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文档简介

安徽省亳州市第二中学2025届高三二诊模拟考试数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是()A.180 B.90 C.45 D.3602.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A. B. C. D.3.已知复数是正实数,则实数的值为()A. B. C. D.4.设a,b∈(0,1)∪(1,+∞),则"a=b"是"logA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.在复平面内,复数对应的点的坐标为()A. B. C. D.6.设复数满足,在复平面内对应的点的坐标为则()A. B.C. D.7.执行如图所示的程序框图,如果输入,则输出属于()A. B. C. D.8.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是说:两个同高的几何体,如在等高处的截面积恒相等,则体积相等.设、为两个同高的几何体,、的体积不相等,、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知,是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知集合的所有三个元素的子集记为.记为集合中的最大元素,则()A. B. C. D.10.在等差数列中,若,则()A.8 B.12 C.14 D.1011.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为().A. B. C. D.12.若双曲线:()的一个焦点为,过点的直线与双曲线交于、两点,且的中点为,则的方程为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设,若函数有大于零的极值点,则实数的取值范围是_____14.已知抛物线的焦点为,斜率为的直线过且与抛物线交于两点,为坐标原点,若在第一象限,那么_______________.15.在平面直角坐标系中,点P在直线上,过点P作圆C:的一条切线,切点为T.若,则的长是______.16.过直线上一动点向圆引两条切线MA,MB,切点为A,B,若,则四边形MACB的最小面积的概率为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆:的离心率为,右焦点为抛物线的焦点.(1)求椭圆的标准方程;(2)为坐标原点,过作两条射线,分别交椭圆于、两点,若、斜率之积为,求证:的面积为定值.18.(12分)已知函数.(1)解不等式;(2)使得,求实数的取值范围.19.(12分)已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,,线段的中点为.(Ⅰ)证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值;(Ⅱ)若过点,延长线段与交于点,四边形能否为平行四边形?若能,求此时的斜率,若不能,说明理由.20.(12分)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的参数方程是(为参数,常数),曲线的极坐标方程是.(1)写出的普通方程及的直角坐标方程,并指出是什么曲线;(2)若直线与曲线,均相切且相切于同一点,求直线的极坐标方程.21.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设点在曲线上,点在曲线上,且为正三角形.(1)求点,的极坐标;(2)若点为曲线上的动点,为线段的中点,求的最大值.22.(10分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若,设,证明:,,使.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】试题分析:因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以,,令,则,.考点:1.二项式定理;2.组合数的计算.2、D【解析】

根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成,利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.【详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成,该多面体体积为.故选D.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图,考查柱体和锥体的体积公式,属于基础题.3、C【解析】

将复数化成标准形式,由题意可得实部大于零,虚部等于零,即可得到答案.【详解】因为为正实数,所以且,解得.故选:C【点睛】本题考查复数的基本定义,属基础题.4、A【解析】

根据题意得到充分性,验证a=2,b=1【详解】a,b∈0,1∪1,+∞,当"a=b当logab=log故选:A.【点睛】本题考查了充分不必要条件,意在考查学生的计算能力和推断能力.5、C【解析】

利用复数的运算法则、几何意义即可得出.【详解】解:复数i(2+i)=2i﹣1对应的点的坐标为(﹣1,2),故选:C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.6、B【解析】

根据共轭复数定义及复数模的求法,代入化简即可求解.【详解】在复平面内对应的点的坐标为,则,,∵,代入可得,解得.故选:B.【点睛】本题考查复数对应点坐标的几何意义,复数模的求法及共轭复数的概念,属于基础题.7、B【解析】

由题意,框图的作用是求分段函数的值域,求解即得解.【详解】由题意可知,框图的作用是求分段函数的值域,当;当综上:.故选:B【点睛】本题考查了条件分支的程序框图,考查了学生逻辑推理,分类讨论,数学运算的能力,属于基础题.8、A【解析】

由题意分别判断命题的充分性与必要性,可得答案.【详解】解:由题意,若、的体积不相等,则、在等高处的截面积不恒相等,充分性成立;反之,、在等高处的截面积不恒相等,但、的体积可能相等,例如是一个正放的正四面体,一个倒放的正四面体,必要性不成立,所以是的充分不必要条件,故选:A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定,意在考查学生的逻辑推理能力.9、B【解析】

分类讨论,分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数,即可得解.【详解】集合含有个元素的子集共有,所以.在集合中:最大元素为的集合有个;最大元素为的集合有;最大元素为的集合有;最大元素为的集合有;所以.故选:.【点睛】此题考查集合相关的新定义问题,其本质在于弄清计数原理,分类讨论,分别求解.10、C【解析】

将,分别用和的形式表示,然后求解出和的值即可表示.【详解】设等差数列的首项为,公差为,则由,,得解得,,所以.故选C.【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解,难度较易.已知等差数列的任意两项的值,可通过构建和的方程组求通项公式.11、D【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以,解得,所以二项式中奇数项的二项式系数和为.考点:二项式系数,二项式系数和.12、D【解析】

求出直线的斜率和方程,代入双曲线的方程,运用韦达定理和中点坐标公式,结合焦点的坐标,可得的方程组,求得的值,即可得到答案.【详解】由题意,直线的斜率为,可得直线的方程为,把直线的方程代入双曲线,可得,设,则,由的中点为,可得,解答,又由,即,解得,所以双曲线的标准方程为.故选:D.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程的求解,其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组,合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

先求导数,求解导数为零的根,结合根的分布求解.【详解】因为,所以,令得,因为函数有大于0的极值点,所以,即.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题,极值点为导数的变号零点,侧重考查转化化归思想.14、2【解析】

如图所示,先证明,再利用抛物线的定义和相似得到.【详解】由题得,.因为.所以,过点A、B分别作准线的垂线,垂足分别为M,N,过点B作于点E,设|BF|=m,|AF|=n,则|BN|=m,|AM|=n,所以|AE|=n-m,因为,所以|AB|=3(n-m),所以3(n-m)=n+m,所以.所以.故答案为:2【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查抛物线的定义,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15、【解析】

作出图像,设点,根据已知可得,,且,可解出,计算即得.【详解】如图,设,圆心坐标为,可得,,,,,解得,,即的长是.故答案为:【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,以及求平面两点间的距离,运用了数形结合的思想.16、.【解析】

先求圆的半径,四边形的最小面积,转化为的最小值为,求出切线长的最小值,再求的距离也就是圆心到直线的距离,可解得的取值范围,利用几何概型即可求得概率.【详解】由圆的方程得,所以圆心为,半径为,四边形的面积,若四边形的最小面积,所以的最小值为,而,即的最小值,此时最小为圆心到直线的距离,此时,因为,所以,所以的概率为.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,及与长度有关的几何概型,考查了学生分析问题的能力,难度一般.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)见解析【解析】

(1)由条件可得,再根据离心率可求得,则可得椭圆方程;(2)当与轴垂直时,设直线的方程为:,与椭圆联立求得的坐标,通过、斜率之积为列方程可得的值,进而可得的面积;当与轴不垂直时,设,,的方程为,与椭圆方程联立,利用韦达定理和、斜率之积为可得,再利用弦长公式求出,以及到的距离,通过三角形的面积公式求解.【详解】(1)抛物线的焦点为,,,,,,椭圆方程为;(2)(ⅰ)当与轴垂直时,设直线的方程为:代入得:,,,解得:,;(ⅱ)当与轴不垂直时,设,,的方程为由,由①,,,即整理得:代入①得:到的距离综上:为定值.【点睛】本题考查椭圆方程的求解,考查直线和椭圆的位置关系,考查韦达定理的应用,考查了学生的计算能力,是中档题.18、(1);(2)或.【解析】

(1)分段讨论得出函数的解析式,再分范围解不等式,可得解集;(2)先求出函数的最小值,再建立关于的不等式,可求得实数的取值范围.【详解】(1)因为,所以当时,;当时,无解;当时,;综上,不等式的解集为;(2),又,或.【点睛】本题考查分段函数,绝对值不等式的解法,以及关于函数的存在和任意的问题,属于中档题.19、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)能,或.【解析】试题分析:(1)设直线,直线方程与椭圆方程联立,根据韦达定理求根与系数的关系,并表示直线的斜率,再表示;(2)第一步由(Ⅰ)得的方程为.设点的横坐标为,直线与椭圆方程联立求点的坐标,第二步再整理点的坐标,如果能构成平行四边形,只需,如果有值,并且满足,的条件就说明存在,否则不存在.试题解析:解:(1)设直线,,,.∴由得,∴,.∴直线的斜率,即.即直线的斜率与的斜率的乘积为定值.(2)四边形能为平行四边形.∵直线过点,∴不过原点且与有两个交点的充要条件是,由(Ⅰ)得的方程为.设点的横坐标为.∴由得,即将点的坐标代入直线的方程得,因此.四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分,即∴.解得,.∵,,,∴当的斜率为或时,四边形为平行四边形.考点:直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦,当直线与圆锥曲线相交时,点是弦的中点,(1)知道中点坐标,求直线的斜率,或知道直线斜率求中点坐标的关系,或知道求直线斜率与直线斜率的关系时,也可以选择点差法,设,,代入椭圆方程,两式相减,化简为,两边同时除以得,而,,即得到结果,(2)对于用坐标法来解决几何性质问题,那么就要求首先看出几何关系满足什么条件,其次用坐标表示这些几何关系,本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分,即,分别用方程联立求两个坐标,最后求斜率.20、(1),,表示以为圆心为半径的圆;为抛物线;(2)【解析】

(1)消去参数的直角坐标方程,利用,即得的直角坐标方程;(2)由直线与抛物线相切,求导可得切线斜率,再由直线与圆相切,故切线与圆心与切点连线垂直,可求解得到切点坐标,即得解.【详解】(1)消去参数的直角坐标方程为:.的极坐标方程.∵,.当时表示以为圆心为半径的圆;为抛物线.(2)设切点为,由于,则切线斜率为,由于直线与圆相切,故切线与圆心与切点连线垂直,故有,直线的直角坐标方程为,所以的极坐标方程为.【点睛】本题考查了极坐标,参数方程综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.21、(1),;(2).【解析】

(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式,即得

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