福建省厦门市、泉州市五校2024-2025学年高二上学期11月期中联考试题 数学（含答案）

厦泉五校2024-2025学年高二年级第一学期期中联考数学试题（考试时间：120分钟满分：150分试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分第I卷（选择题，共58分）一、单选题:（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知，则（）A. B. C. D.2.椭圆上一点P到左焦点距离为6，则P到右焦点的距离为（）A.5 B.6 C.4 D.123.“”是“直线与圆：相切”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分条件也不必要条件4.下列命题中，不正确的命题是（）A.空间中任意两个向量一定共面B.若，则存在唯一的实数，使得C.对空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面D.若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底5.平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（）A. B. C.3 D.6.在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为（）A. B.2 C. D.47.已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.8.如图是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（）A. B.点关于平面对称点的坐标为C.若，则 D.若，，则10.如图，在棱长为2正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，则（）A.直线与所成角的余弦值为 B.点F到直线的距离为1C.平面 D.点到平面的距离为11.已知椭圆，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A.存在P使得 B.椭圆C的弦MN被点平分，则C.，则的面积为9 D.直线PA与直线PB斜率乘积为定值第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题:(本题共3小题，每小题5分，共15分.)12.已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为_______．13.已知F为椭圆的一个焦点，点M在C上，O为坐标原点，若，则的面积为________．14.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是______．四、解答题:(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.已知的顶点，边上的高所在直线为，为中点，且所在直线方程为.（1）求边所在的直线方程；（2）求顶点的坐标.16.已知空间三点，，．（1）求向量与夹角的余弦值；（2）求的面积.17.已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切．（1）求圆的方程；（2）经过点的直线与圆相交于A，B两点，若，求直线的方程．18.已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1（﹣，0），点在椭圆上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若△AOB（O是坐标原点）的面积S=，求直线AB的方程.19.已知为坐标原点，圆：，直线：（），如图，直线与圆相交于（在轴的上方），两点，圆与轴交于两点（在的左侧），将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴正半轴，原轴正半轴所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．（1）若．（ⅰ）求三棱锥体积；（ⅱ）求二面角的余弦值．（2）是否存在，使得折叠后长度与折叠前的长度之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．厦泉五校2024-2025学年高二年级第一学期期中联考数学试题一、单选题:（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.【答案】B2.【答案】C3.“【答案】A4.【答案】B5.【答案】A6【答案】C7.【答案】C8.【答案】C二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.【答案】ACD10.【解析】11.【答案】ABC第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题:(本题共3小题，每小题5分，共15分.)12.【答案】13.【答案】##14.【答案】四、解答题:(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.【解析】【分析】（1）利用垂直关系求出直线的斜率，进而求出其方程.（2）求出直线的交点坐标即可.【小问1详解】由边上的高所在直线的斜率为1，得直线的斜率为，又直线过，所以直线的方程为，即.【小问2详解】由直线的方程为，而顶点为直线与直线的交点，由，解得，所以点.16.【解析】【分析】（1）根据空间向量数量积与模长的坐标表示可得向量夹角余弦值；（2）根据夹角余弦值可得正弦值，进而可得三角形面积.【小问1详解】由，，，则，，，，所以；【小问2详解】由（1）得，则，所以.17.【解析】【分析】（1）设圆的方程为，由题意，列出方程组，求解得的值，即可写出圆的方程；（2）分直线的斜率是否存在进行讨论，斜率不存在时，联立方程求出点的坐标，计算弦长验证，斜率存在时，设的方程为，由圆心到直线的距离等于半径求出的值即得.【小问1详解】设圆方程为，由已知得，解得，，，所以圆的方程为，即；【小问2详解】①若直线有斜率，可设的方程为，即，由已知，则圆心到直线的距离解得，此时，直线的方程为，即；②若直线没有斜率，则的方程为，将其代入，可得或，即得，，满足条件，综上所述，直线的方程为或．18.【解析】【分析】（1）由已知可得椭圆的左、右焦点坐标，而点在椭圆上，所以|MF1|+|MF2|=2a，从而可求出的值，再由可求出，从而可求得椭圆C的标准方程；（2）设，由题可设直线AB的方程为x=my+1，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去x，利用根与系数的关系，从而可表示出△AOB的面积，列方程可求出的值，进而可得直线AB的方程.【详解】解：（1）根据题意，设椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），因为椭圆的左焦点为F1（﹣，0），设椭圆的右焦点为F2（，0），由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a，所以2a=4，所以a=2，所以，所以椭圆C的方程为+y2=1，（2）设，由题可设直线AB的方程为x=my+1.联立直线与椭圆的方程，，消去x得（4+m2）y2+2my﹣3=0，则有，所以又由S=，即解得m2=1，即m=±1.故直线AB的方程为x=±y+1，即x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=019.【解析】【分析】（1）（ⅰ）由已知，可得，，即可求得求三棱锥的体积；（ⅱ）求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量的坐标运算即可求得二面角的余弦值．（2）分别求出折叠前的长度与折叠后的长度，比为时，求得，可得答案.【小问1详解】（ⅰ）若，折叠前直线的方程为，联立，解得或，可得，，圆：，与轴交于两点，则，折叠后三棱锥的体积为．（ⅱ）由（ⅰ）及已知，则