解题技巧：勾股定理与面积问题、方程思想之七大类型（原卷版）

专题15解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想之七大类型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】 1【类型二巧妙割补求面积】 8【类型三结合乘法公式巧求面积或长度】 12【类型四“勾股树”及其拓展类型求面积】 15【类型五几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】 21【类型六几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】 28【类型七实际问题中的方程思想】 30【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】例题：如图，在中，，，在中，是边上的高，，．(1)求的长．(2)求斜边边上的高．【变式训练】1．（2023春·青海西宁·八年级校考阶段练习）等腰三角形的腰为，底边长为，则它的高为（

）．A． B． C． D．2．（2023春·湖南湘西·八年级校联考期中）如图所示，在中，，，，那么边上的高为（

）

A． B． C． D．3．（2023春·湖北鄂州·八年级校考阶段练习）如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则边上的高为（

）A． B． C． D．4．（2023秋·湖南衡阳·八年级衡阳市第十五中学校考期末）直角三角形一直角边长为6，斜边长为，则这个直角三角形斜边上的高为．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，则BC边上的高为．6．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）如图，在中，，，、是边上两点，，若，，则的边上的高是．

7．（2022秋·安徽淮北·九年级校考开学考试）直角三角形两边长分别为和，则斜边上的高为．8．（2023春·河南安阳·八年级统考期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上．（1）直接写出AC的长为，△ABC的面积为；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺作出AC边上的高BD，并保留作图痕迹；（3）求BD的长．【类型二巧妙割补求面积】例题：（2023春·河南许昌·八年级校考期中）如图，在四边形中，已知，，，，．

(1)求证：是直角三角形；(2)求四边形的面积．【变式训练】1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图所示，是一块地的平面图，其中米，米，米，米，，求这块地的面积.

2．（2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末）已知，，是的三边，且，，．(1)试判断的形状，并说明理由；(2)求的面积．3．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）四边形草地中，已知，，，，且为直角．

(1)求这个四边形草地的面积；(2)如果清理草地杂草，每平方米需要人工费20元，清理完这块草地杂草需要多少钱？4．（2022春·重庆綦江·八年级校考阶段练习）计算：如图，每个小正方形的边长都为1．

(1)求线段与的长；(2)求四边形的面积；(3)求证：．【类型三结合乘法公式巧求面积或长度】例题：已知在中，所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．在中，AD是BC边上的高，，则的面积为（

）A．18 B．24 C．18或24 D．18或303．直角三边长分别是x，和5，则的面积为__________．【类型四“勾股树”及其拓展类型求面积】例题：（2023·广西柳州·校考一模）如图，，正方形和正方形的面积分别是289和225，则以为直径的半圆的面积是（）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）如图中字母A所代表的正方形的面积为（

）

A．5 B．10 C．15 D．252．（2023春·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，在中，，分别以的三条边分别作等腰直角三角，，，若它们的面积分别表示为，，，则，，的关系是（

）

A． B．C． D．，，无等量关系3．（2023春·福建福州·八年级统考期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A的面积是的面积是的面积是，则的面积为．

4．（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为．5．（2023春·湖南永州·八年级校考阶段练习）如图②，它可以看作是由边长为a、b、c的两个直角三角形（如图①c为斜边）拼成的，其中A、C、D三点在同一条直线上，(1)请从面积出发写出一个表示a、b、c的关系的等式；（要求写出过程）(2)如图③④⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有个．（不需证明）(3)如图⑥所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，直角三角形面积为S3，请判断的关系，并说明理由．【类型五几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】例题：（2023春·河南许昌·八年级统考期中）已知直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则的长是（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（

）A． B． C． D．32．（2023春·山东菏泽·八年级统考期中）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为．

3．（2022秋·河北张家口·八年级统考期中）在中，，点分别在边上（不与端点重合）．将△ADE沿折叠，点A落在的位置．

(1)如图①，当与点重合且．①直接写出的长；②求的面积．(2)当．①与点在直线的异侧时．如图②，直接写出的大小；②与点在直线的同侧时，且的一边与平行，直接写出的度数．【类型六几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】例题：已知：如图，在中，是的角平分线，，则____．

【变式训练】1．如图，在和中，，，，延长，交于点．

(1)求证：点A在的平分线上；(2)若，，，求的长．【类型七实际问题中的方程思想】例题：（2022·全国·八年级）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD＝CE＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）长______尺．【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸2．（2022·河南·金明中小学八年级期中）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高短2尺；斜放，门对角线长恰好是竿长的倍．问门高、门宽各为多少？3．（2022·重庆市求精中学校八年级期中）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线AC的长．4．（2022·浙江·浦江县实验中学八年级期中）图1是一张可以折叠的小床展开