式组是解题的关键．6．（2023秋·湖北黄冈·八年级统考阶段练习）某商店决定购进A、B两种小礼品．若购进A种小礼品15件，B种小礼品10件，需要450元；A种小礼品9件，B种小礼品12件，需360元．(1)求A、B两种小礼品每件进价各多少元？(2)若该商店决定购进这两种小礼品共100件，考虑市场需求和资金周围，用于购买这100件小礼品的资金不少于1800元，但不超过1812元，那么该商店共有哪几种进货方案？(3)已知该商店出售一件A种小礼品可获利t元，出售一件B种小礼品可获利元，在（2）的条件下，商店采用哪种进货方案获利最多？（商店出售的小礼品标价均不低于进价）【答案】(1)A，B两种小礼品的价格分别为20元和15元(2)3种方案方案，一：购买60件A种小礼品，40件B种小礼品；方案二：购买61件A种小礼品，39件B种小礼品；方案三：购买62件A种小礼品，38件B种小礼品．(3)当时，三种方案获利相同；当时，方案一获利最多；当时，方案三获利最多【分析】（1）设A，B两种小礼品的价格分别为x元和y元，由题意列出二元一次方程组即可求解．（2）设购买A种小礼品a件，则购买B种小礼品件，根据不等关系列出不等式组即可求解．（3）分类讨论：当时；当时；当时，带入3种方案，计算即可求解．【详解】（1）解：设A，B两种小礼品的价格分别为x元和y元，则，解得，∴A，B两种小礼品的价格分别为20元和15元．（2）设购买A种小礼品a件，则购买B种小礼品件，故，解得：．∵a是整数，∴，61，62，∴，39，38，∴共有3种方案，分别如下：方案一：购买60件A种小礼品，40件B种小礼品；方案二：购买61件A种小礼品，39件B种小礼品；方案三：购买62件A种小礼品，38件B种小礼品．（3）由题可得，，方案一可获利元；方案二可获利元；方案三可获利元．∴当时，则方案一可获利（元）；方案二可获利（元）；方案三可获利（元）；则三种方案获利相同；当时，假设，则方案一可获利（元）；方案二可获利（元）；方案三可获利（元）；则方案一获利最多；当时，假设，则方案一可获利（元）；方案二可获利（元）；方案三可获利（元）；则方案三获利最多．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式（组）的应用及方案问题，理清题意，根据等量关系列出二元一次方程组及不等关系列出一元一次不等式（组），结合分类讨论思想解决问题是解题的关键．7．（2023春·云南昆明·七年级统考期末）为保持空气质量的良好率，降低空气污染，昆明某公交公司决定更换节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种新能源公交车，其中每台的价格，年载客量如下表：型型价格（万元/台）年载客量（万人/年）60100若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元．(1)求的值；(2)现准备计划购买型和型两种新能源公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次．请你设计一个方案，使得购车总费用最少．【答案】(1)，(2)购买型公交车8辆，型公交车2辆【分析】(1)列出方程组计算即可．(2)设购买型公交车辆，则购买型公交车辆，列出不等式组计算出方案，根据利润计算法计算利润，比较大小即可．【详解】（1）依题意得：，解得：，答：的值为的值为150．（2）解：设购买型公交车辆，则购买型公交车辆，依题意得：，解得：．又∵为整数，∴可以为．当时，，购买总费用为（万元）；当时，，购买总费用为（万元）；当时，，购买总费用为（万元）．答：总费用最少的购买方案为：购买型公交车8辆，型公交车2辆．【点睛】本题考查了方程组的应用，不等式组的应用，正确列式并准确解答时解题的关键．8．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了．(1)该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量；(2)根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案：(3)在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量．【答案】(1)该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张(2)该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；(3)该店捐甲、乙两款机器的数量分别为3台、13台．【分析】（1）设该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张，根据四月份销售两种儿童床共20张和销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，可得