河南省平顶山市18-19学年2025届高三一诊考试数学试卷含解析

河南省平顶山市18-19学年2025届高三一诊考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列四个图象可能是函数图象的是（）A． B． C． D．2．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第天长高尺，芜草第天长高尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：，）A． B． C． D．3．已知斜率为2的直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p＝（）A．1 B． C．2 D．44．已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．5．下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（）A． B． C． D．6．已知，且，则在方向上的投影为（）A． B． C． D．7．执行如图所示的程序框图，若输出的，则①处应填写（）A． B． C． D．8．已知向量，夹角为，，，则()A．2 B．4 C． D．9．设为非零实数，且，则（）A． B． C． D．10．已知平面和直线a，b，则下列命题正确的是（）A．若∥，b∥，则∥ B．若，，则∥C．若∥，，则 D．若，b∥，则11．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图（例如：年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、），根据该图，以下结论一定正确的是（）A．年该工厂的棉签产量最少B．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C．三年累计下来产量最多的是口罩D．口罩的产量逐年增加12．已知函数f(x)＝,若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．对定义在上的函数，如果同时满足以下两个条件：（1）对任意的总有；（2）当，，时，总有成立.则称函数称为G函数.若是定义在上G函数，则实数a的取值范围为________.14．过动点作圆：的切线，其中为切点，若（为坐标原点），则的最小值是__________．15．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．16．如图所示，点，B均在抛物线上，等腰直角的斜边为BC，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.18．（12分）设直线与抛物线交于两点，与椭圆交于两点，设直线（为坐标原点）的斜率分别为，若.（1）证明：直线过定点，并求出该定点的坐标；（2）是否存在常数，满足？并说明理由.19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，.（1）求A的余弦值；（2）求△ABC面积的最大值．20．（12分）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若函数有两个极值点，，且，为的导函数，设，求的取值范围，并求取到最小值时所对应的的值.21．（12分）已知抛物线：（）的焦点到点的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，点、分别在第一和第二象限内，求的面积.22．（10分）如图1，在边长为4的正方形中，是的中点，是的中点，现将三角形沿翻折成如图2所示的五棱锥.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

首先求出函数的定义域，其函数图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到，因为为奇函数，即可得到函数图象关于对称，即可排除A、D，再根据时函数值，排除B，即可得解.【详解】∵的定义域为，其图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到，∵为奇函数，图象关于原点对称，∴的图象关于点成中心对称.可排除A、D项.当时，，∴B项不正确.故选：C【点睛】本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.2、C【解析】

由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度，进而可得：，解出即可得出．【详解】由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为据题意得：，解得2n＝12，∴n21．故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3、C【解析】

设直线l的方程为x＝y，与抛物线联立利用韦达定理可得p．【详解】由已知得F（，0），设直线l的方程为x＝y，并与y2＝2px联立得y2﹣py﹣p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0），∴y1+y2＝p，又线段AB的中点M的纵坐标为1，则y0（y1+y2）＝，所以p=2,故选C．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．4、B【解析】

由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用即可得解.【详解】平面，底面是边长为2的正方形，如图建立空间直角坐标系，由题意：，，，，，为的中点，.，，，异面直线与所成角的余弦值为即为.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.5、C【解析】

分析函数的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.【详解】函数的定义域为，在上为减函数.A选项，的定义域为，在上为增函数，不符合.B选项，的定义域为，不符合.C选项，的定义域为，在上为减函数，符合.D选项，的定义域为，不符合.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.6、C【解析】

由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定义计算．【详解】由可得，因为，所以．故在方向上的投影为．故选：C．【点睛】本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．7、B【解析】

模拟程序框图运行分析即得解.【详解】；；.所以①处应填写“”故选：B【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8、A【解析】

根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果.【详解】由于，故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题.9、C【解析】

取，计算知错误，根据不等式性质知正确，得到答案.【详解】，故，，故正确；取，计算知错误；故选：.【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.10、C【解析】

根据线面的位置关系，结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可.【详解】A：当时，也可以满足∥，b∥，故本命题不正确；B：当时，也可以满足，，故本命题不正确；C：根据平行线的性质可知：当∥，，时，能得到，故本命题是正确的；D：当时，也可以满足，b∥，故本命题不正确.故选：C【点睛】本题考查了线面的位置关系，考查了平行线的性质，考查了推理论证能力.11、C【解析】

根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论.【详解】由于该工厂年至年的产量未知，所以，从年至年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较，故A、B、D选项错误；由堆积图可知，从年至年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最多的是口罩，C选项正确.故选：C.【点睛】本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.12、D【解析】

由已知可将问题转化为：y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线y＝kx－的下方，即可求得：k＞；再求得直线y＝kx－和y＝lnx相切时，k＝；结合图象即可得解.【详解】若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点．作出函数y＝f(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线y＝kx－的下方．∴k×1－＞0，解得k＞.当直线y＝kx－和y＝lnx相切时，设切点横坐标为m，则k＝＝，∴m＝.此时，k＝＝，f(x)的图象和直线y＝kx－有3个交点，不满足条件，故所求k的取值范围是，故选D..【点睛】本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由不等式恒成立问题采用分离变量最值法：对任意的恒成立，解得，又在，恒成立，即，所以，从而可得.【详解】因为是定义在上G函数，所以对任意的总有，则对任意的恒成立，解得，当时，又因为，，时，总有成立，即恒成立，即恒成立，又此时的最小值为，即恒成立，又因为解得.故答案为：【点睛】本题是一道函数新定义题目，考查了不等式恒成立求参数的取值范围，考查了学生分析理解能力，属于中档题.14、【解析】解答：由圆的方程可得圆心C的坐标为(2,2)，半径等于1.由M(a,b),则|MN|2=(a−2)2+(b−2)2−12=a2+b2−4a−4b+7，|MO|2=a2+b2.由|MN|=|MO|,得a2+b2−4a−4b+7=a2+b2.整理得：4a+4b−7=0.∴a，b满足的关系为：4a+4b−7=0.求|MN|的最小值，就是求|MO|的最小值．在直线4a+4b−7=0上取一点到原点距离最小，由“垂线段最短”得，直线OM垂直直线4a+4b−7=0，由点到直线的距离公式得：MN的最小值为：.15、0.08【解析】

先求解这组数据的平均数，然后利用方差的公式可得结果.【详解】首先求得，．故答案为：0.08.【点睛】本题主要考查数据的方差，明确方差的计算公式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.16、【解析】

设出两点的坐标，结合抛物线方程、两条直线垂直的条件以及两点间的距离公式列方程，解方程求得的坐标.【详解】设，由于在抛物线上，所以.由于三角形是等腰直角三角形，，所以.由得，化为，可得，所以，解得，则.所以.故答案为：【点睛】本题考查抛物线的方程和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）见解析【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连结NE.则N，E(0，0，1)，A(，，0)，M.∴＝，＝.∴＝且NE与AM不共线．∴NE∥AM.∵NE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知＝，∵D(，0，0)，F(，，1)，∴＝(0，，1)，∴·＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.18、（1）证明见解析（0，2）；（2）存在，理由见解析【解析】

（1）设直线l的方程为y=kx+b代入抛物线的方程，利用OA⊥OB，求出b，即可知直线过定点（2）由斜率公式分别求出，，联立直线与抛物线，椭圆，再由根与系数的关系得，，，代入，，化简即可求解.【详解】（1）证明：由题知，直线l的斜率存在且不过原点，故设由可得，.，，故所以直线l的方程为故直线l恒过定点.（2）由（1）知设由可得，，即存在常数满足题意.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线、椭圆的位置关系，直线过定点问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19、（1）；（2）【解析】

（1）根据正弦定理化简得到，故，得到答案.（2）计算，再利用面积公式计算得到答案.【详解】（1），则，即，故，，故.（2），故，故.当时等号成立.，故，，故△ABC面积的最大值为.【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.20、（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）的取值范围是；对应的的值为.【解析】

（1）当时，求的导数可得函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，，且，利用导函数，可得的范围，再表达，构造新函数可求的取值范围，从而可求取到最小值时所对应的的值．【详解】（1）函数由条件得函数的定义域：，当时，，所以：，时，，当时，，当，时，，则函数的单调增区间为：，单调递减区间为：，；（2）由条件得：，，由条件得有两根：，，满足，△，可得：或；由，可得：．，函数的对称轴为，，所以：，；，可得：，，，则：，所以：；所以：，令，，，则，因为：时，，所以：在，上是单调递减，在，上单调递增，因为：，（1），，（1），所以，；即的取值范围是：，；，所以有，则，；所以当取到最小值时所对应的的值为；【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调区间问题，考查利用导数求函数的最值，体现了转化的思想方法，属于难题．21、（1）（2）【解析】

（1）因为，可