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文档简介
广东省珠海一中、惠州一中2025届高三(最后冲刺)数学试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某三棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为,则该三棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.2.设不等式组表示的平面区域为,若从圆:的内部随机选取一点,则取自的概率为()A. B. C. D.3.赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,又称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的,如图(1)),类比“赵爽弦图”,可类似地构造如图(2)所示的图形,它是由个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形,设,若在大正六边形中随机取一点,则此点取自小正六边形的概率为()A. B.C. D.4.若函数在处取得极值2,则()A.-3 B.3 C.-2 D.25.刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家,他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不移动也.合成弦方之幂,开方除之,即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1,其中“正方形为朱方,正方形为青方”,则在五边形内随机取一个点,此点取自朱方的概率为()A. B. C. D.6.已知函数,当时,的取值范围为,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.7.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1),充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平,也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春(秋)分”,“夏(冬)至”的示意图,图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计),夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角.由历法理论知,黄赤交角近1万年持续减小,其正切值及对应的年代如下表:黄赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息,通过计算黄赤交角,可估计该骨笛的大致年代是()A.公元前2000年到公元元年 B.公元前4000年到公元前2000年C.公元前6000年到公元前4000年 D.早于公元前6000年8.在等差数列中,若为前项和,,则的值是()A.156 B.124 C.136 D.1809.已知随机变量的分布列是则()A. B. C. D.10.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.111.已知,,,则a,b,c的大小关系为()A. B. C. D.12.一个正三角形的三个顶点都在双曲线的右支上,且其中一个顶点在双曲线的右顶点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.的展开式中的常数项为______.14.的展开式中的系数为____.15.关于函数有下列四个命题:①函数在上是增函数;②函数的图象关于中心对称;③不存在斜率小于且与函数的图象相切的直线;④函数的导函数不存在极小值.其中正确的命题有______.(写出所有正确命题的序号)16.若,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,四棱锥中,侧面为等腰直角三角形,平面.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成的角的正弦值.18.(12分)如图,在中,,,点在线段上.(1)若,求的长;(2)若,,求的面积.19.(12分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)设点,直线l与曲线C交于不同的两点A、B,求的值.20.(12分)设,,其中.(1)当时,求的值;(2)对,证明:恒为定值.21.(12分)已知函数.(1)设,若存在两个极值点,,且,求证:;(2)设,在不单调,且恒成立,求的取值范围.(为自然对数的底数).22.(10分)已知椭圆的短轴的两个端点分别为、,焦距为.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线与椭圆有两个不同的交点、,设为直线上一点,且直线、的斜率的积为.证明:点在轴上.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
作出三棱锥的实物图,然后补成直四棱锥,且底面为矩形,可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球,然后计算出矩形的外接圆直径,利用公式可计算出外接球的直径,再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.【详解】三棱锥的实物图如下图所示:将其补成直四棱锥,底面,可知四边形为矩形,且,.矩形的外接圆直径,且.所以,三棱锥外接球的直径为,因此,该三棱锥的外接球的表面积为.故选:C.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积,解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图,并分析三棱锥的结构,选择合适的模型进行计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.2、B【解析】
画出不等式组表示的可行域,求得阴影部分扇形对应的圆心角,根据几何概型概率计算公式,计算出所求概率.【详解】作出中在圆内部的区域,如图所示,因为直线,的倾斜角分别为,,所以由图可得取自的概率为.故选:B【点睛】本小题主要考查几何概型的计算,考查线性可行域的画法,属于基础题.3、D【解析】
设,则,小正六边形的边长为,利用余弦定理可得大正六边形的边长为,再利用面积之比可得结论.【详解】由题意,设,则,即小正六边形的边长为,所以,,,在中,由余弦定理得,即,解得,所以,大正六边形的边长为,所以,小正六边形的面积为,大正六边形的面积为,所以,此点取自小正六边形的概率.故选:D.【点睛】本题考查概率的求法,考查余弦定理、几何概型等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.4、A【解析】
对函数求导,可得,即可求出,进而可求出答案.【详解】因为,所以,则,解得,则.故选:A.【点睛】本题考查了函数的导数与极值,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.5、C【解析】
首先明确这是一个几何概型面积类型,然后求得总事件的面积和所研究事件的面积,代入概率公式求解.【详解】因为正方形为朱方,其面积为9,五边形的面积为,所以此点取自朱方的概率为.故选:C【点睛】本题主要考查了几何概型的概率求法,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于基础题.6、C【解析】
求导分析函数在时的单调性、极值,可得时,满足题意,再在时,求解的x的范围,综合可得结果.【详解】当时,,令,则;,则,∴函数在单调递增,在单调递减.∴函数在处取得极大值为,∴时,的取值范围为,∴又当时,令,则,即,∴综上所述,的取值范围为.故选C.【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法,考查了分段函数的性质,属于难题.7、D【解析】
先理解题意,然后根据题意建立平面几何图形,在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角,即黄赤交角,即可得到正确选项.【详解】解:由题意,可设冬至日光与垂直线夹角为,春秋分日光与垂直线夹角为,则即为冬至日光与春秋分日光的夹角,即黄赤交角,将图3近似画出如下平面几何图形:则,,.,估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年.故选:.【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力,运用了两角和与差的正切公式,考查了转化思想,数学建模思想,以及数学运算能力,属中档题.8、A【解析】
因为,可得,根据等差数列前项和,即可求得答案.【详解】,,.故选:A.【点睛】本题主要考查了求等差数列前项和,解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前项和公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.9、C【解析】
利用分布列求出,求出期望,再利用期望的性质可求得结果.【详解】由分布列的性质可得,得,所以,,因此,.故选:C.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,是基本知识的考查.10、A【解析】
由题意得到关于的等式,结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.11、D【解析】
与中间值1比较,可用换底公式化为同底数对数,再比较大小.【详解】,,又,∴,即,∴.故选:D.【点睛】本题考查幂和对数的大小比较,解题时能化为同底的化为同底数幂比较,或化为同底数对数比较,若是不同类型的数,可借助中间值如0,1等比较.12、D【解析】
因为双曲线分左右支,所以,根据双曲线和正三角形的对称性可知:第一象限的顶点坐标为,,将其代入双曲线可解得.【详解】因为双曲线分左右支,所以,根据双曲线和正三角形的对称性可知:第一象限的顶点坐标为,,将其代入双曲线方程得:,即,由得.故选:.【点睛】本题考查了双曲线的性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、160【解析】
先求的展开式中通项,令的指数为3即可求解结论.【详解】解:因为的展开式的通项公式为:;令,可得;的展开式中的常数项为:.故答案为:160.【点睛】本题考查二项式系数的性质,关键是熟记二项展开式的通项,属于基础题.14、28【解析】
将已知式转化为,则的展开式中的系数中的系数,根据二项式展开式可求得其值.【详解】,所以的展开式中的系数就是中的系数,而中的系数为,展开式中的系数为故答案为:28.【点睛】本题考查二项式展开式中的某特定项的系数,关键在于将原表达式化简将三项的幂的形式转化为可求的二项式的形式,属于基础题.15、①②③【解析】
由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断.【详解】函数的定义域是,由于,在上递增,∴函数在上是递增,①正确;,∴函数的图象关于中心对称,②正确;,时取等号,∴③正确;,设,则,显然是即的极小值点,④错误.故答案为:①②③.【点睛】本题考查函数的单调性、对称性,考查导数的几何意义、导数与极值,解题时按照相关概念判断即可,属于中档题.16、【解析】
直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数,进一步求出的值.【详解】解:若,则,即,所以.故答案为:.【点睛】本题考查的知识要点:定积分的应用,被积函数的原函数的求法,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)【解析】
(1)根据平面,利用线面垂直的定义可得,再由,根据线面垂直的判定定理即可证出.(2)取的中点,连接,以为坐标原点,分别为正半轴建立空间直角坐标系求出平面的一个法向量,利用空间向量法即可求解.【详解】因为平面平面,所以由为等腰直角三角形,所以又,故平面.取的中点,连接,因为,所以因为平面,所以平面所以平面如图,以为坐标原点,分别为正半轴建立空间直角坐标系则,又,所以且于是设平面的法向量为,则令得平面的一个法向量设直线与平面所成的角为,则【点睛】本题考查了线面垂直的定义、判定定理以及空间向量法求线面角,属于中档题.18、(1)(2)【解析】
(1)先根据平方关系求出,再根据正弦定理即可求出;(2)分别在和中,根据正弦定理列出两个等式,两式相除,利用题目条件即可求出,再根据余弦定理求出,即可根据求出的面积.【详解】(1)由,得,所以.由正弦定理得,,即,得.(2)由正弦定理,在中,,①在中,,②又,,,由得,由余弦定理得,即,解得,所以的面积.【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用,以及三角形面积公式的应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.19、(1),(2)【解析】
(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,利用消去参数即可得到直线的直角坐标方程;(2)由于在直线上,写出直线的标准参数方程参数方程,代入曲线的方程利用参数的几何意义即可得出求解即可.【详解】(1)直线的普通方程为,即,根据极坐标与直角坐标之间的相互转化,,,而,则,即,故直线l的普通方程为,曲线C的直角坐标方程(2)点在直线l上,且直线的倾斜角为,可设直线的参数方程为:(t为参数),代入到曲线C的方程得,,,由参数的几何意义知.【点睛】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键,难度一般.20、(1)1(2)1【解析】分析:(1)当时可得,可得.(2)先得到关系式,累乘可得,从而可得,即为定值.详解:(1)当时,,又,所以.(2)即,由累乘可得,又,所以.即恒为定值1.点睛:本题考
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