数学学案：课堂导学基本不等式（一）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、利用基本不等式证明不等式【例1】a，b，c∈R，求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a思路分析:由于a4+b4≥2a2b2，说明了运用基本不等式,可以找到左式与中间式的关系.同样地,a2b2+b2c2≥2ab2c,而ab证明：∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2，c4+a4≥2a2∴2（a4+b4+c4)≥2（a2b2+b2c2+c2a即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a又∵a2b2+b2c2≥2ab2b2c2+c2a2≥2bcc2a2+a2b2≥2a2∴2（a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+bc2即a2b2+b2c2+c2a以上各式当且仅当a=b=c时取等号。温馨提示在证明不等式的一些题目时,若有和大于或等于积的形式，可考虑用均值不等式来证明，有时需要多次使用基本不等式才能解决问题。本题中，字母a，b,c是可轮换的(即a→b，b→c,c→a式子不变)，这称为轮换对称式,轮换对称式的证明都可用此技巧.各个击破类题演练1已知a,b，c∈(0，+∞）,求证：≥a+b+c。证明:∵a，b,c∈（0，+∞）,∴=2a.①同理，=2b，②=2c,③∴()+(a+b+c）≥2(a+b+c）。∴≥a+b+c.变式提升1设a,b，c为不全相等的正数，求证：>3.证明：左式=(+)+(）+（)-3,∵+≥2,)≥2≥2，又a,b，c为不全相等的正数，故等号不可能同时取得，∴(+）+（）+(）>6。因此原不等式成立。二、利用基本不等式证明条件不等式【例2】已知x,y〉0，且x+y=1,求证:（1+）（1+）≥9.思路分析:最突出的一点，要证的不等式中有四个“1”，而已知条件x+y=1,又一个“1”，如何用好这些“1”呢?证法一：(1+）（1+）=1+++=1+=3+=3+=5+2（）≥5+2×=9。∴原不等式成立。证法二：(1+)(1+)=∴原不等式成立.证法三:设x=cos2θ,y=sin2θ，θ∈(0,）,∴(1+）(1+）=（2+tan2θ）(2+cot2θ）=5+2（tan2θ+cot2θ)≥5+2×=9。温馨提示在运用基本不等式时，活用“1”,巧用“1"，解法就会非常简洁。类题演练2已知x>0，y>0，且x+4y=1,求证：（1)=8+;(2)≥16.证明：(1)∵x+4y=1,∴=8+，即=8+；。(2）法一：∵x>0，y>0，且由（1)可知=16,即有≥16.法二:∵x>0，y>0,x+4y=1,∴≥，x+4y≥.∴（）（x+4y）≥16·=16.∴≥16。变式提升2已知a>0,b〉0，a+b=1，求证:≤2。证明:∵，,∴≤（1+a++1+b+)=2，当且仅当a=b=时取等号.∴原不等式成立.三、利用基本不等式解决某些综合问题【例3】设a>0,a≠1,t〉0,试比较logat与loga的大小。思路分析:两式先化为同底对数loga与loga，由于t〉0,应用均值不等式知≥，下一步只要运用对数函数y=logax的单调性,就可以比较它们的大小了。解：∵t>0，由均值不等式得≥,当且仅当t=1时取等号.当t=1时，loga=loga，即loga=logat;当0<t≠1时，〉.当0〈a<1时,函数y=logax是减函数，∴loga〈loga,即loga<logat；当a〉1时，函数y=logax是增函数,∴loga〉loga，即loga>logat.综上所述，当0<a〈1时，logat≥loga；当a>1时，logat≤loga。温馨提示函数式的大小比较，除了利用求差比较法或均值不等式定理比较之外,还要注意应用函数的重要性质-—单调性.指数函数，对数函数因底数范围不同,而单调性不同,要注意分类讨论。类题演练3已知x,y,z是互不相等的正数，且x+y+z=1。试比较（-1)（-1）(—1）与8的大小关系。解析：—1=,-1=，-1=，∴(-1）（-1）（-1）==8.∵x,y,z是互不相等的正数，∴上式中取不到等号，即（-1）(-1）(—1)〉8.变式提升3已知关于x的方程loga(x-3）=—1+loga(x+2)+loga(x—1)有实根,求实数