工科数学分析基础上册D傅里叶级数

一

、三角级数及三角函数系的正交性二

、

函数展开成傅里叶级数三

、

正弦级数和余弦级数四

、周期为2

l的周期函数的傅里叶级数目录上页下页返回结束第四节傅里叶级数第四章一

、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动

:

(谐波函数)(A为振幅,

为角频率为初相)复杂的周期运动

:令

得函数项级数称上述形式的级数为三角级数.目录上页下页返回结束

(谐波迭加)定理1.组成三角级数的函数系1sinx,cos2x,sic,simw--正交,即其中任意两个不同的函数之积在 上的积分等于0.证:cosnxdxsic=0(n=1,2,…)=J2[cos(k+n)x+cos(k-n)xdx=0

(k≠n)同理可证

:(k≠n)目录上页下页返回结束但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在上的积分不等于0.且有(n=1,2,…)目录上页下页返回结束二、函数展开成傅里叶级数定理2.设f(x)是周期为2的周期函数,且证

:

由定理条件,对①在逐项积分,得右端级数可逐项积分,则有①②目录上页下页返回结束 (利用正交性).(k=1,2,…)类似地,用sinkx乘①式两边,再逐项积分可得目录上页下页返回结束由公式②确定的

称为函数f(x)的傅里叶系数

;

以f(x)

的傅里

叶系数为系数的三角级数①称为f(x)

的傅里叶级数.①②目录上页下页返回结束简介定理3

(收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2

的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件

:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点

;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有注意

:

函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数

的条件低得多.其中

为f(x)的傅里叶系数(.证明略

)简介目录上页x为连续点x为间断点下页返回结束=0(n=0,1,2,…)目录上页下页返回结束将f(x)展成傅里叶级数.解

:先求傅里叶系数例1.设f(x)是周期为2上的表达式为的周期函

当n=2,4,6,…目录上页下页返回结束时,级数收敛于

2)

傅氏级数的部分和逼近f

(x)的情况见右图.说明

:1)

根据收敛定理可知,目录上页下页返回结束上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.的周期函

例2.设f(x)是周期为2目录上页下页返回结束解

:f(x)=

sin

+(

cos3x+

sin3x)+(cos5x+

sin5x)说明

:

当时,级数收敛于目录上页下页返回结束(n=1,2…)定义在[–,

]上的函数f(x)的傅氏级数展开法

上的傅里叶级数傅里叶展开周期延拓f(x-2kπ)

其它F(x)=目录上页下页返回结束解

:将f(x)延拓成以2

为周期的函数F(x

,例3.将函数展成傅里叶级数.目录上页下页返回结束说明

:

利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当x=

0时,

f(0)=0,得0,n=2k(k=1,2,…)目录上页下页返回结束an已知上页下页返回结束又设目录三、正弦级数和余弦级数1.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数定理4.对周期为2的奇函数f(x),其傅里叶级数正级数,它的傅里叶系数为周期为2

的偶函数f

(x)

,

其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为目录上页下页返回结束例4.设f(x)是周期为2的周期函数,它在的表达式为f(x),f(x)展成傅里叶级数.解:若不计x=(2k+)rk=0,±I,±2…),则f(x)是周期为2

的奇函数,因此目录上页下页返回结束根据收敛定理可得

f

(x)的正弦级数

:f(x)=

—级数的部分和

n=

逼近

f

(x)的情况见右图.目录上页下页返回结束F(x)=

周期延拓F

(x)f

(x)

在

[0,

]上展成正弦级数F(x)=

周期延拓F

(x)f

(x)

在

[0,

]上展成余弦级数2.定义在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数f(x),x∈(0,]偶延拓奇延拓目录上页下页返回结束例5.将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解:先求正弦级数.去掉端点,将f(x)作奇周期延拓,(k=1,2,…)n＝

2kn＝

2k-1目录上页下页返回结束注意

:

在端点

x=0,

,级数的和为0与,给定函数f

(x)=

x+1的值不同.bn=

因此得(k=1,2,…)目录上页下页返回结束再求余弦级数.将O0=an＝作偶周期延拓,则有0,n=2k(k=1,2,…)目录上页下页返回结束说明

:令

x=0可得目录上页下页返回结束即四

、周期为2l的周期函数的傅里叶级数周期为2l的函数

f

(x)变量代换"周期为2

的函数F(z)将F(z)作傅氏展开f

(x)的傅氏展开式目录上页下页返回结束定理.设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理条件则它的傅里叶级数展开式为(在

f

(x)的连续点处)其中(n=0,1,2,…)(n=1,2,…)目录上页下页返回结束an

＝说明

:

如果

f

(x)为奇函数,

则有

(在

f

(x)的连续点处)其中

如果

f

(x)为偶函数,

则有

(在

f

(x)的连续点处)其中

3》注

:无论哪种情况,在

f

(x)的间断点

x处,傅里叶级

都收敛于

数

目录上页下页返回结束0例6.把展开成数收敛于何值?解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有an=0(n=0,1,2,…)(1)

正弦级数

;

(2)

余弦级数在

x=

2

k处级(0<x<

2)目录上页下页返回结束(2)将

作偶周期延拓,

则有

=2bn=0(n=1,2,…)n＝

2k-1目录上页下页返回结束傅里叶(1768–1830)法国数学家.他的著作《热的解析理论》(1822)是数学史上一部经典性文献,书中系统的运用了三角级数和三角积分,他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分.他深信数学是解决实际问题最卓越的工具.以后以傅里叶著作为基础发展起来的傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展都产生了深远的影响.目录上页下页返回结束狄