2024-2025学年广东省广州市华南师大附中高三（上）月考数学试卷（二）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州市华南师大附中高三（上）月考数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a=30.1，b=0.13，c=A.a>c>b B.a>b>c C.b>a>c D.c>b>a2.设x∈R，向量a=(x,1)，b=(4,x)，则x=2是a/​/bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知命题“∀x∈R，使2x2+ (a−1) x +12>0A.a≤−1或a≥3 B.−1≤a≤3 C.a<−1或a>3 D.−1<a<34.函数f(x)=3cosx+1x的部分图象大致是(

)A.B.C.D.5.若f(x)=(x+a)2−log2(A.14 B.12 C.0 6.已知某简谐振动的振动方程是f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)，该方程的部分图象如图．经测量，振幅为3.图中的最高点D与最低点E，F为等腰三角形的顶点，则振动的频率是(

)

A.0.125Hz B.0.25Hz C.0.4Hz D.0.5Hz7.已知直线y=ax+b与曲线y=x+1x相切，则2a+b的最大值为(

)A.12 B.2 C.52 8.已知函数f(x)=lnx+1x，数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=A.a7>a6 B.a9<1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设z1，z2为复数，且z1zA.|z1z2|=|z1||z2| 10.已知函数f(x)=tanx+|tanx|，则下列结论中正确的有(

)A.f(x)的最小正周期为π2

B.点(−π2,0)是f(x)图象的一个对称中心

C.f(x)的值域为[0,+∞)

D.11.已知函数fx=esinx−A.f(x)在(0,π2)上是增函数

B.f(x)的图象关于点(π4,0)中心对称

C.f(x)在0,π上有两个极值点

D.若x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若集合A={x|x2+ax+b=0}，B={x|x2+cx+6=0}，A∩B={2}，A∪B=B13.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=45°，C点的仰角∠CAB=30°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=50m，则山高MN=

m.

14.数学能为自然界的和谐、生命现象的和谐等找到最佳论证.在大自然中一些植物的叶子有着明确的数学方程式，如图①蔓叶中从一点出发散开的叶脉所形成的曲线，可近似为y2(a−2x)=2x3，该曲线即为蔓叶线，其图象如图②，若圆x2−4x+3+y四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(cosx,−1)，b=(sinx,34)，设函数f(x)=2(a+b)⋅a．

(1)当x∈[−π4,π4]时，求函数f(x)的值域；

(2)已知在△ABC中，内角A、B、16.(本小题15分)在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，二面角A−CD−P为直二面角．(1)求证：PB⊥PD；(2)当PC=PD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．17.(本小题15分)

设A，B分别是直线y=22x和y=−22x上的动点，且|AB|=2，设O为坐标原点，动点P满足OP=OA+OB，记P的轨迹为曲线C．

(1)求C的方程；

(2)已知点Q为曲线C的上顶点，点F1，F18.(本小题17分)

已知函数f(x)=sinx+ln(1+x)−ax，a∈R．

(1)当a=0时，求f(x)在区间(−1,π)内极值点的个数；

(2)若f(x)≤0恒成立，求a的值；

(3)求证：i=n+119.(本小题17分)

进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等等.一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式anan−1…a1a0(k)(an,an−1,…,a1,a0∈{0,1,2,…,k−1}，an≠0)，k进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式，如anan−1…a1a0(k)=ankn+an−1kn−1+…+a1k+a0.例如十进制数25=2×32+2×3+1，所以25在三进制下可写为221(3)．

(1)设正整数m参考答案1.B

2.A

3.A

4.A

5.A

6.B

7.C

8.C

9.ABD

10.CD

11.ABD

12.−5

13.5014.6+315.解：(1)已知向量a=(cosx,−1)，b=(sinx,34)，

则a+b=(cosx+sinx,−14)，

设函数f(x)=2(a+b)⋅a，

所以f(x)=2(a+b)⋅a=2(cosx+sinx,−14)⋅(cosx,−1)=2cos2x+2sinxcosx+12

=sin2x+cos2x+32=2sin(2x+π4)+32，

又x∈[−π4,π4]，则2x+π4∈[−π4,3π4]，故sin(2x+π4)∈[−22,1]，

因此可得2sin(2x+π4)+16.(1)证明：由题意知：平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，

又BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，

则BC⊥平面PCD，

因为PD⊂平面PCD，所以BC⊥PD，

又因为PD⊥PC，BC∩PC=C，BC，PC⊂平面PBC，

所以PD⊥平面PBC，

又PB⊂平面PBC，

所以PD⊥PB;

(2)解：以点D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，

则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，

因为PC2+PD2=4，所以PC=PD=2，所以P(0,1,1)，设平面PAB的法向量m=(x,y,z)，则m·令x=1，所以m=(1,0,2)，

设直线PC与平面PAB所成的角为θ

则sinθ=lcos<m，PC>|=|m⋅PC|17.解：(1)设A(x1,22x1)，B(x2,−22x2)，P(x,y)，

因为OP=OA+OB，

所以x=x1+x2，y=22(x1−x2)，又|AB|=2，

则2=(x1−x2)2+(22x1+22x2)2，

即2=2y2+12x2，变形得：x24+y2=1，

即动点P的轨迹方程为：x24+y2=1；

(2)因为S△QMF2=S△QF1F2，又QF2为公共边，

所以F1到QF2的距离等于M到QF218.解：(1)因为当a=0时，f(x)=sinx+ln(1+x)，求导可得f′(x)=cosx+1x+1,x∈(−1,π)，

因为y=1x+1，y=cosx两函数在(−1,π)上均为减函数，所以f′(x)在(−1,π)上也为减函数，

又因为f′(0)=2>0，所以f′(π)=−1+1π+1<0，

所以f′(x)在(−1,π)内存在唯一的零点x0，

且当x∈(x0,π)时，f′(x)<0；当x∈(−1,x0)时，f′(x)>0；

所以f(x)在(−1,π)内无极小值点，存在1个极大值点．

(2)因为原函数的导函数f′(x)=cosx+1x+1−a,x>−1，

若a>2，所以f′(0)=2−a<0，

当−aa+1<x<0时，那么f′(−aa+1)=cosaa+1+1>0，

所以存在s∈(−1,0)，使得f′(s)=0且任意的x∈(s,0)，总有f′(x)<0，

所以f(x)在(s,0)上为减函数，所以任意的x∈(s,0)，总有f(x)>f(0)=0，即f(x)>0，

这与题设不合，舍去；

若a<2，那么f′(0)=2−a>0，因为f′(x)的图象连续不间断，

所以存在t>0，使得任意的x∈(0,t)，总有f′(x)>0，

所以f(x)在(0,t)上为增函数，所以对于任意的x∈(0,t)，总有f(x)>f(0)=0，即f(x)>0，

这与题设不合，舍去；

所以a=2，此时f′(x)=cosx+1x+1−2,x>−1，

当x∈(0,+∞)时，f′(x)<1+1−2=0，即f′(x)<0，所以f(x)在(0,+∞)上为减函数；

当x∈(−1,0)时，根据第一问的分析可得f′(x)在(−1,0)为减函数，

所以∀x∈(−1,0)，f′(x)>f′(0)=0，即f′(x)>0

所以f(x)在(−1,0)上为增函数，所以f(x)≤f(0)=0，

所以f(x)≤0恒成立，所以a=2．

(3)根据第二问可知，sinx≤2x−ln(x+1)，当且仅当x=0时等号成立，

所以i=n+12nsin1i−1<2i=n+12n1i−1−i=n+12nln(1+1i−1)，

i=n+12nln19.解：(1)(i)由3=1+1+1=0+1+2=0+2+1=1+0+2=2+0+1=1+2+0=2+1+0，

可得012(3)=5，021(3)=7，102(3)=11，111(3)=13，

可得该列数的前四个数为5，7，11，13；

(ii)设m=3nan+3n−1an−1+...+3a1+a0，

若m为3的倍数，则a0为3的倍数，即a0=0，

所以m=anan−1…a10(3)，m+1=anan−1…a11(3)，m+2=anan−1…a12(3)

S(m)=an+an−1+...+a1，S(m+1)=an+an−1+...+a1+1，

S(m+2)=an+an−1+...+a1+2，

所以当m为3的倍数时，S(m)，S(m+1)，S(m+2)中恰有一个是3的倍数，

S