解题技巧：利用等腰三角形的‘三线合一’作辅助线及构造等腰三角形之六大题型（原卷版）

专题12解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助线及构造等腰三角形之六大题型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【题型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1【题型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】 6【题型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 10【题型四利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 19【题型五过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 27【题型六利用倍角关系构造新等腰三角形】 34【典型例题】【题型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】例题：如图，在中，，，D为BC的中点，过D作直线DE交直线AB与E，过D作直线，并交直线AC与F．(1)若E点在线段AB上（非端点），则线段DE与DF的数量关系是______________；(2)若E点在线段AB的延长线上，请你作图（用黑色水笔），此时线段DE与DF的数量关系是_____________，请说明理由．【变式训练】1．在中，，，点O为的中点．(1)若，两边分别交于E，F两点．①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：；②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则．(2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长．【题型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】例题：如图，点，在的边上，，．(1)如图1，求证：；(2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值．【变式训练】1．已知平分，如图1所示，点B在射线上，过点B作于点A，在射线上取一点C，使得．

(1)若线段，求线段的长；(2)如图2，点D是线段上一点，作，使得的另一边交于点E，连接．①是否成立，请说明理由；②请判断三条线段的数量关系，并说明理由．【题型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】例题：如图所示，D为内一点，平分，，，若，，求：线段的长．

【变式训练】1．中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F．

(1)如图1，若平分，，求的值；(2)如图2，M是延长线上一点，连接，当平分时，试探究之间的数量关系并说明理由；(3)如图3，连接，①求证：；②，，求的值．2．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中）(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据证明，则，（即点C为的中点）．(2)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得．(3)【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．(4)【实际应用】如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案．【题型四利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】例题：已知，如图中，、的平分线相交于点，过点作交、于、．

(1)如图1若，图中有________个等腰三角形，且与、的数量关系是________．(2)如图2若，其他条件不变，（1）问中与、间的关系还成立吗？请说明理由．(3)如图3在中，若，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．请直接写出与、间的数量关系是．【变式训练】1．（2023春·江西吉安·八年级统考期末）类比、转化等数学思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．已知△ABC．(1)观察发现如图①，若点D是和的角平分线的交点，过点D作分别交，于E，F．填空：与的数量关系是______．请说明理由(2)猜想论证如图②，若点D是外角和的角平分线的交点，其他条件不变，填：与的数量关系是______．请说明理由(3)类比探究如图③，若点D是和外角的角平分线的交点．其他条件不变，则（1）中的关系成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请写出关系式，再证明．2．解答(1)问题背景如图（1），已知，平分，求证：．(2)尝试应用：如图（2），在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的数量关系，并证明你的结论．(3)拓展创新：如图（3），在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论．

3．【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形．如图1，为的角平分线上一点，常过点作交于点，易得为等腰三角形．(1)【基本运用】如图2，把长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，则重合部分是等腰三角形．请将以下过程或理由补充完整：∵在长方形中，，∴，由折叠性质可得：____________，∴，∴，（依据是：____________）∴是等腰三角形；(2)【类比探究】如图3，中，内角与外角的角平分线交于点，过点作分别交、于点、，试探究线段、、之间的数量关系并说明理由；(3)【拓展提升】如图4，四边形中，，为边的中点，平分，连接，求证：．【题型五过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】例题：已知：等边中．(1)如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足，求的值；(2)如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A，B重合），点N在CB的延长线上且，求证：．(3)如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足，求的值．【变式训练】1．如图，在中，，为延长线上一点，且交于点.(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，为中点，求的长.2．在等边中，是的中点，，的两边分别交直线、于、．(1)问题：如图1，当、分别在边、上，，时，直接写出线段与的数量关系；(2)探究：如图2，当落在边上，落在射线上时，（1）中的结论是否仍然成立？写出理由；(3)应用：如图3，当落在射线上，F落在射线上时，，，则___________．【题型六利用倍角关系构造新等腰三角形】例题：如图，在中，，的平分线交于点D．求证：．

【变式训练】1．综合与实践徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题：如图1，在中，，是的平分线．求证：．(1)解决问题：小敏的证明思路：在上截取，连接．（如图2）小洁的证明思路：延长至点E，使，连接．（如图3）请你任意选择一种思路完成证明．(2)问题升华：如图4，在中，若，，是外角的平分线，交的延长线于点D，则线段，，之间的数量关系又如何？请证明．2．已知在中，满足．

(1)【问题解决】如图1，当，为的角平分线时，在上取一点E，使得，连接，请直接写出之间